기울기 계산기

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) b = y₁ − m·x₁ ax + by = c ⇒ m = −a ÷ b, b = c ÷ b

x₁, y₁, x₂, y₂

두 점이며, 선택 항목이 두 점으로 되어 있을 때 쓰입니다. 첫 번째 점과 두 번째 점은 서로 바꿔도 됩니다. 바꾸면 분자와 분모의 부호가 함께 뒤집혀서 기울기는 같은 값이 나옵니다. 바꿀 수 없는 것은 x를 y 상자에 넣는 일입니다. 그것을 검사하는 장치는 없고, 결과는 지극히 평범해 보이는 수로 나옵니다

a, b, c

직선의 방정식 ax + by = c의 세 계수이며, 선택 항목이 방정식으로 되어 있을 때 쓰입니다. 그 모드에서만 읽히고, 다른 모드에서는 화면에 아무 표시도 없이 무시됩니다. 여기서 b는 y의 계수이지 y절편이 아니라는 점에 주의하십시오. y절편은 따로 나오는 출력이고, 둘을 헷갈리는 것이 이 꼴에서 가장 흔한 실수입니다

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

두 점에서 구한 기울기, 곧 높이의 변화를 가로의 변화로 나눈 값입니다. 두 점을 아무리 멀리 잡아도 같은 수가 나오는 것이 직선을 직선이게 하는 성질입니다. 1킬로미터 떨어진 두 점이든 1밀리미터 떨어진 두 점이든 비율은 달라지지 않습니다. 이것이 깨지는 경우는 x₁과 x₂가 같을 때 하나뿐이고, 그때 분모가 0이 되어 직선이 수직이 됩니다

m = −a ÷ b

직선의 방정식에서 구한 기울기이며, ax + by = c를 y = (−a ÷ b)x + (c ÷ b)로 정리해서 얻습니다. 마이너스 부호를 빠뜨리기 쉬운데, 빠뜨리면 크기는 맞고 부호만 틀린 기울기가 나옵니다. 내려가는 직선이 올라가는 것처럼 보이게 만드는 것이 바로 그 실수입니다. b가 0이면 정리 과정에서 0으로 나누게 되고 직선이 수직이 되므로, 그 경우는 근사하지 않고 거절합니다

b = y₁ − m·x₁

y절편, 곧 직선이 세로축과 만나는 곳입니다. 그래프에서 읽는 것이 아니라 기울기와 두 점 중 하나로 계산하며, 0일 때를 포함해 어떤 입력에서도 인쇄됩니다. 원점을 지나는 직선의 절편은 정확히 0이고, 그것은 식에 상수항이 아예 없다는 뜻이라서 굳이 눈으로 확인할 값이 있습니다

각도 = arctan(m)

기울기의 arctan을 도로 나타낸 값이며 −90에서 90 사이에 있습니다. 기울기 1은 45도, 기울기 −1은 −45도, 수평인 직선은 0도입니다. 이것은 좌표기하에서 쓰는 경사각이 아닙니다. 경사각은 0에서 180까지 돌아가며 같은 −45도짜리 직선을 135도라고 부릅니다. 이 페이지가 arctan을 쓰는 이유는 그것이 기울기에서 곧바로 따라 나오는 각이기 때문입니다. 일대일이고 되돌릴 수 있습니다

표준적인 두 꼴 중 하나로 주어진 직선에서 기울기를 끌어내야 할 때, 그리고 손으로 정리하지 않고 직선의 방정식에서 기울기와 절편을 읽어야 할 때 씁니다. 2x + 3y = 6은 한 번에 기울기 −2/3과 절편 2가 됩니다. 이미 그려 놓은 직선을 검산하는 페이지이기도 합니다. 기울기의 부호가 반대로 나오거나 절편이 축을 지나는 자리와 맞지 않으면 어딘가에서 식을 잘못 읽은 것입니다. 기울기를 물리적인 경사와 견줘야 할 때 각도가 쓸모가 있는데, 그것은 경사각이 아니라 arctan이므로 그 차이를 염두에 두고 읽어야 합니다. 등급이나 경사로처럼 ‘몇 퍼센트’로 말하는 상황이라면 오르내림 계산기가 맞습니다. 같은 산수지만 어휘가 다르고, 그 페이지는 퍼센트 경사로 말합니다. 식에 x² 항이 있으면 근의 공식 계산기의 차례입니다. 곡선은 기울기가 하나로 정해지지 않고, 그 페이지는 곡선이 0을 지나는 곳을 찾습니다.

1. (1, 2)와 (4, 8)을 지나는 직선

   1. y의 변화량: 8 − 2 = 6
   2. x의 변화량: 4 − 1 = 3
   3. 기울기: 6 ÷ 3 = 2
   4. 절편: 2 − 2 × 1 = 0이므로 이 직선은 원점을 지납니다
   5. 각도: arctan(2) = 63.4349도

   각도를 빼면 모든 답이 정수로 떨어지는 두 점의 경우입니다. 흔한 상황입니다. 유리수 기울기의 arctan은 거의 언제나 정수 도가 되지 않기 때문입니다. 절편이 정확히 0인 것은 한 번 짚어 볼 만합니다. 이 직선의 식이 아무것도 더해지지 않은 y = 2x라는 뜻이고, 절편이 축 위 어딘가 눈에 보이는 높이일 것이라 기대한 읽는 사람은 바로 원점을 지나는 직선을 보고 있는 셈입니다.

2. (0, 3)과 (4, 0)을 지나는 직선

   1. y의 변화량: 0 − 3 = −3
   2. x의 변화량: 4 − 0 = 4
   3. 기울기: −3 ÷ 4 = −0.75이며, 오른쪽으로 내려가므로 음수입니다
   4. 절편: 3 − (−0.75 × 0) = 3이고, 그래프에서는 (0, 3)이라는 점으로 보입니다
   5. 각도: arctan(−0.75) = −36.8699도

   음수 기울기이자, 각도 관례가 문제가 되는 경우입니다. 이 직선은 오른쪽으로 내려가므로 각도가 음수입니다. 기하 교과서는 같은 직선의 경사각을 143.13도라고 부를 것이고, 두 수는 한 직선을 가리킵니다. 여기서는 첫 번째 점의 x가 0이라 세로축 위에 딱 앉아 있어서 절편을 확인하기가 가장 쉽습니다.

3. 직선 2x + 3y = 6

   1. y = mx + b 꼴로 정리합니다: 3y = 6 − 2x이므로 y = 2 − (2 ÷ 3)x
   2. 기울기는 −a ÷ b = −2 ÷ 3 = −0.666667입니다
   3. 절편은 c ÷ b = 6 ÷ 3 = 2입니다
   4. 각도: arctan(−0.666667) = −33.6901도
   5. 검산: x = 0을 넣으면 식이 3y = 6이 되고 y = 2이므로 절편과 맞습니다

   방정식 모드이자, 공식에 왜 마이너스 부호가 있는지 보여 주는 경우입니다. 그 부호를 빼면 −0.666667이 아니라 0.666667이 나옵니다. 가파름은 같고 내려가는 대신 올라가는 직선인데, 원래 식에 대조해 보면 잡히고 숫자를 흘깃 봐서는 안 잡히는 종류의 실수입니다. 절편은 공식을 믿는 대신 식에 x를 0으로 넣어서 확인할 수 있습니다.

4. 직선 x − y = 4

   1. 정리합니다: −y = 4 − x이므로 y = x − 4
   2. 기울기는 −a ÷ b = −1 ÷ (−1) = 1입니다
   3. 절편은 c ÷ b = 4 ÷ (−1) = −4입니다
   4. 각도: arctan(1) = 정확히 45도

   b가 음수인 경우이고, 두 공식의 마이너스 부호가 서로 상쇄되어 답이 양수로 나오는 자리입니다. 각도가 정수 도로 떨어지는 몇 안 되는 직선이기도 합니다. 기울기 1은 45도, 기울기 −1은 −45도이고, 그래서 그 두 줄이 참고표에 들어 있습니다. 절편 −4는 직선이 원점 아래에서 축을 지난다는 뜻인데, 계수가 음수면 기울기도 음수일 것이라 짐작한 읽는 사람은 정확히 거꾸로 아는 셈입니다.

5. (2, 5)와 (6, 5)를 지나는 수평인 직선

   1. y의 변화량: 5 − 5 = 0
   2. x의 변화량: 6 − 2 = 4
   3. 기울기: 0 ÷ 4 = 0. 수평인 직선이고, 기울기가 정의되지 않는 것이 아니라 0입니다
   4. 절편: 5 − 0 × 2 = 5이며, 직선이 놓인 높이입니다
   5. 각도: arctan(0) = 0도

   기울기가 0인 경우이며, 이 페이지가 거절하는 수직인 직선과 가장 자주 혼동되는 자리입니다. 수평인 직선의 기울기는 정확히 0이고 오르지도 내리지도 않습니다. 수직인 직선은 기울기가 아예 없습니다. 차이는 0이 분자에 떨어지는지 분모에 떨어지는지입니다. 여기서는 모든 출력이 깔끔한 수라서 그림과 맞춰 보기에 가장 쉬운 줄입니다.

두 묶음의 입력 상자가 모두 화면에 있고 선택 항목이 어느 쪽을 읽을지 정합니다. 읽히지 않는 묶음은 흐려지지 않습니다. 이 페이지가 그렇게 할 수 없기 때문입니다. 그래서 잘못된 묶음에 넣은 수는 조용히 무시되고, 그 수를 고쳐도 결과는 움직이지 않습니다. 이것이 화면만 봐서는 알 수 없는 이 페이지의 유일한 동작이고, 고치는 방법은 선택 항목을 확인하는 것 하나뿐입니다. 두 점이라고 적혀 있으면 두 점 상자를 읽고, 직선의 방정식이라고 적혀 있으면 a, b, c 상자를 읽습니다. 수직인 직선은 두 모드 모두에서 기울기가 무한대라고 보고하는 대신 거절합니다. 무한대는 쓸 수 있는 수가 아니고 수직인 직선에는 정말로 기울기가 없기 때문입니다. 수평인 직선은 전혀 다른 경우이고 기울기가 정확히 0으로 나옵니다. 각도는 기울기의 arctan이라 −90도에서 90도 사이를 오가며, 좌표기하에서 쓰는 0도에서 180도의 경사각이 아닙니다. 내려가는 같은 직선이 여기서는 −45도, 교과서에서는 135도이고, 둘을 혼동하면 각도로 계산한 모든 것에 부호 하나가 틀린 채로 들어갑니다. 기울기는 단위가 없는 순수한 수이고, 두 축을 같은 것으로 재었을 때에만 뜻이 있습니다. 거리를 미터로, 시간을 초로 잰 두 축 사이의 기울기 5는 초속 5미터이고, 이 페이지는 그렇게 말해 주지 않습니다. 좌표는 절댓값 백만으로 제한되며 이것은 표시 범위입니다. 등급은 없습니다. 직선이 얼마나 가파른지에 권위 있는 기준선이 없고, 기울기의 부호만으로도 오르는지 내리는지가 한눈에 보이기 때문입니다. 마지막으로 이 페이지는 직선만 다룹니다. 곡선은 점마다 기울기가 다르고, 여기서는 도함수를 계산하지 않습니다.

상자의 수를 고쳤는데 답이 그대로인 이유는 무엇인가요?

선택 항목이 다른 묶음으로 되어 있기 때문입니다. 두 묶음의 상자는 언제나 화면에 있고 한 번에 하나만 읽힙니다. 선택 항목이 두 점에 있으면 a, b, c 상자는 통째로 무시되고, 방정식에 있으면 좌표 네 칸이 그렇습니다. 쓰이지 않는 묶음은 흐려지지 않으므로 어느 수가 실제로 세어지는지는 선택 항목만이 알려 줍니다. 결과가 멈춘 것 같으면 그것부터 확인하십시오.

수직인 직선의 기울기는 무엇인가요?

없습니다. 이 페이지는 무한대를 인쇄하는 대신 그 입력을 거절합니다. 기울기는 y의 변화량을 x의 변화량으로 나눈 값인데 수직인 직선에서는 x의 변화량이 0이라서, 산수가 0으로 나누라고 요구합니다. 무한대는 다음 단계로 들고 갈 수 있는 수가 아니고, 기울기가 무한하다고 말하면 기울기가 없다는 뜻이 아니라 아주 큰 수라는 뜻처럼 들립니다. 수평인 직선은 정반대의 경우이고 기울기가 정확히 0입니다.

방정식에서 기울기를 어떻게 구하나요?

ax + by = c를 y = mx + b 꼴로 정리하면 됩니다. 그러면 기울기가 −a ÷ b, 절편이 c ÷ b로 나오는데, 선택 항목이 방정식으로 되어 있을 때 이 페이지가 계산하는 것이 그것입니다. 부호가 보기보다 중요합니다. 2x + 3y = 6의 기울기는 −2/3이고, 마이너스를 빼면 가파름은 같지만 반대 방향으로 가는 직선이 됩니다.

이 각도와 교과서의 경사각은 어떻게 다른가요?

이 페이지의 각도는 기울기의 arctan이라 −90도에서 90도 사이에 있고, 좌표기하에서 쓰는 경사각은 0도에서 180도 사이에 있습니다. 오른쪽으로 내려가는 직선에서 둘은 180도만큼 어긋납니다. 기울기 −1에 대해 이 페이지는 −45도를 보고하고, 같은 직선의 경사각은 135도입니다. arctan을 쓰는 이유는 그것이 기울기에서 곧바로 일대일로 따라 나오기 때문입니다. 음수 기울기일 때 180도를 더하라는 규칙이 따로 필요하지 않습니다.

기울기에 단위가 있나요?

그 자체로는 없습니다. 기울기는 두 변화량의 비이므로 순수한 수이고, 두 축을 같은 것으로 재었을 때에만 ‘단위당 얼마’가 됩니다. 두 축이 모두 미터면 단위 없는 수가 나오고, 미터와 초라면 초속 미터가 나옵니다. 이 페이지는 그것을 묻지 않으므로 바꾸지도 표시하지도 못합니다. 두 축의 단위가 다르다면 기울기는 비율이고, 그 단위는 이 페이지가 줄 수 없는 유일한 것입니다.

이걸로 직선의 방정식을 구할 수 있나요?

아닙니다. 이 페이지는 반대 방향으로 갑니다. 이미 설명된 직선을 두 점으로든 방정식으로든 받아서 그 기울기와 절편을 보고합니다. 기울기와 한 점에서 식으로 가는 것은 다른 일이고, 점기울기형 계산기가 그 페이지입니다. 다만 이 페이지가 지나가면서 주는 것이 절편이고, 기울기와 절편이 있으면 그것이 이미 그 직선의 기울기-절편 꼴입니다. 직접 적어 넣으면 됩니다.

• Slope — 직선의 기울기를 높이의 변화 나누기 가로의 변화로 정의하며, 이 페이지가 계산하는 두 점 꼴과 방정식 꼴을 담고 있습니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — 일반형 ax + by = c와 그것을 기울기-절편 꼴로 정리한 것, 그리고 b가 0인 수직의 경우 — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Tangent — 각도 열에 쓰인 arctan과, 경사각과 구별해 주는 −90도에서 90도까지의 치역 — Wolfram MathWorld (United States)