기울기 절편형 계산기

두 점 (x₁, y₁)과 (x₂, y₂) → m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) → b = y₁ - m * x₁ → y = m * x + b

m

기울기, 곧 오른쪽으로 한 걸음 갈 때 직선이 얼마나 올라가는지입니다. 높이의 변화를 가로의 변화로 나눈 값이고, 부호가 방향입니다. 양수는 오르고 음수는 내려가며 0은 수평인 직선입니다. 기울기 4는 x가 1 늘 때 y가 4 늘어난다는 뜻입니다

b

y절편, 곧 직선이 세로축과 만나는 곳의 y 값이며 x = 0일 때의 y 값과 같습니다. 한 점에서 기울기가 기여한 몫을 빼고 남은 것이고, 이 페이지에서 식으로부터 곧바로 읽히는 유일한 수입니다

(x₁, y₁), (x₂, y₂)

두 점입니다. 어느 쪽을 첫 번째라고 불러도 됩니다. 바꾸면 기울기의 분자와 분모의 부호가 함께 뒤집히고 두 번 뒤집힌 것은 상쇄됩니다. 두 점의 x 좌표가 같아서는 안 됩니다. 그 나눗셈이 0으로 나누는 셈이 되기 때문입니다

x, y

완성된 방정식의 두 변수입니다. 이 식을 만족하는 짝은 모두 직선 위에 있고, 그것이 이 방정식의 쓸모입니다. 아무 x나 넣으면 그 위에 있는 점의 y가 돌아옵니다. 원래의 두 점이 없어도 됩니다

직선이 두 점으로 설명되어 있고, 그 직선에 대한 수 하나가 아니라 직선 자체를 원할 때 씁니다. 곧 방정식과 기울기, 축을 지나는 자리입니다. 표에서 읽은 두 값, 그래프 위의 두 위치, 시작값과 그 뒤의 측정값 하나 같은 것들입니다. 그런 것들로부터 기울기는 얼마나 빨리 변하는지를, 절편은 어디에서 시작했는지를 말해 줍니다. 기울기만 원하거나 두 점 사이 어딘가의 값을 예측하고 싶을 뿐이라면, 아래에 연결된 계산기들이 정확히 그것만 하고 다른 것은 하지 않습니다.

1. (1, 2)와 (3, 10) — 보통의 경우

   1. 높이의 변화: 10 − 2 = 8. 가로의 변화: 3 − 1 = 2
   2. 기울기: m = 8 / 2 = 4
   3. 절편: b = 2 − 4 × 1 = -2
   4. 방정식: y = 4x - 2

   두 점 모두에 대조해 보십시오. 들여 둘 만한 습관입니다. x = 1일 때 4 × 1 − 2 = 2이고, x = 3일 때 4 × 3 − 2 = 10입니다. 두 점이 모두 축 위에 있는데 절편이 음수인 것은 실수가 아닙니다. 직선이 충분히 가팔라서 첫 번째 점보다 훨씬 왼쪽인 x = 0.5에서 축을 지납니다.

2. (0, 1)과 (2, 2) — 기울기가 정수가 아닌 경우

   1. 높이의 변화: 2 − 1 = 1. 가로의 변화: 2 − 0 = 2
   2. 기울기: m = 1 / 2 = 0.5
   3. 첫 번째 점이 이미 축 위에 있어서 b = 1이 그대로 나옵니다: b = 1 − 0.5 × 0 = 1
   4. 방정식: y = (1/2)x + 1

   계수에 괄호가 붙은 것은 1/2x가 1을 2x로 나눈 것으로 읽히기 때문입니다. 인쇄된 두 수가 식과 정확히 맞는 것도 보십시오. 기울기 줄에는 0.5라고 적히고 식에는 (1/2)라고 적히는데, 같은 수를 분수로 적은 것입니다. 이 페이지는 유한소수를, 분모가 읽을 만큼 작으면 분수로 인쇄합니다.

3. (1, 3)과 (5, 3) — 수평인 직선

   1. 높이의 변화: 3 − 3 = 0. 가로의 변화: 5 − 1 = 4
   2. 기울기: m = 0 / 4 = 0
   3. 절편: b = 3 − 0 × 1 = 3
   4. 방정식: y = 3이며, 기울기 항이 아무것도 보태지 않기 때문입니다

   기울기가 0이면 식이 접혀 버립니다. x가 남지 않고, y = 0x + 3이라고 적으면 언제나 0인 항이 하나 붙을 뿐입니다. 인쇄된 식이 y = mx + b처럼 보이기를 그치는 유일한 자리이고, 그것은 요령이 아니라 맞는 것입니다. 이 직선 위의 모든 점은 x가 무엇이든 y = 3입니다.

직선만 다루고, 서로 다른 두 점을 지나는 경우만 다룹니다. 두 점의 x가 같으면 그 직선은 수직입니다. 기울기가 없고 y축도 지나지 않으므로 줄 기울기 절편형 자체가 없어서, 이 페이지는 그것을 인쇄하는 대신 계산이 안 된다고 보고합니다. 그 경우 정직한 답은 x = 3인데, 그것은 이 페이지가 만들어 낼 수 있는 방정식이 아닙니다. 두 점이 완전히 겹치는 것도 같은 경우입니다. 한 점을 지나는 직선은 무수히 많기 때문입니다. 기울기는 절편을 계산하기 전에 소수 여섯 자리로 반올림되므로, 인쇄된 두 수는 언제나 인쇄된 식과 맞아떨어집니다. 그 대가는 기울기가 순환소수일 때 인쇄된 직선이 여섯 자리 아래에서 정확한 직선과 달라진다는 것입니다. 1/3은 0.333333이 되고 식은 그 값으로 세워집니다. 이 페이지는 식을 인쇄할 뿐 풀지는 않습니다. 직선이 x축과 만나는 곳, 두 직선이 평행한지, 다른 x에서 y가 얼마인지는 알려 주지 않습니다. 좌표는 어느 방향으로든 백만으로 제한되고, 단위는 어디에도 등장하지 않습니다. 좌표는 측정값이 아니라 수이기 때문입니다.

어느 점을 먼저 넣어야 하나요?

어느 쪽이든 답은 달라지지 않습니다. 두 점을 바꾸면 (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)의 분자와 분모의 부호가 함께 뒤집히고 두 번 뒤집힌 것은 상쇄됩니다. 절편도 마찬가지입니다. 한 점과 기울기로 계산되기 때문입니다. 중요한 것은 한 점의 두 좌표를 같은 줄에 넣는 것 하나뿐입니다.

두 점의 x가 같으면 어떻게 되나요?

그 직선은 수직이고 이 페이지는 계산이 안 된다고 보고합니다. 수직인 직선에는 기울기가 아예 없습니다. 가로의 변화가 0이라 나눗셈에 답이 없습니다. y축도 지나지 않으므로 y = mx + b라는 식은 m과 b를 어떻게 골라도 그 직선을 설명하지 못합니다. 수직인 직선의 방정식은 x = 3 꼴이고, 그 안에는 기울기도 y절편도 없습니다. 그래서 이 페이지가 만들어 내는 것의 바깥입니다.

기울기를 왜 반올림하며, 순환소수는 어떻게 되나요?

소수 여섯 자리로 반올림하고, 절편은 정확한 값이 아니라 그 반올림된 값으로 계산합니다. 의도한 것입니다. 그래야 결과 패널의 두 수가 아래에 인쇄된 식과 정확히 맞아떨어져서 손으로 검산할 수 있습니다. 대가는 순환하는 기울기입니다. (1, 1)과 (4, 2)가 주는 1/3 같은 경우, 인쇄된 직선은 3분의 1이 아니라 0.333333으로 만든 직선입니다.

점기울기형 계산기와는 무엇이 다른가요?

받는 입력이 다릅니다. 이 페이지는 보통 손에 들고 있는 두 점을 받고, 점기울기형 페이지는 이미 알고 있는 한 점과 기울기를 받아서 그 점이 드러나는 꼴로 식을 인쇄합니다. 같은 직선을 설명하므로 두 페이지를 이어 쓸 수 있습니다. 이 페이지가 보고한 기울기와 두 점 중 첫 번째를 점기울기형 페이지에 넣으면 같은 직선을 다른 모양으로 적어 줍니다.

식이 어떤 때는 분수로, 어떤 때는 소수로 나오는 이유는 무엇인가요?

몇 자리 안에 끝나는 소수는 분모가 작을 때 분수로 인쇄합니다. 0.5는 (1/2), 0.25는 (1/4)로 나옵니다. 기울기를 손으로 적을 때의 방식이 그렇기 때문입니다. 그보다 긴 값은 소수 여섯 자리로 반올림한 채 남으므로 3분의 1은 0.333333으로 나타납니다. 어느 쪽이든 수는 같고, 식 위의 기울기 줄은 언제나 식과 맞습니다.

답을 손으로 어떻게 검산하나요?

두 x 값 중 아무거나 인쇄된 식에 넣어 그 점의 y가 나오는지 보면 됩니다. (1, 2)와 (3, 10)의 식은 y = 4x - 2이고, x = 1이면 2, x = 3이면 10이라 두 점 모두 직선 위에 있습니다. 하나라도 어긋나면 식 위에 인쇄된 기울기와 절편이 직접 계산한 값과 맞춰 볼 두 수입니다.

• Slope — 높이의 변화 나누기 가로의 변화, 그리고 이 페이지의 첫 출력이 따르는 부호 관례 — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — 이 모든 이야기의 대상이며, 그 방정식이 가질 수 있는 여러 꼴 — Wolfram MathWorld (United States)
• Linear equation — 기울기와 절편을 가진 두 변수 방정식으로서의 y = mx + b — Wolfram MathWorld (United States)