아크탄젠트 계산기

θ = arctan x x ∈ ℝ θ ∈ (-90°, 90°) [0°, 360°) 안의 다른 해는 θ + 180°

x

탄젠트 값이며 어떤 실수든 됩니다. 여기서 거절되는 값은 없습니다. 탄젠트가 원 위 어딘가에서 모든 실숫값을 가지기 때문입니다

θ

함수가 돌려주는 각도이며 언제나 -90도와 90도 사이에 있습니다. 양 끝은 열린 구간이라 포함되지 않습니다. 그 두 각도에서 탄젠트는 값을 가지지 못합니다

θ + 180°

같은 탄젠트를 가지는 원 위의 두 번째 각도입니다. 탄젠트가 반 바퀴마다 되풀이되므로, 짝은 축을 기준으로 접어서가 아니라 더해서 찾습니다

쥐고 있는 비율이 물매일 때 이 페이지를 씁니다. 기울기, 도로나 지붕의 경사, 평면 위 벡터의 방향이 모두 그렇습니다. 알고 있는 두 변이 직각에서 만나는 두 변일 때도 이 역함수를 꺼냅니다. 각도의 탄젠트가 대변 나누기 인접변이기 때문입니다. 그리고 이 함수는 입력이 너무 크다고 물리치는 일이 없습니다. 이웃한 페이지가 둘 있습니다. 쥐고 있는 비율이 빗변 분의 대변이라면 그것은 아크사인의 몫이고, 그 값의 범위는 가운데 띠가 아니라 오른쪽 반원을 덮습니다. 각도에서 탄젠트를 얻고 싶으면 탄젠트 계산기 페이지가 반대 방향으로 달리고, 그 페이지는 왜 비율이 직각에서 폭발하는지를 스스로 설명합니다. 반 바퀴라는 주기와 열린 구간이라는 값의 범위가 이 페이지를 앞의 두 페이지와 갈라놓는 지점입니다.

1. 탄젠트 값 1

   1. 값이 무엇이든 받아들여지므로 찾을 각도가 있다
   2. 값의 범위에서 탄젠트가 1인 각도는 45도이므로 페이지는 45도를 보고한다
   3. 라디안으로는 파이의 4분의 1이라서 0.7854

   페이지가 열릴 때의 값이고, 반 바퀴 짝의 가장 작은 예입니다. 탄젠트 1은 225도의 것이기도 하고, 225는 45에 반 바퀴를 더한 값입니다. 표의 그 행에서 셋째 열이 225입니다. 그 짝이 무엇이 아닌지도 짚어 두십시오. 아크사인과 아크코사인 페이지에서 두 번째 해가 그러했던 것처럼 어느 축을 기준으로 접은 자리가 아닙니다. 탄젠트는 반 바퀴 뒤에 자기 자신을 되풀이할 뿐이고, 그것은 탄젠트의 주기가 360도가 아니라 180도라는 말과 같은 말입니다.

2. 음의 탄젠트 값, -1

   1. 값이 받아들여지고 음수이므로 답도 음수가 된다
   2. 값의 범위에서 탄젠트가 -1인 각도는 -45도이다
   3. 라디안도 부호를 따라가서 -0.7854

   아크사인 페이지와 같고 아크코사인 페이지와는 다른, 부호를 그대로 두는 관례입니다. 음의 물매는 음의 각도를 줍니다. 값의 범위가 -90도에서 90도까지이고 그 절반이 0 아래에 있기 때문입니다. 여기서 짝은 135도이고, -45에 반 바퀴를 더한 값이며 45도를 세로축 기준으로 접은 자리이기도 합니다. 다만 그 일치는 이 페이지의 성질이 아니라 이 값의 성질이고, 값이 정확히 -1이 아니게 되는 순간 성립하지 않습니다.

3. 탄젠트 값 0.5, 특수각이 아닌 값

   1. 2분의 1은 흔한 각도표에 있는 어떤 각도의 탄젠트도 아니므로 답은 소수가 된다
   2. 탄젠트가 0.5인 각도는 26.57도이다
   3. 같은 각도를 라디안으로 적으면 0.4636

   대부분의 물매는 특수각이 아니라 이런 행에 떨어집니다. 답의 모양을 보기에도 가장 좋은 자리입니다. 값이 커지면 각도는 90도를 향해 올라가되 닿지 않고, 값이 0으로 줄어들면 각도도 0으로 내려갑니다. 작은 각도의 탄젠트는 라디안으로 적은 각도 자체와 매우 가깝습니다. 0.5에 대해 0.4636이고, 아크사인 페이지에서도 나왔던 그 작은 각도 근사이며 여기서는 그쪽보다 더 느슨합니다.

4. 탄젠트 값 100만, 값의 범위 끝에서

   1. 여기서는 100만도 평범한 입력이다. 아무런 상한이 걸리지 않기 때문이다
   2. 탄젠트가 100만인 각도는 89.99994도로, 90도에 아주 조금 못 미친다
   3. 소수 둘째 자리로는 그 차이가 드러나지 않으므로 페이지는 90도를 인쇄한다

   이 페이지가 경고하려고 존재하는 행입니다. 90도는 값의 범위에 없고 앞으로도 없습니다. 그 각도에서 탄젠트는 아예 값을 가지지 못합니다. 그런데 이만큼 큰 입력은 인쇄된 답이 그 값으로 반올림될 만큼 가까이 갑니다. 인쇄된 숫자는 자기 정체에 대해 정직합니다. 표시된 정밀도에서 그 각도는 90도입니다. 잘못된 것은 그것을 정확한 값으로 읽는 일이고, 더 나쁘게는 90도의 탄젠트가 정의되지 않는 대신 100만이라고 읽는 일입니다. 입력을 1억으로 더 밀어도 진짜 각도는 90도에 더 가까워질 뿐 읽히는 값은 달라지지 않습니다.

이 페이지가 하지 않는 일이 셋 있습니다. 첫째, 값의 범위의 양 끝은 돌려주지 않습니다. 90도와 -90도는 탄젠트가 값을 가지지 못하므로 열린 구간에서 빠져 있고, 그래서 답은 그리로 다가가되 도착하지 않습니다. 차이가 소수 둘째 자리 아래로 내려갈 만큼 큰 입력에 대해서는 페이지가 끝값을 인쇄하고, 그 읽기는 정확한 값이 아니라 반올림된 값입니다. 둘째, 답은 주값뿐입니다. 탄젠트가 반 바퀴마다 되풀이되므로 이 페이지의 모든 값은 한 바퀴 안에서 두 각도의 것이고 바퀴를 넘어가면 무한히 많은 각도의 것이지만, 페이지는 -90도와 90도 사이에 있는 하나를 돌려줍니다. 짝은 표의 셋째 열에 있고 반 바퀴 떨어져 있습니다. 셋째, 라디안은 소수 넷째 자리까지, 도는 소수 둘째 자리까지 인쇄되므로 반올림 끝에 특수각 근처에 닿는 값은 그 각도로 인쇄됩니다. 1.7321의 아크탄젠트는 60도로 인쇄되지만, 60도의 정확한 탄젠트는 그것보다 조금 큽니다.

다른 두 페이지는 1보다 큰 값을 거절하는데 여기서는 왜 무엇이든 받나요?

탄젠트에는 위쪽 한계가 없기 때문입니다. 아크사인과 아크코사인은 가장 긴 변이 아래에 놓인 두 변의 비율을 받으므로 입력이 1을 넘을 수 없습니다. 탄젠트는 대변 나누기 인접변이고 그 둘은 가장 긴 변이 아니어서, 비율은 삼각형이 가파른 만큼 커질 수 있습니다. 탄젠트 100만은 너비보다 100만 배 높은 벽의 물매입니다.

아주 큰 값을 넣으면 왜 정확히 90도가 나오나요?

엄밀히 말하면 아닙니다. 90도 바로 아래의 각도가 나오고, 그것이 90도로 반올림될 뿐입니다. 90도는 값의 범위에 없습니다. 그 각도에서 탄젠트가 값을 가지지 못하고 비율은 0으로 나누게 되기 때문입니다. 입력이 커지면 답은 90도를 향해 올라가되 도착하지 않아서, 대략 1만을 넘는 값부터는 인쇄된 답이 소수 둘째 자리까지 90도입니다. 그 정밀도에서는 맞는 읽기이고, 정확한 값으로 다루면 틀리는 읽기입니다.

두 번째 각도가 왜 접은 자리가 아니라 반 바퀴 떨어져 있나요?

탄젠트가 360도가 아니라 180도마다 되풀이되기 때문입니다. 각도에 반 바퀴를 더하면 대변과 인접변의 부호가 함께 뒤집히고, 부호가 둘 다 바뀐 두 양의 비율은 그대로입니다. 아크사인과 아크코사인 페이지는 두 번째 해를 축을 기준으로 접어서 찾습니다. 사인과 코사인은 거울상끼리 공유되기 때문입니다. 탄젠트는 그렇지 않아서, 짝은 빼서가 아니라 더해서 나옵니다.

손으로 탄젠트 값에서 각도를 어떻게 구하나요?

탄젠트 1은 45도이고 탄젠트 1.7321은 60도라는 것을 기억해 두고, 나머지는 표나 계산기에서 구합니다. 그다음 원 위의 다른 각도를 원하면 180도를 더합니다. 물매, 곧 기울기에 쓸 역함수가 이것이고, 알고 있는 두 변이 직각에서 만나는 두 변일 때도 이 함수를 씁니다.

음수를 넣으면 답이 왜 음수로 나오나요?

값의 범위가 -90도에서 90도까지이고 그 절반이 0 아래에 있기 때문입니다. 탄젠트가 음수라는 것은 대변과 인접변이 서로 다른 부호를 가진다는 뜻이고, 내려가는 물매입니다. 페이지는 입력이 시사하는 부호로 그것을 보고합니다. 반 바퀴 떨어진 짝은 양의 각도입니다. -45도와 135도는 방향이 반대인 같은 물매입니다.

아크탄젠트는 탄젠트 분의 1과 같은 말인가요?

아닙니다. 아크탄젠트는 탄젠트를 되돌리는 함수라서 1을 주면 45도를 돌려줍니다. 탄젠트 분의 1은 1을 받아 1을 돌려주는데, 그것은 45도의 코탄젠트이고 각도가 아니라 비율입니다. 둘은 45도에서만 겹치고, 바로 그런 종류의 우연이 이 혼동을 끈질기게 만듭니다.

• Inverse Tangent — 이 페이지가 계산하는 함수, 열린 값의 범위, 큰 값에서의 처신 — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Trigonometric Functions — 세 역함수를 함께, 이 함수만 모든 실수를 받는 이유까지 — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangent — 비율의 정의, 반 바퀴라는 주기, 값을 가지지 못하는 각도 — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Sine, Cosine, Tangent — 같은 세 함수를 쉬운 말로, 값의 범위 그림을 나란히 놓고 — Math is Fun (United Kingdom)