본문으로 건너뛰기
CalcMax

사인 계산기

범위: -1,000,000 ° – 1,000,000 °

계산 결과

0.5000

사인

사분면(0이면 축 위)
1

사인 계산기는 한 각도의 사인, 곧 그 각의 대변을 빗변으로 나눈 비율을 돌려줍니다. 단위원에서는 그 각이 가리키는 점의 높이입니다. 직각삼각형이 내주는 여섯 비율 가운데 얼마나 높이 있는지를 답하는 것이 이 비율입니다. 사인은 세상의 모든 각도에 정의됩니다. 어떤 각도에서도 대변과 빗변이 답이 없는 방식으로 어긋나는 일이 없으므로, 탄젠트와 달리 이 페이지는 입력을 거부하지 않습니다. 성질 가운데 나머지보다 일을 많이 하는 것이 둘 있습니다. 첫째, 사인은 홀함수입니다. 각도의 부호를 바꾸면 답의 부호도 함께 바뀝니다. 음의 각도에도 같은 값을 그대로 돌려주는 코사인과 정반대입니다. 둘째, 사인은 반 바퀴가 아니라 한 바퀴마다 반복됩니다. 점의 높이는 한 바퀴를 다 돌아야 출발점으로 돌아오기 때문입니다. 두 번째 열은 사분면이고, 이것이 이 페이지가 코사인 페이지에는 없는 것을 하나 더 인쇄하는 자리입니다. 사분면은 좌표평면을 가로축의 양의 방향에서 반시계 방향으로 세어 나눈 네 칸입니다. 사인의 부호는 점이 축보다 위에 있는지 아래에 있는지를, 코사인의 부호는 왼쪽인지 오른쪽인지를 말하고, 두 부호를 합치면 어느 칸인지가 정해집니다. 30도에서 사인은 0.5이고 사분면은 1이므로 점은 가로축 위, 세로축 오른쪽에 있습니다. 150도에서는 사인이 여전히 0.5인데 사분면은 2입니다. 높이는 같은데 자리가 반대쪽입니다. 이 짝이 이 페이지에서 가장 또렷한 것인데, 어떤 각도의 사인은 그 보각의 사인과 같기 때문입니다. 그래서 표에도 같은 수가 사분면만 달리한 채 두 번 나옵니다. 0도, 90도, 180도, 270도처럼 축 위에 정확히 놓인 각은 어느 사분면에도 속하지 않고, 그 자리의 값은 0입니다. 첫 번째 사분면으로 밀어 넣지 않습니다. 아래 참고표는 열두 행을 모두 인쇄하며, 한 각도의 사인과 코사인과 탄젠트를 한꺼번에 보고 싶으면 삼각함수 계산기 페이지가 셋을 나란히 보여 줍니다.

열두 각도의 사인과 사분면

θ (도)sin θ사분면
000
300.51
450.70711
600.8661
9010
1200.8662
1350.70712
1500.52
18000
210-0.53
270-10
330-0.54

열두 각도, 세 열, 그리고 줄표가 한 칸도 없습니다. 각을 거부하지 않는 페이지라는 것이 이 표에서 드러납니다. 사분면 열을 아래로 읽으면 네 칸이 차례로 나옵니다. 첫 90도까지가 1, 90도에서 180도가 2, 거기서 270도까지가 3, 한 바퀴까지가 4이고 그 사이 네 자리에 0이 놓입니다. 그 네 각은 어느 칸에도 들지 않는 축 위의 각입니다. 값 열에는 다른 무늬가 있습니다. 첫 사분의 한 바퀴에서 0에서 1로 올라가고 둘째 칸에서 다시 0으로 내려가며, 축 아래로 내려가 270도에서 -1에 닿은 뒤 다시 올라옵니다. 값 열은 짝을 지어 되풀이되기도 합니다. 30도와 150도, 45도와 135도, 60도와 120도, 210도와 330도가 그렇습니다. 각 짝은 세로축에 대한 거울상이고, 두 각이 서로의 보각이라는 말과 같은 뜻입니다. 그리고 0도와 180도에서 0이 두 번 나오는데, 평각에서는 점이 가로축 위로 되돌아오기 때문입니다.

공식

sin θ = 대변 ÷ 빗변 sin θ = y ÷ r sin θ = -sin(-θ)

θ
각도이며 도 또는 라디안으로 넣습니다. 음수여도 되고 한 바퀴보다 커도 됩니다. 원의 어디에 놓이는지만이 값을 정합니다
대변 / 빗변
각도 θ를 품은 직각삼각형이 내주는 두 변입니다. θ 건너편에 있는 변이 대변이고 가장 긴 변이 빗변입니다. 사인은 앞의 것을 뒤의 것으로 나눈 값이라서 1보다 클 수 없고 -1보다 작을 수도 없습니다
y / r
반지름이 r인 원 위에서 같은 비율을 읽은 것입니다. y는 그 각이 가리키는 점의 높이입니다. 단위원에서는 r이 1이므로 사인은 그 높이 그대로입니다
사분면
그 각이 좌표평면의 어느 칸에 놓이는지를 가로축의 양의 방향에서 반시계 방향으로 센 것입니다. 0은 각이 축 위에 정확히 놓여 어느 사분면에도 속하지 않는다는 뜻입니다

각도를 알고 그에 딸린 높이를 원할 때 이 페이지를 씁니다. 비탈의 수직 성분, 길이에 견준 경사의 높이, 힘을 위쪽 성분으로 나눈 몫이 모두 여기서 나옵니다. 부호를 재빨리 확인하는 길이기도 합니다. 각이 직각을 지났다는 것을 알아도 사인은 180도까지 양수이고, 이 페이지는 사분면을 함께 인쇄하므로 점이 왼쪽으로 옮겨 갔으면서도 위에 머물러 있다는 것이 눈에 보입니다. 참고표는 코사인 페이지와 같은 열두 각을 같은 순서로 놓았으므로 두 표를 나란히 읽을 수 있습니다. 코사인 쪽에는 탄젠트가 포기하는 자리에 줄표가 있지만 이 페이지에는 줄표가 한 칸도 없습니다. 사인과 코사인과 탄젠트를 함께 보고 싶으면 삼각함수 계산기 페이지가 셋을 한 번에 인쇄합니다. 반대로 사인 값을 가지고 각도를 되찾는 것은 방향이 반대인 문제이고, -1과 1 사이의 모든 값에 각도가 둘씩 딸려 있습니다.

계산 예시

  1. 각도 30도, 이 페이지의 기본값

    1. 정삼각형을 반으로 자르면 30도짜리 직각삼각형이 나온다
    2. 30도 건너편에 있는 변은 빗변의 절반이다
    3. 0.5를 1로 나누면 0.5이고, 점이 축보다 위면서 오른쪽이므로 사분면은 1

    페이지가 열릴 때의 각도이고, 소수를 보지 않고도 정확하다는 것을 알 수 있는 이 페이지의 유일한 값입니다. 30도는 값이 0이 아닌 특수각 가운데 사인이 가장 작은 자리이기도 합니다. 사분의 한 바퀴가 1, 여덟의 한 바퀴가 0.7071이고 여기는 0.5입니다. 사분면이 1인 것은 점이 가로축보다 위에 있으면서 세로축보다 오른쪽에 있기 때문입니다.

  2. 각도 150도, 다른 사분면의 같은 사인

    1. 150도는 평각에서 30도 모자란 각이다
    2. 점이 세로축 왼쪽으로 넘어갔지만 아직 가로축보다 위에 있다
    3. 높이가 30도와 같으므로 사인은 0.5이고 사분면은 2가 된다

    이 페이지가 사분면을 인쇄하는 까닭을 가장 잘 보여 주는 자리입니다. 수 하나만으로는 이 두 각도를 구별할 수 없습니다. 30도와 150도는 사인 0.5를 나눠 가지고, 한 바퀴 안에서 그런 각은 이 둘뿐입니다. 이 짝은 우연이 아니라 규칙입니다. 어떤 각도의 사인은 그 보각의 사인과 같고, 그것은 원을 세로축을 따라 접었을 때 보이는 성질입니다.

  3. 음의 각도, -30도

    1. -30도는 가로축의 양의 방향에서 시계 방향으로 30도만큼 잰 각이다
    2. 점이 축보다 위가 아니라 아래에 있으므로 높이가 음수이다
    3. 값은 -0.5이고 사분면은 4

    홀함수라는 말이 뜻하는 바가 이것입니다. 각도의 부호를 바꾸면 답의 부호도 따라 바뀝니다. 코사인은 그렇게 굴지 않습니다. -30도에서 코사인이 내놓는 값은 +30도에서와 같은 0.866입니다. 이 차이는 붙잡아 둘 만한데, 둘을 섞는 모든 공식에서 다시 나오고, 아래 표가 첫 행을 기준으로 대칭이 아닌 까닭이기도 합니다.

  4. 각도 90도, 사분면 열이 0을 가리키는 자리

    1. 직각에서는 대변과 빗변이 같은 변이 된다
    2. 한 변을 자기 자신으로 나누면 1이므로 사인은 1, 곧 이 함수가 가지는 가장 큰 값이다
    3. 점이 어느 칸 안이 아니라 세로축 위에 있으므로 사분면은 0

    1은 값의 범위에서 꼭대기이고 어떤 각도 그것을 넘지 못합니다. 사분면 열의 0은 네 축 위의 각에 똑같이 적용되는 이 페이지의 약속입니다. 0도, 90도, 180도, 270도는 어느 사분면에도 들지 않습니다. 사분면은 열린 사분의 한 칸이고 축은 그 경계이기 때문입니다. 아래 표의 0 두 개가 모두 이 규칙에서 나오며, 이 행에서 그것이 값이 빠진 것이 아니라 정직한 답인 까닭이 가장 잘 보입니다.

한계

분명히 말해 둘 한계가 셋 있습니다. 첫째, 값은 소수 넷째 자리까지 주어지고 그 대부분은 무리수입니다. 60도의 사인은 √3의 절반이므로 0.866은 잘라 낸 값이지 답 자체가 아니며, 30도와 90도와 그 거울상들만이 이 페이지에서 짧고 정확한 값을 가진 행입니다. 둘째, 사분면은 평면의 한 칸에 붙이는 이름표이지 측정값이 아니고, 축 위에 놓인 네 각은 어느 칸에도 속하지 않아 그 자리가 0입니다. 그 0은 빠진 값도 아니고 다섯 번째 사분면도 아니며, 각이 경계 위에 있다는 진술입니다. 셋째, 이 페이지는 방향을 뒤집지 않습니다. 사인이 0.5라고 할 때 각도는 30도일 수도, 150도일 수도, 그 둘에 정수 바퀴를 더한 것일 수도 있고, 어느 것을 고를지는 이 페이지가 내리지 않는 결정입니다. 어느 쪽으로든 100만 도를 넘는 각은 줄이지 않고 거부합니다. 그 크기에서는 줄이는 일 자체가 의미를 잃기 때문입니다.

자주 묻는 질문

탄젠트는 값이 없어지는 각이 있는데 사인은 왜 그렇지 않나요?
나누는 방향이 반대이기 때문입니다. 사인은 대변을 빗변으로 나눈 값이고 빗변이 가장 긴 변이라서 분수는 언제나 -1과 1 사이에 있고 아래가 0이 되는 일이 없습니다. 탄젠트는 대변을 인접변으로 나눈 값이고 직각에서는 인접변이 0이 됩니다. 0으로 나누는 일에는 답이 없어서 그 각을 탄젠트 페이지가 거부합니다. 이 페이지는 90도를 포함한 모든 각을 받아들이고, 거기서 값은 1입니다.
사분면 열은 무엇을 알려 주나요?
그 각이 좌표평면의 어느 칸에 놓이는지를 가로축의 양의 방향에서 반시계 방향으로 센 것입니다. 사인의 부호가 점이 축보다 위인지 아래인지를, 코사인의 부호가 왼쪽인지 오른쪽인지를 말하므로 두 부호를 합치면 칸이 정해집니다. 이 페이지가 사분면을 인쇄하는 까닭은 사인만으로는 알 수 없기 때문입니다. 30도와 150도는 사인 0.5를 나눠 가지고, 어느 쪽인지는 사분면만이 말해 줍니다.
축 위의 각은 왜 사분면이 0인가요?
0도, 90도, 180도, 270도는 어느 칸 안이 아니라 축 위에 있고, 사분면은 축을 경계로 하는 열린 사분의 한 칸이기 때문입니다. 이들을 제1사분면에 넣는 것은 사실이 아닌 주장이 됩니다. 점이 가로축보다 위에 있는 것이 아니라 가로축 위에 있기 때문입니다. 0이 정직한 답이고, 참고표의 사분면 열도 같은 약속을 씁니다.
150도의 사인이 30도의 사인과 같은 이유는 무엇인가요?
어떤 각도의 사인은 그 보각의 사인과 같기 때문입니다. 150도는 평각에서 30도 모자란 각이고, 원을 세로축을 따라 접으면 두 점이 포개지므로 높이가 같아집니다. 한 바퀴 안에서 사인을 나눠 가지는 각은 언제나 한 쌍이고, 가로축이 아니라 세로축에 대한 거울상입니다. 값은 그대로인데 사분면이 바뀌는 까닭이 바로 이것입니다.
사인이 음수가 되는 때도 있나요?
있습니다. 점이 가로축 아래에 있을 때, 곧 한 바퀴의 뒤쪽 절반과 모든 음의 각도에서 그렇습니다. 180도에서 360도 사이에서 값이 음수이고 가장 작은 값은 270도에서의 -1입니다. 이 점에서 사인은 코사인과 반 바퀴가 아니라 사분의 한 바퀴만큼 어긋납니다. 코사인은 점이 세로축을 넘을 때 음수가 되고 사인은 가로축을 넘을 때 음수가 됩니다.
각도를 라디안으로 넣어도 되나요?
됩니다. 입력 상자 옆에 단위 선택이 있고 어느 쪽을 골라도 같은 각도로 읽습니다. 30도와 0.5236 라디안은 사인 0.5와 사분면 1을 똑같이 내놓습니다. 확인할 것은 비교 대상이 어느 단위를 전제로 하는지입니다. 인쇄된 표는 대개 도를 쓰지만 대부분의 프로그래밍 언어는 그렇지 않습니다.

참고 문헌

관련 계산기

삼각함수 계산기임의의 각도의 사인, 코사인, 탄젠트를 계산합니다.단위원 계산기각도에 대한 사인, 코사인, 탄젠트 값을 구합니다.코사인 계산기각도의 코사인 값을 도 또는 라디안으로 구합니다.직각삼각형 계산기두 변이나 한 변과 한 각으로 직각삼각형을 풉니다.아크사인 계산기사인 값에서 각도를 도 또는 라디안으로 구합니다.