평균변화율 계산기

평균 변화율 = Δy ÷ Δx = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

x₁

구간 첫 끝점의 입력입니다. 함수가 받는 것의 앞선 값이고, 속도의 경우에는 시간, 기하의 경우에는 위치입니다. 아무 제약이 없고 x₂보다 작을 필요도 없습니다. 두 끝점은 어느 순서로 주어도 됩니다.

x₂

둘째 끝점의 입력입니다. x₁과 같아서는 안 됩니다. 같으면 비율의 분모가 0이 되고 평균을 낼 구간이 사라집니다. 입력이 변하지 않는데 함수더러 변하라고 요구하는 셈이고, 그것은 비율이 아니라 수직선분입니다.

y₁, y₂

그 두 입력에서의 함수 출력입니다. 함수가 식이든 측정값의 표든 화면 위의 곡선이든 이 페이지에 필요한 것은 두 값뿐이고, 비율에서는 약분되어 사라지지만 두 변화량 칸에서는 순서가 중요합니다.

Δy ÷ Δx

평균 변화율 자체입니다. 출력의 전체 변화를 그것이 일어난 구간의 길이로 나눈 값입니다. 델타 기호는 차이를 뜻하므로 Δy는 y의 변화, Δx는 x의 변화입니다. 이 식을 단위당 언어로 읽는 것이 요점이고, 답은 x가 한 단위 움직일 때 y가 얼마나 움직였는지입니다.

(y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

같은 양을 풀어 쓴 것입니다. 두 점을 잇는 직선의 기울기와 수치적으로 같고, 그래서 두 계산기가 서로 다른 물음에 같은 답을 냅니다. 기울기 페이지는 직선이 얼마나 가파른지를 묻고, 이 페이지는 함수가 구간에서 얼마나 빨리 움직였는지를 묻습니다. 구간을 점점 좁히는 쪽으로 살아남는 것은 뒤엣것 하나뿐입니다.

1. 1에서 3까지 구간에서 x²의 평균 변화율

   1. 구간의 길이는 두 단위: Δx = 3 − 1 = 2
   2. 출력은 여덟만큼 변함: Δy = 9 − 1 = 8
   3. 나누기: 8 ÷ 2 = 4
   4. 입력 한 단위마다 출력이 평균 4만큼 늘어남

   제곱 함수에서는 답이 외워 둘 만한 규칙을 따릅니다. a에서 b까지의 구간에서 평균 변화율은 언제나 a + b이고, 여기서는 1 + 3 = 4입니다. b²에서 a²를 빼면 (b − a)(b + a)로 인수분해되고 b − a가 분모와 약분되기 때문에 성립하는 규칙입니다. 아래 참고표를 이 함수 하나로 채운 이유도 그것입니다.

2. 3초 동안의 평균 속도

   1. 입력은 초 단위 시간이고 0에서 3까지
   2. 출력은 위치이고 10에서 70으로 이동
   3. 위치가 3초 동안 60만큼 변함: 60 ÷ 3 = 20
   4. 평균 속도는 초당 거리 20 단위

   이 양이 구체적으로 무엇인지 보여 주는 읽기입니다. 위치를 세로축에 시간을 가로축에 두면 평균 변화율이 곧 평균 속도입니다. 평균이라는 말은 실제로 하는 일이 있습니다. 그 사이에 순간 속도가 어떻게 변했든 이 비율은 구간 안쪽에 대해서는 아무 말도 하지 않고 두 끝점에 대해서만 말합니다.

3. 두 끝점을 바꿔 넣기

   1. 첫 번째 예시와 같은 두 점을 반대 순서로 적음
   2. Δx = 1 − 3 = −2이고 Δy = 1 − 9 = −8
   3. 비율은 −8 ÷ −2 = 4라서 앞과 같은 값
   4. 두 변화량 칸은 부호가 뒤집혔지만 평균 변화율은 그대로

   음의 Δx 옆에 양의 평균 변화율이 보인다고 해서 오류를 찾은 것이 아닙니다. 분자와 분모가 함께 부호를 바꾸면 비율은 달라지지 않으므로 평균 변화율은 어느 끝점을 먼저 부르든 같고, 두 변화량 칸은 두 점 사이의 진행 방향을 적는 자리라서 순서를 따라갑니다. 주 결과는 얼마나 빨리인지를, 변화량 칸은 어디서 어디로인지를 답합니다.

두 입력은 서로 달라야 합니다. x₂가 x₁과 같으면 비율의 분모가 0이 되고, 이 페이지는 무한대를 돌려주는 대신 계산을 거부합니다. 수직선분에는 x 한 단위당 변화율이 없습니다. x가 아예 변하지 않기 때문입니다. 끝점은 어느 순서로 주어도 되고 평균 변화율은 어느 쪽이든 같지만, 두 변화량 칸은 부호를 가진 값이라서 순서를 바꾸면 함께 뒤집힙니다. 이 페이지는 구간에서의 비율을 보고하고 한 점에서의 비율은 보고하지 않습니다. 순간 변화율은 이 페이지가 취하지 않는 극한이고, 두 값을 아는 것으로는 닿을 수 없으며 함수 자체를 알아야 합니다. 좌표의 크기는 1조까지로 제한되며, 그보다 커지면 뺄셈이 정밀도를 잃어 화면에 보이는 소수 여섯 자리가 오해를 낳습니다. 결과는 소수 여섯 자리로 반올림되고 계산은 원래 정밀도로 돌아갑니다. 이 페이지는 각도를 인쇄하지 않습니다. 각도는 직선의 성질이고 구간 위의 함수에는 그런 것이 없으며, 그것이 링크해 둔 기울기 계산기와 이 페이지가 갈라지는 한 지점입니다.

평균 변화율이란 무엇인가요?

구간에서 함수 출력의 전체 변화를 그 구간의 길이로 나눈 값입니다. 위치가 3초 동안 10에서 70으로 갔다면 평균 변화율은 60 ÷ 3인 초당 20입니다. 평균이라는 말은 실제로 일을 합니다. 이 양은 구간 전체를 수 하나로 요약하고, 그 안에서 함수가 어떻게 움직였는지에 대해서는 아무 말도 하지 않습니다.

기울기와는 어떻게 다른가요?

산수는 같습니다. 둘 다 세로 양의 변화를 가로 양의 변화로 나눕니다. 그러나 물음이 다릅니다. 기울기는 직선이 얼마나 가파른지, 곧 직선 자체의 성질을 말합니다. 평균 변화율은 함수가 두 점 사이에서 얼마나 빨리 움직였는지를 말하고, 구간을 0으로 좁혀 갈 때도 뜻을 잃지 않는 쪽은 이쪽입니다. 미분으로 살아남는 개념은 하나뿐입니다.

두 점을 바꿔 넣어도 답이 같은 이유는 무엇인가요?

분자와 분모가 함께 부호를 바꾸면 비율이 달라지지 않고, 끝점을 바꾸면 둘이 동시에 뒤집히기 때문입니다. 반면 두 변화량 칸은 실제로 부호가 뒤집히는데, 첫 점에서 둘째 점으로 가는 방향을 적는 자리이기 때문입니다. 그래서 평균 변화율은 얼마나 빨리인지를, 변화량 칸은 어디서 어디로인지를 답합니다. 둘 다 동시에 맞습니다.

평균 변화율이 음수가 될 수 있나요?

그럴 수 있고, 그 구간에서 입력이 커지는 동안 출력이 줄었다는 뜻입니다. -3에서 -1까지의 구간에서 제곱 함수는 9에서 1로 떨어지므로 평균 변화율이 -4입니다. 음수는 어딘가 잘못 넣었다는 표시가 아니라 변화의 방향이고, 두 변화량 칸을 비율 옆에 함께 인쇄하는 이유입니다.

두 입력이 같으면 어떻게 되나요?

계산을 거부합니다. x₂가 x₁과 같으면 분모가 0이라 평균을 낼 구간이 없습니다. 입력이 변하지 않는데 함수더러 변하라고 요구하는 셈이고, 그것은 수직선분이라 x 한 단위당 비율이 없습니다. 이 페이지는 비율이 아닌 무한대를 돌려주는 대신 거부 사실을 알립니다.

평균 변화율과 순간 변화율은 같은 것인가요?

함수가 직선일 때만 같습니다. 그때는 어디서나 비율이 일정해서 둘이 일치합니다. 그 밖에는 평균이 구간 전체를, 순간변화율이 입력 한 값에서의 상태를 말합니다. 구간을 점점 좁히는 일이 평균을 순간으로 바꾸고, 그 극한이 미분입니다. 이 페이지는 두 값을 재료로 삼기 때문에 그 단계까지 가지 않습니다.

• Average Rate of Change — 구간에서의 정의, 할선으로 읽기, 그리고 순간 변화율로 넘어가는 길 — Wolfram MathWorld (United States)
• Secant Line — 두 끝점을 지나는 직선, 그 기울기가 이 페이지가 계산하는 수 — Wolfram MathWorld (United States)
• Derivative — 구간이 줄어들 때 평균 변화율이 향하는 극한 — Wolfram MathWorld (United States)