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CalcMax

아크사인 계산기

범위: -1 – 1

계산 결과

30.00 °

각도

각도(라디안)
0.5236 rad

아크사인 계산기는 사인 값을 각도로 되돌립니다. -1과 1 사이의 수를 넣으면 그 수를 사인으로 가지는 각도가 도와 라디안으로 함께 나옵니다. 이 함수가 할 수 없는 일은 한 가지 사실에서 따라옵니다. 사인 값 하나가 각도 하나의 것이 아니라는 점입니다. 사인 0.5는 30도의 사인이고 150도의 사인이고 390도의 사인이며, 그 각도들에서 한 바퀴씩 더하거나 뺀 모든 각도의 사인이기도 합니다. 아크사인은 그 가운데 정확히 하나, -90도에서 90도 사이에 있는 것을 돌려주고, 그 선택이 주값이라는 말의 뜻입니다. 나머지가 존재하지 않는다는 주장이 아닙니다. 함수는 arcsin으로 적고, 이 페이지는 답을 두 번 보고합니다. 도로 한 번, 라디안으로 한 번입니다. 둘 다 끊임없이 쓰이고, 손으로 서로 바꾸다가 이 영역의 산술 실수가 대부분 나오기 때문입니다. 답을 묶는 한계가 둘 있습니다. 값은 -1과 1 사이에 있어야 합니다. 각도의 사인은 그 띠를 벗어나지 않으므로 1.5의 아크사인을 달라고 하면 내줄 각도가 없고, 페이지는 빈칸 대신 거절합니다. 그리고 답은 부호를 가집니다. 음수를 넣으면 원의 아래쪽에 있는 같은 방향의 각도가 아니라 음의 각도가 나오고, 이 페이지가 배각과 반각 페이지와 다르게 읽히는 곳이 바로 그 한 곳입니다. 아래 표는 사인 값을 아홉 개 늘어놓고 주값과 그 라디안, 그리고 같은 사인을 가지는 원 위의 두 번째 각도를 함께 적었습니다.

사인 값 아홉 개와 주값, 그리고 두 번째 해

sin θθ (도)다른 각도 (도)θ (rad)
-1-90270-1.5708
-0.866-60240-1.0471
-0.7071-45225-0.7854
-0.5-30210-0.5236
001800
0.5301500.5236
0.7071451350.7854
0.866601201.0471
190901.5708

둘째 열이 함수가 돌려주는 값이고 셋째 열이 함수가 버리는 값이며, 그 짝이 이 표의 요점입니다. 가운데 행부터 읽어 보십시오. 값 0은 0과 180의 짝에 속하고, 페이지가 열릴 때의 값인 0.5는 익숙한 짝인 30과 150에 속합니다. 표 전체에서 두 열을 더하면 180이 되는데, 그것이 접기의 산술이고 양 끝에서도 성립합니다. 끝의 두 행은 서로 다른 방식으로 흥미를 잃습니다. 위쪽 끝에서 짝은 90과 90입니다. 사인 곡선이 꼭대기에서 방향을 돌리므로 90도를 접은 자리가 다시 90도여서 두 열이 같은 수를 인쇄합니다. 아래쪽 끝에서 짝은 -90과 270으로, 같은 방향을 두 가지로 적은 것입니다. 둘째 열은 함수가 돌려주는 부호를 그대로 간직하고 셋째 열은 이미 원 위에 놓였으며, 한쪽만 음수가 될 수 있기 때문에 다른 각도처럼 보일 뿐입니다. 넷째 열은 둘째 열을 환산한 것입니다. 각도 열이 반 바퀴를 통째로 달리는 동안 이 열은 -1.5708에서 1.5708까지, 양쪽으로 파이의 절반만큼만 움직입니다.

공식

θ = arcsin x x ∈ [-1, 1] θ ∈ [-90°, 90°] [0°, 360°) 안의 다른 해는 180° - θ

x
출발점이 되는 사인 값입니다. -1과 1 사이에 있어야 합니다. 각도의 사인은 그 띠를 벗어날 수 없으므로 그 바깥의 값에 대응하는 각도는 하나도 없습니다
θ
함수가 돌려주는 각도이며 주값이라고 부릅니다. 언제나 -90도와 90도 사이에 있고 도와 라디안으로 함께 보고됩니다
180° - θ
같은 사인을 가지는 원 위의 두 번째 각도입니다. 세로축을 기준으로 접은 자리가 사인을 공유하기 때문에, 더하는 것이 아니라 180도에서 빼야 짝이 나옵니다

비율은 있는데 각도가 필요할 때 이 페이지를 씁니다. 사인으로 적힌 경사, 전체에 대한 비율로 주어진 힘의 성분, 비율만 실려 있는 표에서 읽어 낸 값이 모두 여기로 들어옵니다. 사인 값으로 각도를 구하는 일은 삼각형 문제가 두 변을 주고 한 변 건너편의 각을 물을 때도 필요합니다. 각도의 사인이 빗변 분의 대변이기 때문입니다. 이웃한 페이지가 둘 있습니다. 각도에서 세 비율을 얻고 싶으면 삼각함수 계산기 페이지가 반대 방향으로 달리고, 둘 다 정의되는 곳에서는 두 페이지가 일치합니다. 그리고 지금 가지고 있는 것이 빗변 분의 인접변이라면 그것은 아크코사인의 몫이고, 그 값의 범위는 오른쪽 반원이 아니라 원의 위쪽 절반을 덮습니다. 역삼각함수 셋은 서로 이웃이지만 값의 범위가 저마다 다르다는 점도 함께 기억해 둘 만합니다.

계산 예시

  1. 사인 값 0.5

    1. 값이 -1과 1 사이의 띠 안에 있으므로 찾을 각도가 있다
    2. 주값 범위에서 사인이 0.5인 각도는 30도이므로 페이지는 30도를 보고한다
    3. 라디안으로는 30 곱하기 180분의 파이, 곧 파이의 6분의 1이라서 0.5236

    페이지가 열릴 때의 값이고, 값의 범위가 무엇을 요구하는지 보여 주는 값입니다. 150도 역시 사인이 0.5이고 30도를 세로축 기준으로 접은 자리이지만, 함수는 수 하나만 돌려줄 수 있고 범위 안에 있는 쪽은 30도입니다. 표가 잃어버린 각도를 눈에 보이게 만들어 줍니다. 0.5는 아홉 행 가운데 여섯 번째 행이고 그 행의 세 번째 열이 150입니다. 두 각도 모두 같은 방정식의 답이지만, 함수가 돌려줄 수 있는 것은 그중 하나뿐입니다.

  2. 사인 값 0.25, 특수각이 아닌 값

    1. 4분의 1은 흔한 각도표에 있는 어떤 각도의 사인도 아니므로 답은 소수가 된다
    2. 사인이 0.25인 각도는 소수 둘째 자리까지 14.48도
    3. 같은 각도를 라디안으로 적으면 0.2527이고, 이는 사인 값 자체의 약 4분의 1이다

    대부분의 값은 특수각이 아니라 여기에 떨어지고, 이 행이 실제로 표를 찾아본 모습입니다. 라디안 열을 한 번 볼 만합니다. 작은 각도에서는 라디안 값이 사인 값 자체와 매우 가까워서 0.2527이 0.25 옆에 놓입니다. 작은 각도 근사라고 부르는 것이고, 그것이 표에서 저절로 나타난다는 사실이 라디안이 왜 미적분이 쓰는 단위인지를 가장 짧게 보여 줍니다.

  3. 음의 사인 값, -0.5

    1. -0.5는 띠 안에 있으므로 페이지가 각도를 찾는다
    2. 주값 범위에서 사인이 -0.5인 각도는 -30도이다
    3. 라디안도 같은 부호를 따라가서 -0.5236

    이 페이지가 배각과 반각 페이지와 다르게 읽히는 나머지 한 곳입니다. 그쪽에서는 음의 각도가 먼저 범위 안으로 들어온 뒤 원의 위쪽 절반에 있는 위치로 돌아왔습니다. 여기서는 답이 부호를 그대로 간직합니다. 주값 범위가 -90도에서 90도까지이고 그 절반이 0 아래에 있기 때문입니다. 수평선 아래로 30도와 위로 30도는 부호만 반대인 같은 각도이고, 함수는 입력의 부호와 맞는 쪽을 보고합니다. -0.5의 표 행이 두 가지 읽기를 함께 보여 줍니다. 둘째 열에는 -30이, 셋째 열에는 210이 놓입니다.

  4. 사인 값 1, 띠의 가장자리

    1. 1은 어떤 각도도 가질 수 있는 가장 큰 사인 값이므로 답은 주값 범위의 꼭대기이다
    2. 90도는 사인이 1이고, 그보다 큰 사인을 가지는 각도는 없다
    3. 라디안으로 직각은 파이의 절반이라서 1.5708

    두 해가 하나로 합쳐지는 행입니다. 띠 안의 다른 모든 사인 값은 서로 다른 두 각도의 것이지만, 1은 90도의 것이고 원 위의 다른 어떤 각도의 것도 아닙니다. 사인 곡선이 거기서 방향을 돌리므로 90도를 세로축 기준으로 접은 자리가 다시 90도입니다. 표가 그것을 그대로 보여 줍니다. 마지막 행의 둘째 열과 셋째 열이 모두 90입니다. 중복된 항목이 아니라 곡선이 꼭대기에서 평평해지는 장면입니다.

한계

이 페이지가 하지 않는 일이 셋 있습니다. 첫째, -1과 1 사이의 띠를 벗어난 값은 답이 없고 근삿값으로 대신하지도 않습니다. 1.5는 어떤 각도의 사인도 아니기 때문입니다. 둘째, 답은 주값뿐입니다. -1과 1 사이의 사인 값은 한 바퀴 안에서 두 각도의 것이고 바퀴를 넘어가면 무한히 많은 각도의 것이지만, 페이지는 -90도에서 90도 사이에 있는 하나를 돌려줍니다. 원하는 각도가 다른 쪽이라면 표의 셋째 열에 있고, 같은 각도에 정수 바퀴를 더하거나 뺀 것이라면 몇 바퀴인지는 여기서 알려 주지 않습니다. 셋째, 라디안은 소수 넷째 자리까지, 도는 소수 둘째 자리까지 인쇄되므로 반올림 끝에 특수각에 닿는 값은 그 각도로 인쇄됩니다. 0.866의 아크사인은 60도로 인쇄되지만, 60도의 정확한 사인은 0.866보다 조금 큽니다.

자주 묻는 질문

아크사인 0.5는 왜 150도가 아니라 30도인가요?
두 각도 모두 사인이 0.5이지만 함수는 수 하나만 돌려줄 수 있기 때문입니다. 아크사인의 값의 범위는 -90도에서 90도까지로 고정되어 있고, 30도가 그 안에 있는 각도입니다. 150도도 방정식의 답으로는 얼마든지 쓸 수 있고 이 페이지의 표가 셋째 열에 적어 두었지만, 함수가 돌려주는 값은 아닙니다.
1보다 큰 값을 넣으면 어떻게 되나요?
페이지가 거절합니다. 사인이 1보다 큰 각도는 없기 때문입니다. 각도의 사인은 각도가 무엇을 하든 -1과 1 사이에 머무르므로 역함수의 정의역이 정확히 그 띠이고, 그 바깥의 값에 대응하는 각도는 하나도 없습니다. 나눗셈에서 1.5가 들어가도 작은 수가 나오는 것과 다릅니다. 여기서는 질문 자체에 답이 없습니다.
음수를 넣으면 답이 왜 음수로 나오나요?
주값 범위가 -90도에서 90도까지이고 그 절반이 0 아래에 있기 때문입니다. 사인은 홀함수라서 -30도의 사인이 30도의 사인에 마이너스를 붙인 값이고, 그래서 음의 값을 되돌리면 음의 각도가 나옵니다. 원의 아래쪽에 있는 같은 방향의 각도, 곧 -0.5에 대한 330도도 같은 방향을 가리키지만, 페이지는 부호가 붙은 쪽을 보고합니다.
손으로 사인 값에서 각도를 어떻게 구하나요?
사인 표에서 값을 찾거나 띠에서 어림합니다. 사인 0.5는 30도, 사인 0.7071은 45도, 사인 0.866은 60도입니다. 그 사이에 있는 값은 계산기를 쓰는 것이 현실적인 길입니다. 손으로 할 때 꼭 기억할 것은 두 번째 각도입니다. 열린 구간 안의 사인 값은 한 바퀴에서 두 각도의 것이고, 표는 보통 첫 번째만 싣습니다.
아크사인의 라디안 값은 무엇인가요?
같은 각도를 다른 방식으로 잰 값입니다. 30도는 파이의 6분의 1이고 0.5236 라디안이며, 페이지가 둘을 함께 인쇄하므로 변환을 손으로 할 일이 없습니다. 라디안은 사인의 도함수가 코사인이 되게 만드는 단위이고, 그래서 미적분이 걸린 곳은 각도를 라디안으로 적고 각도기로 재는 곳은 도로 적습니다.
아크사인은 사인 분의 1과 같은 말인가요?
아닙니다. 둘 다 사인이라는 낱말로 적혀서 헷갈리기 쉽습니다. 아크사인은 사인을 되돌리는 함수라서 0.5를 받아 30도를 돌려줍니다. 사인 분의 1은 0.5를 받아 2를 돌려주는데, 그것은 30도의 코시컨트이고 각도가 아니라 비율입니다. 표기도 문제를 키웁니다. 역함수를 위첨자 -1로 적는 경우가 많은데, 그 모양이 거듭제곱과 똑같이 생겼습니다.

참고 문헌

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