아크코사인 계산기

θ = arccos x x ∈ [-1, 1] θ ∈ [0°, 180°] [0°, 360°) 안의 다른 해는 360° - θ

x

출발점이 되는 코사인 값이며 -1과 1 사이입니다. 그 띠 바깥의 값을 가지는 각도는 없고, 페이지는 근삿값으로 대신하지 않고 값을 거절합니다

θ

함수가 돌려주는 각도입니다. 아크사인과 달리 음수가 되지 않습니다. 값의 범위가 오른쪽 반원이 아니라 원의 위쪽 절반을 덮기 때문입니다

360° - θ

같은 코사인을 가지는 원 위의 두 번째 각도입니다. 가로축을 기준으로 접힌 각도가 코사인을 공유하기 때문에, 짝은 한 바퀴에서 빼서 찾습니다. 아크사인 페이지가 반 바퀴에서 빼는 것과 다릅니다

빗변 분의 인접변을 알고 그 사이의 각도를 원할 때 이 페이지를 씁니다. 사다리가 벽과 이루는 각, 두 벡터의 내적에서 뽑아낸 사이각, 코사인으로 저장되어 있던 방위를 되살린 방향이 모두 여기로 들어옵니다. 삼각형 문제가 세 변을 주고 각을 물을 때도 이 함수가 필요합니다. 코사인 법칙이 내놓는 것이 코사인뿐이기 때문입니다. 이웃한 페이지가 둘 있습니다. 지금 쥐고 있는 비율이 빗변 분의 대변이라면 그것은 아크사인의 몫이고, 그 값의 범위는 위쪽 절반이 아니라 오른쪽 반원을 덮으며 답에 부호가 붙습니다. 두 페이지는 제1사분면에서 일치하고 그 밖에서는 갈라섭니다. 그리고 각도에서 코사인을 얻고 싶으면 코사인 계산기 페이지가 반대 방향으로 달립니다.

1. 코사인 값 0.5

   1. 값이 띠 안에 있으므로 찾을 각도가 있다
   2. 값의 범위에서 코사인이 0.5인 각도는 60도이므로 페이지는 60도를 보고한다
   3. 라디안으로는 60 곱하기 180분의 파이, 곧 파이의 3분의 1이라서 1.0472

   페이지가 열릴 때의 값이고, 두 역삼각 페이지가 어떻게 맞물리는지 보여 주는 값입니다. 0.5의 아크사인은 30도이고 0.5의 아크코사인은 60도이며, 30 더하기 60은 90입니다. 우연이 아니라 두 페이지를 묶는 항등식이고, 띠 안의 모든 값에서 성립합니다. 같은 값이 두 번째 해의 출처도 보여 줍니다. 300도 역시 코사인이 0.5이고 60도를 가로축 기준으로 접은 자리이며, 그래서 표의 이 행에서 셋째 열이 300입니다.

2. 음의 코사인 값, -0.5

   1. -0.5는 띠 안에 있으므로 페이지가 각도를 찾는다
   2. 값의 범위에서 코사인이 -0.5인 각도는 120도이다
   3. 라디안으로는 파이의 3분의 2라서 2.0944

   이 페이지가 왜 음의 답을 내놓지 않는지 설명해 주는 행입니다. 음의 코사인은 둔각의 몫이고, 값의 범위는 그것을 0 아래로 접는 대신 90도를 지나쳐 올라가서 받습니다. -60도가 아니라 120도입니다. 아크사인 페이지는 같은 입력을 받아 같은 방향을 부호 있는 각도로 답합니다. -0.5에 대해서는 -30도입니다. 둘 다 맞고, 두 함수가 원을 나누는 방식이 다를 뿐입니다. 항등식도 그대로 성립합니다. -0.5의 아크사인은 -30도이고, -30 더하기 120은 90입니다.

3. 코사인 값 0.25, 특수각이 아닌 값

   1. 4분의 1은 흔한 각도표에 있는 어떤 각도의 코사인도 아니므로 답은 소수가 된다
   2. 코사인이 0.25인 각도는 75.52도이다
   3. 같은 각도를 라디안으로 적으면 1.3181

   대부분의 입력은 특수각이 아니라 여기에 떨어집니다. 이 행은 감소 함수라는 성질이 가장 또렷하게 보이는 자리이기도 합니다. 4분의 1은 작은 코사인이고, 작은 코사인은 범위의 아래쪽이 아니라 위쪽에 가까운 각도의 몫입니다. 작은 값이 작은 각도를 주는 아크사인 페이지와 견주어 보십시오. 이 뒤집힘은 두 정의의 우연이 아니라 두 곡선의 모양에서 보이는 같은 뒤집힘이고, 표가 그것을 수식이 하지 못하는 방식으로 드러냅니다.

4. 코사인 값 -1, 띠의 가장자리

   1. -1은 어떤 각도도 가질 수 있는 가장 작은 코사인 값이므로 답은 범위의 오른쪽 끝이다
   2. 180도는 코사인이 -1이고, 그보다 작은 코사인을 가지는 각도는 없다
   3. 라디안으로 반 바퀴는 파이라서 3.1416

   두 번째 해가 두 번째 각도가 아닌 두 행 가운데 하나입니다. 코사인 -1은 180도의 몫이고 원 위의 다른 어떤 각도의 몫도 아닙니다. 코사인 곡선이 가장 낮은 자리에서 방향을 돌리므로 그 점을 가로축 기준으로 접은 자리가 점 자신이기 때문입니다. 표가 그것을 보여 줍니다. 첫 행의 둘째 열과 셋째 열이 모두 180입니다. 반대쪽 끝도 같은 방식으로 처신합니다. 코사인 1은 0도만의 몫입니다. 그 두 행 사이에서 띠 안의 모든 값은 진짜 짝을 가지고, 그 짝을 더하면 한 바퀴가 됩니다.

이 페이지가 하지 않는 일이 셋 있습니다. 첫째, -1과 1 사이의 띠를 벗어난 값은 거절합니다. 그런 코사인을 가지는 각도가 없기 때문이고, 아크사인 페이지와 같은 경계이며 이유도 같습니다. 둘째, 답은 주값뿐입니다. -1과 1 사이의 코사인은 한 바퀴 안에서 두 각도의 것이고 바퀴를 넘어가면 무한히 많은 각도의 것이지만, 페이지는 위쪽 반원에 있는 하나를 돌려줍니다. 다른 하나는 표의 셋째 열에 있고, 더 멀리 있는 복사본이 몇 바퀴 떨어져 있는지는 여기서 알려 주지 않습니다. 셋째, 라디안은 소수 넷째 자리까지, 도는 소수 둘째 자리까지 인쇄되므로 반올림 끝에 특수각에 닿는 값은 그 각도로 인쇄됩니다. 0.866의 아크코사인은 30도로 인쇄되지만, 30도의 정확한 코사인은 0.866보다 조금 작습니다.

아크코사인은 왜 음의 각도를 내놓지 않나요?

값의 범위가 0도에서 180도까지, 곧 원의 위쪽 절반으로 고정되어 있기 때문입니다. 음의 코사인은 둔각의 몫이고, 이 범위는 그것을 아크사인처럼 0 아래로 접는 대신 90도보다 큰 각도로 보고합니다. -0.5의 코사인은 -60도가 아니라 120도에 있습니다. 두 각도가 같은 방향을 가리키는데도 그렇습니다.

아크사인과는 무엇이 다른가요?

값의 범위가 다르고, 그래서 제1사분면을 벗어나면 답이 달라집니다. 아크사인은 -90도에서 90도 사이의 각도를 돌려주고 아크코사인은 0도에서 180도 사이의 각도를 돌려줍니다. 띠 안의 모든 값에서 두 답을 더하면 90도가 되고, 그것이 둘 중 어느 쪽을 확인하는 가장 빠른 길입니다. 0.5의 아크코사인은 60도이고 아크사인은 30도입니다. 두 번째 해를 찾는 방식도 달라서, 여기서는 한 바퀴에서 빼고 저기서는 반 바퀴에서 뺍니다.

1보다 큰 값을 넣으면 어떻게 되나요?

페이지가 거절합니다. 각도의 코사인은 각도가 무엇을 하든 -1과 1 사이에 머무르므로 역함수의 정의역이 정확히 그 띠이고, 그 바깥의 값에 대응하는 각도는 하나도 없습니다. 아크사인과 같은 경계이고 출처도 같습니다. 삼각형의 두 변의 비율은 아래에 놓인 변이 셋 중 가장 길 때 1을 넘을 수 없습니다.

손으로 코사인 값에서 각도를 어떻게 구하나요?

외워 둘 만한 값부터 씁니다. 코사인 0.5는 60도, 0.7071은 45도, 0.866은 30도입니다. 나머지는 표나 계산기에서 읽습니다. 그다음 두 번째 각도를 기억하십시오. 첫 번째 각도를 가로축 기준으로 접은 자리이고, 360에서 빼서 찾습니다. 삼각형이 세 변을 줄 때 꺼내 쓸 페이지가 이것입니다. 코사인 법칙은 코사인을 내놓고 거기서 멈추기 때문입니다.

표의 답이 왜 거꾸로 흐르나요?

코사인이 각도가 커질수록 줄어들기 때문입니다. 이 페이지가 보고하는 범위, 곧 0도에서 180도까지에서 코사인은 1에서 -1로 내려가므로 입력이 클수록 각도는 언제나 작아집니다. 표를 위에서 아래로 읽으면 답이 적히는 열이 180에서 0으로 갑니다. 아크사인 페이지는 반대로 처신하고, 그 차이는 두 곡선의 모양에서 보이는 것과 같은 차이입니다.

아크코사인은 코사인 분의 1과 같은 말인가요?

아닙니다. 아크코사인은 코사인을 되돌리는 함수라서 0.5를 주면 60도를 돌려줍니다. 코사인 분의 1은 0.5를 받아 2를 돌려주는데, 그것은 60도의 시컨트이고 각도가 아니라 비율입니다. 표기가 혼동을 부추깁니다. 역함수를 위첨자 -1로 적는 경우가 많은데, 그 모양이 거듭제곱처럼 생겼으면서 거듭제곱이 아닙니다.

• Inverse Cosine — 이 페이지가 계산하는 함수, 그 값의 범위, 그리고 줄어든다는 것이 무슨 뜻인지 — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Trigonometric Functions — 세 역함수를 함께, 서로를 갈라놓는 값의 범위와 함께 — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — 사인과 코사인과 탄젠트의 정의, 그리고 앞의 둘을 묶는 항등식 — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Sine, Cosine, Tangent — 같은 세 함수를 쉬운 말로, 값의 범위 그림을 나란히 놓고 — Math is Fun (United Kingdom)