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탄젠트 계산기

범위: -1,000,000 ° – 1,000,000 °

계산 결과

1.0000

탄젠트

탄젠트 계산기는 한 각도의 탄젠트, 곧 그 각 건너편에 있는 변을 그 각에 인접한 변으로 나눈 비율을 돌려줍니다. 단위원에서는 그 각이 그리는 직선의 기울기입니다. 사인이 얼마나 높은지를 답하고 코사인이 얼마나 옆으로 갔는지를 답한다면, 이 비율은 얼마나 가파른지를 답합니다. 오른 쪽을 가로로 간 거리로 나눈 값이고, 그래서 측량하는 사람과 지붕을 올리는 사람과 경사로를 설계하는 사람이 모두 찾는 수가 이것입니다. 셋 가운데 어떤 수든 될 수 있는 것도 이 비율뿐입니다. 사인과 코사인은 -1과 1 사이에 갇혀 있지만 탄젠트는 각도가 아래에서 직각에 다가갈수록 한없이 올라가고, 직각을 지나 반대쪽에서는 값의 바닥에서 다시 나타나므로 2도 될 수 있고 200도, 200만도 될 수 있습니다. 이 한없음이 이 함수의 이야기 전부입니다. 아래 참고표에서 두 줄이 비어 있는 것도 그 때문입니다. 정확히 90도에서는 인접변이 0으로 줄어들어 나눗셈에 답이 없고, 270도에서도 반 바퀴 뒤에 같은 일이 벌어져 탄젠트가 정의되지 않습니다. 나머지 모든 각도는 값을 가지고, 탄젠트가 0이 되는 각도들도 마찬가지입니다. 0도와 180도와 모든 정수 바퀴에서는 분자가 0이고 분모가 0이 아니어서 평범한 0이 나옵니다. 정의에서 세 가지 성질이 따라옵니다. 탄젠트는 홀함수라서 음의 각도는 답의 부호를 뒤집습니다. 주기는 한 바퀴가 아니라 반 바퀴입니다. 180도를 더하면 대변과 인접변의 부호가 함께 뒤집히는데 부호가 둘 다 바뀐 두 양의 비율은 그대로이기 때문입니다. 그래서 30도와 210도가 같은 값을 나눠 가집니다. 그리고 그 부호는 사인의 부호가 아닙니다. 직각을 지나면 사인은 아직 양수인데 탄젠트는 이미 음수로 돌아섰습니다. 인접변은 반대쪽으로 넘어갔는데 대변은 넘어가지 않았기 때문입니다. 삼각함수 계산기 페이지는 세 삼각비를 함께 인쇄하고 값은 마지막 자리까지 일치하며, 아래 표는 이 함수 하나만을 이 계열의 다른 페이지들과 같은 열두 각도에서 보여 주므로 행을 곧바로 견줘 볼 수 있습니다.

열두 각도의 탄젠트, 그리고 값이 없는 두 각도

θ (도)tan θ
00
300.5774
451
601.7321
90—
120-1.7321
135-1
150-0.5774
1800
2100.5774
270—
330-0.5774

각도가 열둘, 열이 둘, 그리고 두 개의 줄표가 이 표의 요점입니다. 줄표는 90도와 270도에 놓이는데, 인접변이 0이 되는 두 각도입니다. 그 사이에서 값은 수직선의 온 길이를 달립니다. 0에서 올라 30도에서 0.5774, 45도에서 1, 60도에서 1.7321이 되었다가 90도에서 사라지고, 반대쪽에서는 바닥에서 다시 나타나 135도에서 -1, 150도에서 -0.5774를 지나 평각에서 0이 되며, 그 뒤 같은 모양을 되풀이합니다. 주기가 한 바퀴가 아니라 반 바퀴이기 때문입니다. 30도와 210도가 같은 수를 가지는 까닭이 이것이고, 이 표가 사인 페이지나 코사인 페이지와 어긋나는 유일한 지점이기도 합니다. 그 둘은 같은 행이 되풀이되려면 한 바퀴가 필요합니다.

공식

tan θ = 대변 ÷ 인접변 tan θ = sin θ ÷ cos θ tan θ = 기울기

θ
각도이며 도 또는 라디안으로 넣습니다. 음수여도 되고 한 바퀴보다 커도 됩니다. 원의 어디에 놓이는지만이 값을 정합니다
대변 / 인접변
각도 θ를 품은 직각삼각형의 두 직각변입니다. θ 건너편에 있는 변과 θ 바로 옆에 있는 변이며, 탄젠트는 앞의 것을 뒤의 것으로 나눈 값입니다. 빗변은 여기에 전혀 쓰이지 않습니다
sin θ ÷ cos θ
다른 두 비율로 나타낸 같은 값입니다. 값이 없어지는 자리를 설명해 주는 것이 이 꼴입니다. 코사인이 0이 되는 곳마다 나눗셈에 답이 없고, 코사인은 90도와 270도에서 0이 됩니다
기울기
단위원에서 이 비율이 뜻하는 것입니다. 원점에서 그 각이 가리키는 점까지 그은 직선의 기울기입니다. 탄젠트가 1이면 45도짜리 직선이고, 값이 클수록 직선이 가파릅니다

원하는 것이 높이가 아니라 기울기일 때 이 페이지를 씁니다. 기울어진 정도를 가로에 대한 세로로 적은 지붕의 물매, 도로의 경사도, 사다리나 경사로가 놓여야 할 각도, 두 점을 지나는 직선의 방향이 모두 여기서 나옵니다. 어떤 것이 얼마나 가파른지를 둘이 아니라 하나의 수로 알고 싶을 때도 이 페이지를 씁니다. 사인과 코사인은 각각 방향의 절반씩만 말해 주기 때문입니다. 읽을 때 염두에 둘 것이 둘 있습니다. 각도가 90도를 지났다면 값이 음수가 되어 반대쪽에서 크기만 커져 가는데, 좌표가 아니라 그림을 놓고 일하고 있다면 그 부호는 가파름이 달라졌다는 것이 아니라 직선이 반대쪽으로 기울었다는 뜻입니다. 그리고 각도가 직각에 가까워지면 값이 한없이 커지는데, 그것은 직선이 수직이 되었다고 페이지가 말해 주는 것입니다. 정확히 90도에서는 나눌 가로가 없어서 내놓을 값 자체가 없습니다. 사인과 코사인을 함께 보고 싶으면 삼각함수 계산기 페이지가 셋을 인쇄하고, 이 값의 역수를 원하면 값이 없는 자리가 나머지 두 곳으로 옮겨 간 다른 함수의 몫입니다.

계산 예시

  1. 각도 45도, 정수로 떨어지는 유일한 값

    1. 45도에서는 직각삼각형의 두 직각변이 같다
    2. 탄젠트는 대변을 인접변으로 나눈 값이다
    3. 같은 양을 같은 양으로 나누면 정확히 1이므로 값은 0.9999가 아니라 1

    페이지가 열릴 때의 각도이고, 이 함수가 정수를 내놓는 유일한 각도입니다. 45도는 기울기가 1인 직선의 각도이기도 하고, 그것은 기울기의 언어로 하면 같은 말입니다. 가로로 1만큼 갈 때 세로로 1만큼 올라간다는 뜻입니다. 이 페이지의 나머지 값은 모두 근호이거나 그 역수라서 아래 표가 소수 넷째 자리까지 적혀 있습니다.

  2. 각도 30도

    1. 30도에서 대변은 빗변의 절반이다
    2. 인접변은 나머지 직각변이고 √3의 절반이다
    3. 절반을 √3의 절반으로 나누면 √3분의 1, 곧 약 0.5774

    30도의 탄젠트는 60도의 코탄젠트이고, 그것은 우연이 아니라 규칙입니다. 직각삼각형의 두 예각을 더하면 90도가 되고, 한쪽 건너편에 있는 변이 다른 쪽 바로 옆에 있는 변이기 때문입니다. 그래서 어떤 각도의 탄젠트는 그 여각의 코탄젠트와 언제나 같고, 뒤집어 말한 것이 같은 사실의 나머지 절반입니다.

  3. 제2사분면의 각도, 135도

    1. 135도는 직각에서 45도 지난 각이다
    2. 점이 제2사분면에 있어서 인접변이 음수가 되고 대변은 아직 양수이다
    3. 양수를 음수로 나누면 음수이므로 탄젠트는 -1

    45도의 값에 정확히 마이너스를 붙인 값이고, 그것이 제2사분면 전체의 무늬입니다. 탄젠트의 크기는 제1사분면의 각을 접어 넣은 것과 같고 부호만 옮겨 갑니다. 사인 페이지가 정반대로 보고하는 자리이기도 합니다. 135도에서 사인은 점이 축보다 위에 있어서 0.7071로 아직 양수이지만, 탄젠트는 가로가 왼쪽으로 넘어갔기 때문에 음수입니다.

  4. 각도 210도, 30도에서 반 바퀴 지난 자리

    1. 210도는 30도에 평각을 더한 각이다
    2. 180도를 더하면 대변과 인접변이 함께 부호를 뒤집으므로 둘 다 음수가 된다
    3. 음수를 음수로 나누면 양수이고 크기도 그대로라서 값은 같은 0.5774

    반 바퀴 주기를 가장 분명하게 보여 주는 자리이고, 이 함수가 사인과 코사인과 갈라지는 자리입니다. 그 둘은 같은 값으로 돌아오는 데 한 바퀴가 필요한데 이 함수는 반 바퀴 만에 이미 돌아와 있습니다. 비율은 그 안의 두 양이 함께 부호를 바꾸면 아랑곳하지 않기 때문입니다. 아래 표에서도 같은 짝이 여덟 행 떨어져 놓여 있습니다.

한계

분명히 말해 둘 한계가 셋 있습니다. 첫째, 값은 소수 넷째 자리까지 주어지고 그 대부분은 무리수입니다. 30도의 탄젠트는 √3분의 1이므로 0.5774는 잘라 낸 값이지 답 자체가 아니며, 45도가 이 페이지에서 정확하고 유한한 값을 가지는 유일한 행입니다. 둘째, 탄젠트는 90도와 270도, 그리고 그 둘로 줄어드는 모든 각도에서 값이 없습니다. 음의 각도와 한 바퀴를 넘는 각도도 포함되므로 -90도와 450도는 90도와 같은 이유로 거부됩니다. 옆자리 값이 어마어마해질 자리에서 이 페이지는 아주 큰 수 대신 오류 메시지를 내놓습니다. 한쪽에서 다가가면 값이 한없이 커지고 다른 쪽에서 다가가면 값의 바닥에서 올라오므로 그 수열이 어디로도 수렴하지 않기 때문입니다. 셋째, 이 페이지는 방향을 뒤집지 않습니다. 탄젠트가 1이라고 할 때 각도는 45도일 수도, 225도일 수도, 반 바퀴씩 떨어진 무한히 많은 각도 가운데 하나일 수도 있고, 어느 것을 고를지는 이 페이지가 내리지 않는 결정입니다.

자주 묻는 질문

탄젠트가 정의되지 않는 각은 어디인가요?
탄젠트가 대변을 인접변으로 나눈 값인데 직각에서는 인접변이 0으로 줄어들기 때문입니다. 0으로 나누는 일에는 답이 없어서 인쇄할 것이 없습니다. 값이 어마어마하게 큰 것이 아닙니다. 각도가 90도에 가까워지면 값이 한없이 커지기는 하지만 90도 자체에서는 수가 없고, 양쪽에서 다가가는 값이 같은 곳으로 가지도 않습니다. 270도는 반 바퀴 뒤의 같은 실패이고, 그 둘로 줄어드는 모든 각도 역시 거부됩니다.
탄젠트는 그냥 사인을 코사인으로 나눈 것인가요?
그렇습니다. 그것이 가장 짧은 설명입니다. 대변을 인접변으로 나눈 값이고 그 각이 그리는 직선의 기울기이기도 하며, 셋은 같은 말을 합니다. 가장 많은 것을 설명해 주는 꼴은 나눗셈입니다. 코사인이 0이 되는 곳마다 분수에 답이 없고, 코사인은 90도와 270도에서 0이 됩니다. 아래 표에 줄표가 둘 있는 자리가 꼭 그 두 줄입니다.
사인은 양수인데 135도의 탄젠트는 왜 음수인가요?
탄젠트는 높이뿐 아니라 가로도 함께 보기 때문입니다. 135도에서 점은 아직 가로축보다 위에 있어서 사인은 0.7071로 양수이지만, 세로축 왼쪽으로 넘어갔기 때문에 인접변이 음수가 되고 나눗셈도 함께 음수가 됩니다. 탄젠트의 부호는 점이 얼마나 높은지가 아니라 두 직각변이 같은 방향을 보는지에 대한 진술이고, 그래서 사인보다 사분의 한 바퀴 먼저 음수로 돌아섭니다.
탄젠트 값이 아주 크게 나오면 무슨 뜻인가요?
직선이 거의 수직이라는 뜻입니다. 값이 기울기이므로 탄젠트가 10이면 가로로 1만큼 갈 때 세로로 10만큼 올라간다는 것이고, 각도가 아래에서 90도에 가까워질수록 한없이 커집니다. 90도의 반대쪽에서는 같은 직선이 값의 바닥에서 다시 나타나 0을 향해 올라오므로, 값이 없는 자리의 양옆 값은 서로 가까운 것이 아니라 수가 가질 수 있는 만큼 멀리 떨어져 있습니다.
탄젠트는 얼마마다 되풀이되나요?
반 바퀴마다이고, 사인과 코사인의 두 배로 자주 되풀이됩니다. 각도에 180도를 더하면 대변과 인접변의 부호가 함께 뒤집히고 부호가 둘 다 바뀐 두 양의 비율은 그대로이므로, 30도와 210도가 탄젠트 0.5774를 나눠 가집니다. 반대로 사인과 코사인은 같은 값으로 돌아오는 데 한 바퀴가 필요합니다.
각도를 라디안으로 넣어도 되나요?
됩니다. 입력 상자 옆에 단위 선택이 있고 어느 쪽을 골라도 같은 각도로 읽습니다. 45도와 0.7854 라디안은 탄젠트 1을 똑같이 내놓습니다. 늘 그렇듯 확인할 것은 비교 대상이 어느 단위를 전제로 하는지이고, 인쇄된 표는 대개 도로 적혀 있습니다.

참고 문헌

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