지수 성장 계산기

N = N₀ × (1 + r)^t 기간당 성장 계수 = 1 + r 총 변화율 = ((1 + r)^t − 1) × 100%

N₀

초기량이고 성장이 시작되기 전에 있던 만큼입니다. 양수여야 하는데, 퍼센트 칸들이 이 값으로 나누고 초기량이 0이면 총 변화율이 큰 수가 아니라 0을 0으로 나눈 값이 되기 때문입니다. 단위는 없습니다. 같은 계산이 사람에도, 돈에도, 세균에도, 지수 점수에도 쓰입니다.

r

기간당 성장률이고 퍼센트로 적습니다. 5퍼센트는 0.05가 아니라 5로 넣으며, 음수여도 됩니다. -20퍼센트는 그 양이 기간마다 자기 자신의 5분의 1을 잃는다는 뜻이고, 이것은 따로 계산할 것이 아니라 감소입니다. -100퍼센트 아래로는 갈 수 없습니다. 정확히 -100에서 양이 0에 닿고, 그 아래에서는 기간당 계수가 음수가 되어 부호가 기간마다 뒤집히는데, 그것은 더 이상 양을 설명하는 말이 아닙니다.

t

기간 수입니다. 무엇을 한 기간으로 볼지는 넣는 사람이 정합니다. 해, 달, 날, 세대 무엇이든 좋고, 성장률만 같은 기준으로 적으면 됩니다. 소수여도 됩니다. 반 기간은 지극히 평범한 입력이고, 온 기간 계수의 절반이 아니라 제곱근을 곱합니다. 음수는 거부합니다. 시작 전의 양으로 거슬러 올라가는 것은 이 패널이 답하는 물음과 다른 물음이기 때문입니다.

(1 + r)^t

끝날 때까지 그 양에 곱해진 전체 계수입니다. 성장이 덧셈이 아니라 지수인 것으로 만드는 부분이 여기 있습니다. 기간마다 이미 있는 것 전부에 곱해지므로, 열 번째 기간의 증가분은 첫 기간의 증가분이 아니라 훨씬 큰 값입니다. 거듭제곱 계산기의 연산과 정확히 같기도 합니다. 밑이 1 더하기 성장률이고 지수가 기간 수입니다.

1 + r

기간당 성장 계수이고 가운데 읽음값입니다. 성장률이 5퍼센트면 1.05이고, 기간마다 그 양에 1보다 조금 큰 수가 곱해진다는 뜻입니다. 따로 인쇄하는 것은 물음이 바뀔 때 손이 가는 수가 그것이기 때문입니다. 1.05를 네 기간으로 올린 것, 같은 성장률을 10퍼센트로 두 배 한 것, 다른 초기량, 모두 이것이 보이면 곱셈 한 번 거리에 있습니다.

((1 + r)^t − 1) × 100%

구간 전체의 변화를 시작한 자리에 대한 퍼센트로 적은 것입니다. 5퍼센트가 열 기간이면 50이 아니라 62.889퍼센트인데, 기간마다의 5퍼센트가 앞 기간보다 큰 양에서 떼어지기 때문입니다. 1을 빼는 것이 계수를 변화로 바꿉니다. 계수 1.6289는 62.89퍼센트의 변화이고, 계수가 1보다 작으면 변화가 음수이며, 감소가 그렇게 보고됩니다.

r = -100%

하한이고, 양을 정확히 0으로 만드는 유일한 성장률입니다. 받아들이는 것은 이것이 줄어드는 양의 극한이기 때문입니다. -100퍼센트에서 성장 계수가 0이 되고 첫 기간 이후로는 0에 0을 곱합니다. 그 아래에서는 계수가 음수라서 양이 기간마다 부호를 바꾸고, 모형이 물리적인 무엇을 설명하기를 그만둡니다. 그래서 그 입력은 계산하는 대신 거부합니다.

어떤 양에 같은 계수가 거듭 곱해지고, 그것이 어디에 도착하는지 또는 구간 전체가 얼마였는지 알고 싶을 때마다 씁니다. 잔액의 복리 성장, 고정된 비율로 늘어나는 인구, 수십 년에 걸쳐 오르는 물가지수, 배로 늘어나는 배양, 해마다 일정 퍼센트씩 줄어드는 시장 같은 것들입니다. 총 변화율 칸은 글에 인용할 값입니다. 열 기간에 62.9퍼센트 증가라는 말은 대부분의 독자에게 마지막 수치보다 많은 것을 말해 주고, 성장률만으로는 나오지 않는 수입니다. 성장률을 계수로 바꿔 주는 페이지이기도 한데, 모든 복리 물음이 계산되기 전에 거쳐야 하는 단계가 그것입니다. 양이 절반씩 줄어들고 비율이 시간으로 주어질 때는 반감기 계산기를 쓰십시오. 그쪽은 반감기를 곧바로 받고 횟수까지 보고합니다. 밑이 비율에서 유도된 수가 아니라 이미 가진 수일 때는 거듭제곱 계산기이고, 앞에 퍼센트가 없는 같은 연산입니다.

1. 100이 5퍼센트로 10기간

   1. 기간당 성장 계수: 1 + 0.05 = 1.05
   2. 전체 계수: 1.05¹⁰ = 1.628894627…
   3. 최종량: 100 × 1.628894627… = 162.889463
   4. 총 변화율: (1.628894627… − 1) × 100 = 62.889463퍼센트

   기본값이고, 총 변화율 칸이 왜 있는지 보여 주는 자리입니다. 5퍼센트로 열 기간이라면 50퍼센트처럼 들리는데 패널은 62.89라고 말합니다. 남는 몫은 기간마다의 5퍼센트가 앞 기간보다 큰 양에서 떼어지기 때문입니다. 마지막 수치만 인용한 사람은 잔액은 말했지만 이야기는 말하지 않은 셈이고, 되풀이되는 쪽은 퍼센트입니다.

2. 100이 20퍼센트씩 3기간 줄어들 때

   1. 기간당 성장 계수: 1 + (-0.20) = 0.8
   2. 전체 계수: 0.8³ = 0.512
   3. 최종량: 100 × 0.512 = 51.2
   4. 총 변화율: (0.512 − 1) × 100 = -48.8퍼센트

   같은 페이지가 감소를 하는 자리이고, 음의 성장률을 받아들이고 두 번째 도구를 만들지 않는 이유가 그것입니다. 20퍼센트씩 세 기간이면 60퍼센트가 아니라 48.8퍼센트를 잃습니다. 성장하는 경우가 초과하는 것과 같은 이유입니다. 기간마다 자기 5분의 1을 남은 것에서 떼어 가기 때문입니다. 성장 계수가 1보다 작다는 것도 부호 규약이 제대로 돌고 있다는 가장 분명한 신호입니다.

3. 100이 기간마다 두 배로 5기간

   1. 성장률 100퍼센트는 있는 만큼만큼 더 늘어난다는 뜻이라서 계수가 2
   2. 전체 계수: 2⁵ = 32
   3. 최종량: 100 × 32 = 3,200
   4. 총 변화율: (32 − 1) × 100 = 3,100퍼센트

   배가이고, 암산으로 검산할 만큼 산수가 쉬운 반면 퍼센트 칸은 그렇지 않은 자리입니다. 그 양에 32가 곱해졌고 페이지는 그것을 3,100퍼센트 증가로 보고합니다. 32배라는 말 옆에서는 터무니없이 들리지만 정확히 같은 진술입니다. 마지막 칸이 변화라고 부르기 전에 왜 1을 빼는지 가장 분명하게 보여 주는 예입니다.

4. 100이 5퍼센트로 반 기간

   1. 기간당 성장 계수는 여전히 1.05 — 기간을 기준으로 정의되기 때문
   2. 전체 계수: 1.05^0.5 = 1.024695076…이고 이것은 1.05의 제곱근
   3. 최종량: 100 × 1.024695076… = 102.469508
   4. 총 변화율: 2.469508퍼센트

   분수 기간이고, 두 읽음값의 차이를 가장 분명하게 갈라놓는 자리입니다. 기간당 성장 계수는 기간당 양이라서 반 기간으로 달라지지 않고 1.05 그대로입니다. 전체 계수는 그것의 제곱근이라서 5퍼센트 성장의 반 기간은 2.5가 아니라 2.47퍼센트입니다. 성장률의 절반을 적용하는 것은 틀린 일이고, 이것이 그것을 보여 주는 행입니다.

5. 2.5가 12퍼센트로 4기간

   1. 기간당 성장 계수: 1 + 0.12 = 1.12
   2. 전체 계수: 1.12⁴ = 1.57351936
   3. 최종량: 2.5 × 1.57351936 = 3.933798
   4. 총 변화율: 57.351936퍼센트

   초기량이 둥근 수가 아닌 경우인데 아무것도 달라지지 않습니다. 계수 칸들은 양이 어디서 시작했는지와 완전히 무관하고, 2.5도 250과 똑같은 57.35퍼센트만큼 자랍니다. 두 경우를 비교할 때 읽을 칸은 얼마나 자랐는지에 답하는 그 두 칸입니다. 초기량이 달라져도 움직이지 않는 유일한 칸들이기 때문입니다.

성장률과 기간 수는 같은 기준으로 적어야 하고, 페이지는 그것을 확인할 방법이 없습니다. 해마다 5퍼센트인 비율에 열 달을 기간으로 넣으면 완전히 정상으로 보이는 틀린 답이 나옵니다. 기간이 무엇인지는 정하기 나름이고, 해든 달이든 날이든 세대든 페이지는 묻지 않습니다. 성장은 기간마다 같은 계수를 곱하는 것으로 모형화되는데, 그것이 복리 성장의 뜻이고 자라는 모든 것이 그런 것은 아닙니다. 한계에 부딪히는 인구, 포화되는 시장, 그 자체가 변하는 비율은 모두 이 모형 밖에 있습니다. 비율은 -100퍼센트 아래로 갈 수 없습니다. 거기서 양이 0에 닿고 그 아래로는 부호가 기간마다 뒤집힙니다. 상한 1000퍼센트와 기간 한도 1000은 넘침을 드물게 만들기 위해 있는 것이지 수학적 한계를 표현하는 것이 아닙니다. 초기량은 양수여야 하고, 그것은 음에서 양으로 넘어가는 양을 나타낼 수 없다는 뜻입니다. 복리는 기간마다 한 번 일어나고 연속적으로는 일어나지 않습니다. 연 5퍼센트를 반년마다 2.5퍼센트씩 복리로 굴리는 것은 다른 결과이고, 그 계산은 복리 횟수를 가진 복리 계산기의 몫입니다. 예금이나 인출은 모형화하지 않습니다. 양은 그냥 자라도록 놓아둡니다. 마지막으로 출력은 소수 여섯 자리로 반올림되고, 수가 커지면 그 사실이 퍼센트 칸에서 문제가 됩니다.

총 변화율이 성장률 곱하기 기간보다 큰 이유는 무엇인가요?

기간마다의 퍼센트가 앞 기간보다 큰 양에서 떼어지기 때문입니다. 5퍼센트로 열 기간은 50이 아니라 62.89입니다. 두 번째 기간의 5퍼센트가 이미 자란 양에 적용되기 때문입니다. 이 복리가 지수 성장과 덧셈 성장의 차이 전부이고, 총 변화율 칸이 그것이 드러나는 자리입니다. 마지막 수치만으로는 보이지 않습니다.

음의 성장률을 써도 되나요?

됩니다. 음의 성장률은 감소이고 같은 페이지가 계산합니다. -20퍼센트는 그 양이 기간마다 자기 5분의 1을 잃는다는 뜻이라서, 100은 세 기간 뒤 51.2가 됩니다. -100퍼센트 아래로는 갈 수 없습니다. 정확히 -100에서는 양이 0에 닿아 거기 머물고, 그 아래에서는 기간당 계수가 음수가 되어 부호가 기간마다 뒤집히는데 그것은 더 이상 양을 설명하지 못합니다.

무엇이 한 기간인가요?

정하기 나름이고, 성장률을 같은 기준으로 적기만 하면 됩니다. 해마다 5퍼센트에 기간 수 10이면 10년이고, 같은 비율이 달마다이고 수가 10이면 10개월이며, 두 답은 서로 다른 물음에 대한 것입니다. 페이지는 짝이 맞는지 확인할 수 없어서, 연율로 적은 비율에 기간 수를 달로 넣으면 완전히 정상으로 보이는 틀린 답이 나옵니다.

기간당 성장 계수와 총 변화율은 무엇이 다른가요?

성장 계수는 한 기간이 곱하는 배수이고, 총 변화율은 구간 전체가 더한 값입니다. 5퍼센트는 성장 계수 1.05를 주는데 이것은 한 기간을 돌리든 백 기간을 돌리든 같은 기간당 수이고, 열 기간은 총 변화율 62.89퍼센트를 줍니다. 어느 쪽이 더 빠른지 물을 때 비교할 값은 성장 계수입니다.

기간 수가 분수여도 되나요?

됩니다. 반 기간은 흔한 입력입니다. 5퍼센트 성장의 반 기간은 2.5퍼센트가 아니라 1.05의 제곱근이라서 2.47퍼센트입니다. 분수 기간이 반올림의 편의가 아니라 뜻을 가지는 이유가 그것입니다. 그 양은 끝에서 한 번 뛰는 것이 아니라 기간을 지나는 동안 매끄럽게 자라고, 제곱근을 취하는 것이 그 연속성을 표현하는 방법입니다.

복리 계산기와는 어떻게 다른가요?

공식은 같고 대상이 다릅니다. 이 페이지는 성장률과 기간 수를 받아 어떤 양이든 다루고, 복리 계산기는 돈에만 있고 인구에는 없는 것들을 더합니다. 복리 횟수, 정기 예금, 갚아 나갈 수 있는 원금 같은 것들입니다. 잔액에 넣고 빼는 돈이 걸려 있거나 이자가 해마다 한 번이 아니라 달마다 붙는다면 그 페이지가 그 차원들을 가지고 있고 이 페이지는 가지고 있지 않습니다.

• Exponential Growth — 이 페이지가 계산하는 법칙, 성장률과 기간 수를 두 매개변수로 삼는다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Compound Interest — 같은 공식을 돈에 적용하기, 그리고 이 계산과 저 계산을 가르는 복리 횟수의 구분 — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Decay — 같은 법칙의 음의 성장률 쪽 절반, 기간당 계수가 1보다 작고 양이 0에 다가간다 — Wolfram MathWorld (United States)