선형 보간 계산기

y = y₁ + (x − x₁) × (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) t = (x − x₁) ÷ (x₂ − x₁) y = (1 − t)·y₁ + t·y₂

x₁, y₁

첫 번째로 알려진 점입니다. 이 점이 직선을 고정합니다. x가 x₁과 같으면 거리 항이 통째로 0이 되어 식은 y₁을 그대로 돌려줍니다. x₁을 0으로 두는 것도 흔한 선택인데, 그때 이 점은 y축 위에 놓입니다

x₂, y₂

두 번째로 알려진 점입니다. 두 점이 모이면 직선이 하나로 정해지고, 직선에는 그것이면 충분합니다. 두 점의 x는 서로 달라야 합니다. x가 같은 두 점은 수직선을 이루는데, 그때는 하나의 x에 모든 y가 대응되어 답이 하나로 정해지지 않습니다

x

값을 알고 싶은 위치입니다. 두 점 사이에 있을 필요는 없습니다. 그 범위를 벗어나면 같은 식이 계속 이어져 보간이 아니라 외삽이 되는데, 이 페이지가 그 값을 금지하지 않고 알려 주는 이유가 그것입니다

t

선분 위의 위치입니다. 첫 번째 점에서 세어 이 점이 선분을 얼마나 따라갔는지를 나타내며, 첫 점에서 0, 중간에서 0.5, 둘째 점에서 1이 됩니다. 두 y 값을 어떤 비율로 섞을지 정하는 가중치이기도 해서, y는 y₁과 y₂를 이 비율로 섞은 값과 같습니다

측정값 두 개가 있고 그 사이의 값을 알고 싶을 때 씁니다. 표의 두 항목 사이 값을 읽거나, 두 관측 시점 사이의 어느 날짜 값을 구하거나, 직선으로 함께 움직인다고 가정한 두 양 사이를 채울 때입니다. 두 점이 주어진 목적이 가파름을 재는 것이라면 그것은 직선의 기울기이고, 원하는 값이 정확히 가운데라면 그것은 중점입니다.

1. (1, 2)와 (3, 8)의 정중앙

   1. y의 변화량은 8 − 2 = 6, x의 변화량은 3 − 1 = 2
   2. x가 1 늘 때마다 y가 3 늘어나므로 기울기는 3
   3. x = 2는 길이 2인 구간에서 1만큼 떨어져 있으므로 선분 위의 위치는 1 ÷ 2 = 0.5
   4. 그 비율로 두 값을 섞기: (1 − 0.5) × 2 + 0.5 × 8 = 1 + 4 = 5
   5. 보간된 값은 y = 5

   기본값이고, 두 번 읽을 만한 경우입니다. 위치가 정확히 절반이면 답은 두 y 값 2와 8의 산술 평균과 같아집니다. 이것은 한가운데 떨어졌기 때문에 생긴 우연이지 규칙이 아닙니다. 4분의 1 지점이었다면 답은 3.5였습니다.

2. 내려가는 직선

   1. y의 변화량은 −20 − 0 = −20, x의 변화량은 10 − 0 = 10
   2. 기울기는 −20 ÷ 10 = −2이므로 오른쪽으로 1 갈 때마다 2씩 내려갑니다
   3. x = 4는 길이 10인 구간에서 4만큼 떨어져 있으므로 선분 위의 위치는 0.4
   4. 섞기: 0.6 × 0 + 0.4 × (−20) = −8
   5. 보간된 값은 y = −8

   양 끝에 부호가 붙어 있어 손으로 검산해 볼 만한 경우입니다. 변화량은 −10이 아니라 10이고, 답은 두 값 바깥이 아니라 그 사이에 놓입니다. 구간을 거꾸로 읽으면 기울기와 위치가 함께 부호를 바꾸면서 y만 맞게 남는데, 위치를 답 옆에 함께 인쇄하는 이유가 바로 그것입니다.

3. 마지막 점을 지나서 물을 때

   1. 첫 번째 예와 같은 직선입니다. 1마다 3씩 올라갑니다
   2. x = 4는 길이 2인 구간에서 3만큼 떨어져 있으므로 선분 위의 위치는 3 ÷ 2 = 1.5
   3. 위치가 1보다 크다는 것이, 이 점이 알려진 두 번째 값 너머에 있다는 표시입니다
   4. 섞기: (1 − 1.5) × 2 + 1.5 × 8 = −1 + 12 = 11
   5. 값은 y = 11

   외삽이며, 위치를 구간 안으로 잘라 넣지 않고 그대로 인쇄하는 이유입니다. 위치가 1.5라는 것은 점이 먼 쪽 끝에서 반 칸 더 나가 있다는 뜻이고, 계산은 보간과 완전히 같습니다. 달라지는 것은 해석뿐입니다.

두 점의 x는 서로 달라야 합니다. x가 같은 두 점은 수직인 직선을 이루는데, 그때는 하나의 x에 무수히 많은 y가 대응되어 보간된 답이 하나로 정해지지 않습니다. 그래서 그런 입력은 무한대를 돌려주는 대신 거절합니다. 다섯 수 모두 크기가 백만으로 제한됩니다. 기울기와 위치가 둘 다 나눗셈의 몫이고, 패널이 여섯 자리에서 반올림하므로 그 이상에서는 검산이 성립하지 않기 때문입니다. 구간 바깥의 값은 거절하지 않고 받아서 알려 줍니다. 위치가 1보다 크거나 0보다 작게 돌아오는 것이, 이 페이지가 외삽했다고 말하는 방식입니다. 다만 그 외삽이 합당했는지는 이 페이지가 판단할 수 없습니다. 두 점을 지나는 직선은 그 너머에서 무슨 일이 일어나는지에 대해 아무 말도 하지 않으며, 신뢰도 수치는 인쇄되지 않습니다. 두 점으로는 그것을 뒷받침할 수 없기 때문입니다.

선형 보간이란 무엇인가요?

알려진 두 점을 지나는 직선을 그어, 그 사이 어느 위치의 값을 읽는 일입니다. 선형이라는 말이 가정을 그대로 말해 줍니다. 그 구간에서 양이 일정한 비율로 변한다고 보는 것이고, 그래서 답은 측정값이 아니라 두 값의 가중 평균이 됩니다.

선분 위의 위치는 무엇을 알려 주나요?

첫 번째 점에서 세어 그 점이 선분을 얼마나 따라갔는지를 나타냅니다. 첫 점에서 0, 중간에서 0.5, 둘째 점에서 1입니다. 값 자체는 두 y 값을 이 비율로 섞은 것으로 쓸 수 있으므로, 이 위치가 보간이 두 점에 더하는 것의 전부입니다.

두 점 바깥으로도 보간할 수 있나요?

할 수 있고 이 페이지도 그렇게 합니다. 다만 그때는 외삽이고, 위치가 1을 넘거나 0 아래로 돌아와서 그 사실을 알려 줍니다. 두 점을 지나는 직선은 그 사이 구간에 대한 추측이고, 양 끝을 넘어서면 데이터가 다루지 않은 것에 대한 훨씬 강한 추측이 됩니다.

수직인 두 점은 왜 거절되나요?

줄 수 있는 답이 하나로 정해지지 않기 때문입니다. x가 같은 두 점은 위아래로 서 있고, 그 둘을 지나는 직선은 그 하나의 x에 모든 y를 한꺼번에 대응시킵니다. 이 페이지는 그런 입력을 이름을 대어 거절하지, 무한대를 돌려주지 않습니다. 무한대는 답처럼 보이기 때문입니다.

두 점의 순서가 결과에 영향을 주나요?

직선에서 읽는 값에는 영향이 없지만 기울기와 위치는 달라집니다. 두 점을 맞바꾸면 기울기와 선분 위의 위치가 둘 다 부호를 바꾸고, 보간된 y는 제자리에 남습니다. 같은 직선을 반대 방향에서 설명한 것이기 때문입니다.

신뢰도 수치는 왜 인쇄되지 않나요?

두 점으로는 그것을 뒷받침할 수 없기 때문입니다. 두 점에 맞춘 적합도는 구조적으로 언제나 완벽하므로, 어떤 품질 지표를 인쇄해도 실제 데이터가 어떻든 매번 최고값이 나옵니다. 대신 인쇄되는 기울기와 위치는 데이터에 대한 주장이 아니라 직선에 대한 사실입니다.

• Cartesian Coordinates — 알려진 두 점과 구하고자 하는 위치를 함께 적는 두 축 좌표계 — Wolfram MathWorld (United States)
• Slope — 보간된 값이 일정하게 움직이는 비율이며, 두 x가 같을 때는 의미가 없어지는 양 — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — 서로 다른 두 점이 하나로 정하는 대상이며, 그 사이의 값을 읽는 일을 의미 있게 만드는 가정 — Wolfram MathWorld (United States)