배증 시간 계산기

t = ln(2) ÷ ln(1 + r) t ≈ 72 ÷ R

r

한 기간의 성장률이고, 퍼센트가 아니라 소수로 식에 들어갑니다. 기간당 5퍼센트는 0.05로 들어갑니다. 양수여야 하는데, 늘지 않는 양은 아예 두 배가 되지 않기 때문이고, 입력 칸에는 퍼센트로 적습니다. 이 식이 설명하는 것은 복리 성장입니다. 각 기간의 성장이 그 전에 늘어난 몫까지 포함한 전체에 적용되고, 그래서 배가 시간이 불가능한 값이 아니라 유한한 값이 됩니다.

ln 2

2의 자연로그이고 약 0.693147이며 정확한 식에 들어가는 유일한 상수입니다. 두 배가 된다는 것은 성장 배율이 정확히 2에 닿았다는 뜻이라서, 1에 (1 + r)을 몇 번 곱해야 2가 되는지가 물음이 되고, 그 물음에 답하는 연산이 로그입니다.

t

배가 시간이고 기간 수로 소수 세 자리까지 인쇄됩니다. 그 자체로는 단위가 없습니다. 넣은 비율이 월율이었다면 t는 개월 수이고, 연율이었다면 연 수입니다. 마지막 한 번의 배가는 부분적이라서 t가 정수가 아닙니다. 5퍼센트에서 14기간이 지나면 두 배에 조금 못 미치고, 열다섯 번째 기간 중간에 넘어섭니다.

R

같은 비율이지만 퍼센트로 적은 값이고, 입력 칸에 타이핑하는 수가 이것입니다. 72의 법칙은 72를 R로 나누는 근사이고 패널의 두 번째 읽음값입니다. 8퍼센트 근처에서 정확하고 낮은 비율에서는 크게, 높은 비율에서는 작게 나오는데, 둥근 수로 나누는 일이 로그보다 머릿속에서 훨씬 쉬웠기 때문에 생긴 규칙입니다.

성장률은 주어졌고 시간이 알고 싶을 때 이 페이지를 씁니다. 지수 성장 계산기는 같은 모형을 반대 방향으로 돌려 초기값과 기간 수에서 결과를 구하고, 반감기 계산기는 두 배 대신 절반이라는 거울상이며, 72의 법칙 계산기는 같은 산수를 돈에 적용한 자리인데 거기서는 정확한 답이 아니라 어림셈이 대표값이 됩니다.

1. 기간당 5퍼센트

   1. 비율을 소수로 쓰면 0.05라서 기간마다 양이 1.05배가 됨
   2. 정확한 답은 ln 2 ÷ ln 1.05 = 0.693147 ÷ 0.048790 = 14.207기간
   3. 72의 법칙은 72 ÷ 5 = 14.40기간을 줌
   4. 둘은 한 기간의 일주일 남짓만큼밖에 차이가 나지 않는데, 법칙과 참값 사이의 흔한 간격이 그 정도

   검산은 간단합니다. 1.05의 14제곱은 1.98이라서 2에 살짝 못 미치고, 15제곱은 2.08이라서 살짝 넘습니다. 곧 넘어서는 일이 열네 번째와 열다섯 번째 기간 사이에서 일어나고, 14.207이 말하는 자리가 바로 거기입니다. 이 확인은 한 번 해 둘 만합니다. 소수가 회계상의 부산물이 아니라 시간축 위의 위치라는 것이 보이기 때문입니다.

2. 기간당 1퍼센트

   1. 정확한 답은 ln 2 ÷ ln 1.01 = 0.693147 ÷ 0.009950 = 69.661기간
   2. 72의 법칙은 72 ÷ 1 = 72기간을 줌
   3. 여기서는 법칙이 2.3기간 어긋나는데, 1퍼센트에서는 두 기간 넘게 더 기다린다는 뜻
   4. 오차는 우연이 아니라 계통적이고, 72의 법칙은 8퍼센트 근처에 맞춰져 있어서 낮은 쪽에서 밀려남

   낮은 비율에서 벌어지는 간격이야말로 두 읽음값을 한쪽이 다른 쪽을 대신하는 대신 나란히 보여 주는 이유입니다. 복리가 평생 이어지는 자리에서 두 기간 어긋나는 어림셈은 실제 차이이고, 두 수를 함께 보는 것이 내가 가진 비율에서는 어느 쪽을 믿어야 하는지를 알려 줍니다.

3. 기간당 20퍼센트

   1. 정확한 답은 ln 2 ÷ ln 1.2 = 0.693147 ÷ 0.182322 = 3.802기간
   2. 72의 법칙은 72 ÷ 20 = 3.60기간을 줌
   3. 이번에는 법칙이 크게가 아니라 작게 나오는데, 8퍼센트를 넘으면 그렇게 됨
   4. 검산: 1.2의 세제곱은 1.728이고 네제곱은 2.074라서 넘어서는 자리가 세 번째와 네 번째 기간 사이에 있음

   이 예와 1퍼센트 예 사이에서 법칙의 오차는 부호를 바꿉니다. 낮은 비율에서는 과대평가하고 높은 비율에서는 과소평가하는데, 그것은 근사의 모양 자체이지 잘못이 아닙니다. 두 읽음값이 가장 가까워지는 비율은 8퍼센트 근처이고, 거기서 법칙은 9, 정확한 답은 9.006이 됩니다.

배가 시간에는 그 자체의 단위가 없습니다. 비율을 잰 그 기간으로 측정되므로, 비율이 연율이었다면 14.207은 연이고 월율이었다면 개월이며 세균을 들여다보고 있었다면 분입니다. 이 페이지는 어느 쪽인지 알 수 없고 짐작하지도 않습니다. 비율은 양수여야 하고 기간당 0.1퍼센트에서 1000퍼센트 사이에 있습니다. 0은 거부하는데 두 식 모두 답이 없기 때문이고, 음수인 비율은 줄어드는 양을 뜻하며 그런 양은 두 배가 되지 않아 반감기 계산기의 몫이 됩니다. 상수 2는 고정입니다. 이 페이지는 두 배가 되는 시간을 구하고, 세 배나 다른 배수가 되는 시간을 물을 수는 없습니다. 성장은 매끄럽고 일정하다고 가정하며, 해마다 한 번씩이 아니라 연속적으로 적용됩니다. 이것이 통상적인 모형이지만 은행이 실제로 하는 일은 아닙니다. 72의 법칙 읽음값은 만들어질 때부터 근사이고 답이 아니라 비교용으로 보여 주며, 두 읽음값 사이의 오차 분석은 여기서 하지 않습니다.

배가 시간은 어떻게 계산하나요?

2의 자연로그를 1 더하기 비율의 자연로그로 나눕니다. 기간당 5퍼센트라면 0.693147 ÷ 0.048790이라서 14.207기간이 됩니다. 로그가 일을 하는 것은 두 배가 된다는 것이 몇 번 곱할지 모르는 곱셈의 반복이고, 로그가 그것을 나눗셈으로 바꿔 주기 때문입니다.

72의 법칙은 무엇이고 정확한가요?

퍼센트 비율로 72를 나누는 요령이고, 5퍼센트라면 약 14.40기간에 두 배가 된다고 말합니다. 8퍼센트 근처에서는 몇 퍼센트 안으로 맞고, 낮은 비율에서는 시간을 과대평가하며 1퍼센트에서는 참값 69.661에 대해 72라고 말합니다. 높은 비율에서는 과소평가하는데 20퍼센트에서는 참값 3.802에 대해 3.60입니다. 이 페이지가 두 수를 함께 보여 주는 것은 내가 가진 비율에서 그 간격이 보이게 하기 위해서입니다.

배가 시간은 연 단위인가요?

넣은 성장률이 연율일 때만 그렇습니다. 비율은 기간당이고 그 기간은 정하기 나름입니다. 월율이면 답이 개월이고 일율이면 일이며, 20분마다 두 배가 되는 세균 배양이라면 답이 20분 단위입니다. 이 페이지가 출력에 라벨을 붙이지 않는 것은 어느 쪽을 뜻했는지 알 수 없기 때문입니다.

성장률이 0이거나 음수면 왜 거부하나요?

아무것도 두 배가 되지 않기 때문입니다. 0에서는 양이 영원히 제자리에 머물고 72의 법칙은 0으로 나누게 됩니다. 음수인 비율에서는 양이 줄어들어 정직한 물음이 배가 시간이 아니라 반감기가 됩니다. 기간당 0.1퍼센트 아래를 거부하는 것도 같은 실무적인 이유이고, 줄어드는 경우는 반감기 계산기가 맡습니다.

지수 성장 계산기와는 무엇이 다른가요?

방향입니다. 이 페이지는 성장률에서 시작해 시간을 돌려주고, 지수 성장 계산기는 비율과 기간 수에서 시작해 그 결과 값을 돌려줍니다. 밑에 깔린 모형은 같은 하나라서, 5퍼센트에서의 배가 시간 14.207기간은 성장 배율이 지수 곡선의 바로 그 지점에서 2에 닿는다는 진술과 정확히 같습니다.

• Exponential Growth — 현재 양에 비례하는 비율로 늘어나는 성장과, 거기서 따라 나오는 배가 시간 — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Function — 밑 e와 그것을 되돌리는 자연로그, 그리고 모든 배가 공식에 ln 2가 나오는 이유 — Wolfram MathWorld (United States)
• Compound Interest — 같은 성장 배율을 기간마다 거듭 적용하기, 배가 시간을 처음 만나는 자리 — Wolfram MathWorld (United States)