거듭제곱 계산기

bⁿ = b × b × … × b (n개) b⁻ⁿ = 1 ÷ (b × b × … × b)

b

밑이고 자기 자신을 거듭 곱하는 수입니다. 단위가 없는 순수한 수이고 음수도 소수도 0도 될 수 있으며, 각각에 규칙이 따로 있습니다. 음의 밑은 정수 지수와 함께일 때만 유효한데, 음수의 짝수 번째 근이 실수가 아니기 때문입니다.

n

지수이고 곱에 밑이 몇 번 나타나는지를 적은 수입니다. 이 페이지에서는 정수만이 아니라 실수이고, 분수는 근을 뜻하며(지수 0.5는 제곱근, 0.3333은 세제곱근에 가깝습니다) 마이너스 부호는 양의 거듭제곱의 역수를 뜻합니다.

bⁿ

거듭제곱 값 자체이고 주 결과입니다. 0.001에서 100만까지의 창을 벗어나면 과학적 표기법으로 인쇄되므로, 2의 64제곱은 스무 자리 정수가 아니라 가수와 10의 지수로 표시됩니다. 여기에 인위적인 상한은 없고, 천장은 배정밀도가 담을 수 있는 범위뿐입니다.

b × b × … × b

전개식이고 같은 식을 거듭된 곱셈으로 풀어 쓴 것입니다. 인수가 여섯 개를 넘으면 줄임표로 줄이고 그 아래는 전부 씁니다. 그래서 3의 4제곱은 인수 네 개를 다 보여 주고 2의 10제곱은 열 개를 다 보여 주지 않습니다.

b⁻ⁿ = 1 ÷ (b × b × … × b)

음의 지수가 하는 일입니다. 양의 거듭제곱의 역수, 곧 1을 그 곱으로 나눈 값을 취합니다. 2의 -3제곱은 -8이 아니라 1 ÷ 8입니다. 이 표기를 가장 흔히 거꾸로 읽기 때문에 전개식을 인쇄할 값이 있습니다. 역수라는 것이 거기서만 눈에 보입니다.

b⁰ = 1

0이 아닌 밑의 0제곱은 1이고, 전개식은 빈 곱 대신 맨몸의 1을 인쇄해서 그렇게 말합니다. 한 칸 내려가는 규칙이 그것을 강제합니다. 지수가 하나 줄 때마다 밑으로 나누는 일이 계속 성립해야 하고 b ÷ b가 1이기 때문입니다. 0의 0제곱은 그 규칙이 정하지 못하는 유일한 자리이고, 그래서 거부합니다.

지수 0.5

분수 지수는 근입니다. 수를 0.5제곱하는 것이 제곱근이고 3분의 1제곱이 세제곱근입니다. 이 페이지가 음의 밑에 분수 지수를 거부하는 이유가 여기 있습니다. 음수의 세제곱근은 실수지만 그렇게 계산하는 것은 실수가 아니고, 그 차이를 아는 페이지는 근 계산기입니다.

어떤 수를 정해진 횟수만큼 거듭 곱한 값이 필요할 때마다 씁니다. 곱셈을 늘어놓는 대신 인수 하나로 적은 복리 성장, 정해진 횟수만큼 반복한 배가, 거듭 적용한 배율, 같은 사건이 연달아 일어날 확률, 저장 단위의 크기를 2의 거듭제곱으로 적은 것 같은 것들입니다. 사람들이 헷갈려 하는 두 표기를 한꺼번에 인쇄하는 페이지이기도 합니다. 전개식이 정의이고 거듭제곱 값이 그 값인데, 둘을 나란히 봐야 음의 지수가 읽힙니다. 지수가 미지수이고 근을 구하는 것이 물음이면 근 계산기를 쓰십시오. 거기서는 음수와 분수의 규칙이 따로 있습니다. 밑이 고정되어 있고 비율에서 유도되는 경우, 곧 모든 이자와 인구 물음의 모양은 지수 성장 계산기의 몫입니다. 거듭제곱 값을 알고 지수를 구하는 것은 로그 계산기이고, 같은 관계를 뒤에서 읽는 셈입니다.

1. 2의 10제곱

   1. 밑이 2이고 지수가 10이라서 2를 열 번 곱함
   2. 둘씩 묶으면 2 × 2 = 4, 4 × 4 = 16, 16 × 16 = 256이고 여기까지가 여덟 개
   3. 두 개가 남아서 256 × 2 × 2 = 1,024
   4. 곱이 여섯 인수를 넘으므로 전개식은 2 × 2 × … × 2로 줄여 씀

   참고표가 끝나는 행이고, 이 페이지에서 외워 둘 만한 수 하나입니다. 킬로바이트가 1024바이트인 것이 이 값 때문입니다. 두 번째 읽음값의 줄임표는 자리가 모자라서가 아닙니다. 인수 열 개와 줄임표는 인수 열 개를 다 쓴 것과 정보가 정확히 같고, 개수는 이미 넣은 지수에 들어 있습니다.

2. 2의 -3제곱

   1. 지수가 음수라서 답은 양의 거듭제곱의 역수
   2. 양의 거듭제곱부터: 2 × 2 × 2 = 8
   3. 8의 역수는 1 ÷ 8 = 0.125
   4. 전개식이 역수 자체를 인쇄하므로 나눗셈이 눈에 보임: 1 ÷ (2 × 2 × 2)

   전개식이 제값을 하는 자리입니다. 마이너스 부호를 음수 답으로 읽은 사람은 -8을 기대하고 0.125를 받습니다. 1 ÷ (2 × 2 × 2)라는 읽음값이 역수라는 것을 외워야 할 것이 아니라 뻔하게 만듭니다. 답이 1보다 작을 수밖에 없다는 것도 같은 읽음값이 말해 줍니다. 1을 1보다 큰 수로 나누면 달라질 도리가 없기 때문입니다.

3. 1.05의 4제곱

   1. 1.05를 네 번 곱하는데, 이것이 5퍼센트 성장이 네 해 이어진 것
   2. 둘씩: 1.05 × 1.05 = 1.1025
   3. 넷: 1.1025 × 1.1025 = 1.21550625
   4. 거듭제곱 값은 소수 여섯 자리로 인쇄되므로 1.215506으로 읽힘

   교실 밖에서 이 페이지를 가장 자주 쓰는 모양입니다. 1보다 조금 큰 소수 밑에 기간을 세는 지수가 붙습니다. 인수 네 개가 1.2155를 주는데, 이것은 그 양이 네 기간 동안 21.55퍼센트 늘었다는 말과 같습니다. 성장률 자체에서 밑을 유도하는 페이지가 지수 성장 계산기이고, 그쪽은 1을 빼라고 시키지 않고 그 퍼센트를 직접 보고합니다.

4. 7의 0제곱

   1. 지수가 0이라는 것은 곱이 비어 있다는 뜻 — 7을 한 번도 곱하지 않음
   2. 빈 곱은 1이고 이것이 곱셈의 항등원: 이것을 곱해도 아무것도 달라지지 않음
   3. 내려가는 규칙도 같은 말을 함: 7¹ ÷ 7 = 1이고 7⁰ ÷ 7 = 7⁻¹이라서 규칙이 이어지려면 7⁰이 1이어야 함
   4. 전개식은 빈 곱셈이 아니라 맨몸의 1을 인쇄함

   0이라고 가장 많이 기대하고 가장 많이 그렇게 짐작하는 자리입니다. 아무것도 곱하지 않았으니 아무것도 나올 수 없는데, 이웃한 모든 거듭제곱을 맞게 남겨 두는 값이 1이라서 정의가 직관에 호소하는 대신 빈 곱이 됩니다. 참고표가 2⁰ = 1로 시작하는 이유도 같습니다.

5. -2의 3제곱

   1. 밑이 음수이고 지수가 정수인 조합이라서 허용되는 쪽
   2. -2 × -2 = 4 — 음수 둘을 곱하면 양수가 되기 때문
   3. 4 × -2 = -8
   4. 음수 인수의 개수가 홀수라서 답의 부호가 음수

   음의 밑이 거부되는 것이 아니라, 음의 밑에 분수 지수가 붙은 경우만 거부됩니다. 답이 실수가 아니게 되는 것이 바로 거기이기 때문입니다. 결과의 부호는 지수의 홀짝을 따르고, 전개식이 그것을 셀 수 있게 해 줍니다. -2가 세 번이면 한 번 짝을 이루고 음수 인수 하나가 남습니다. 지수를 4로 바꾸면 답은 +16입니다.

이 페이지는 수를 거듭제곱할 뿐입니다. 거듭제곱을 더하거나 곱하거나 둘을 합치지는 않습니다. 지수법칙은 수식 블록에 적혀 있고 손으로 적용하는데, 이는 의도한 것으로서 페이지에 법칙을 적용할 두 번째 밑이 없기 때문입니다. 로그도 취하지 않습니다. 거듭제곱 값과 밑을 알고 지수를 구하는 것은 반대 방향의 물음이고 로그 계산기의 몫입니다. 음의 밑은 정수 지수와 함께일 때만 받고, 그 거부는 계산을 못 하는 것이 아닙니다. -8의 세제곱근은 정말로 -2입니다. 다만 그것을 만들어 내는 산수가 거듭제곱이 아니라 근이라서, 그 규칙을 가진 페이지가 근 계산기이기 때문입니다. 결과는 배정밀도로 계산되고 배정밀도가 정확한 곳에서만 정확합니다. 정수는 2의 53제곱까지 정확히 저장되고 그 위로는 이웃한 정수와 구별되지 않는 정수가 돌아옵니다. 지수는 ±64, 밑은 100만으로 제한되는데 이것은 수학적 한계가 아니라 표시 범위입니다. 진짜 천장은 결과가 표현 가능한 수이기를 그치는 지점이고, 거기에 닿으면 무한대를 인쇄하는 대신 오류를 냅니다. 전개식은 인수 여섯 개를 넘으면 줄여 쓰므로, 곱셈을 온전히 옮겨 적은 것이 아니라 곱셈을 읽은 것입니다.

음의 지수는 무슨 뜻인가요?

음수가 아니라 양의 거듭제곱의 역수를 뜻합니다. 2의 -3제곱은 1 ÷ (2 × 2 × 2)라서 0.125입니다. 답이 0보다 작은 것이 아니라 1보다 작습니다. 이 페이지의 전개식이 결과만이 아니라 그 나눗셈을 인쇄하는 것은, 마이너스 부호가 이 표기에서 유독 거꾸로 읽히는 조각이기 때문입니다.

0제곱이 왜 1인가요?

지수가 0이라는 것이 빈 곱을 뜻하고, 빈 곱이 곱셈의 항등원인 1이기 때문입니다. 내려가는 규칙도 같은 말을 합니다. 지수가 하나 줄 때마다 값을 밑으로 나누므로, 7¹ = 7에서 한 칸 내려가면 7 ÷ 7 = 1입니다. 0이 되는 일은 없습니다. 곱한 것이 없으니 나올 것도 없습니다.

0의 0제곱은 얼마인가요?

정의된 값이 없고, 이 페이지는 값을 인쇄하는 대신 그렇게 말합니다. 두 규칙이 여기서 충돌합니다. 0이 아닌 밑의 0제곱은 1이고, 0의 양의 거듭제곱은 0입니다. 자바스크립트는 이 식에 1을 돌려주지만 그것은 수학적 결론이 아니라 자기 연산들 사이의 일관성을 위해 언어가 내린 결정이고, 그래서 이 페이지는 조용히 동조하는 대신 거부합니다.

0.5 같은 분수 지수를 써도 되나요?

양의 밑과 함께라면 됩니다. 지수 0.5는 제곱근이라서 2의 0.5제곱은 1.414214입니다. 음의 밑에 분수 지수가 붙으면 거부하는데 그 답이 실수가 아니기 때문입니다. 분수 거듭제곱 뒤의 산수는 로그를 거치고, 음수의 로그는 실수 안에 없습니다. 음수의 홀수 번째 근은 실수이고, 그 차이를 아는 페이지가 근 계산기입니다.

전개식이 여섯 인수에서 멈추는 이유는 무엇인가요?

그 위로는 줄임표가 전체 곱과 정보가 정확히 같기 때문입니다. 2의 64제곱을 다 쓰면 같은 인수가 백 자 넘게 이어지고, 개수는 이미 넣은 지수에 들어 있습니다. 그래서 2 × 2 × … × 2로 줄여도 잃는 것이 없습니다. 여섯 인수 아래에서는 곱셈을 전부 쓰고, 3의 4제곱이 네 개를 다 보여 주는 이유가 그것입니다.

답이 언제 과학적 표기법으로 바뀌나요?

0.001에서 100만까지의 범위를 벗어날 때입니다. 그 창 안에서는 평범한 소수로 인쇄합니다. 9,375는 한눈에 읽히지만 9.375 × 10³은 먼저 번역해야 하기 때문입니다. 창 밖에서는 가수와 10의 지수를 함께 보여 주므로, 2의 64제곱이 스무 자리 정수가 아니라 1.844674 × 10¹⁹로 읽힙니다.

• Power — 거듭제곱을 반복된 곱셈으로 정의하기, 그리고 음수와 분수 지수의 규칙 — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — 연산 자체, 음의 지수의 역수 규칙과 부정형 0⁰의 취급 — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — 수 체계를 넘나드는 거듭제곱의 산수와, 음의 밑에 정수가 아닌 지수가 붙으면 실수 값이 없는 이유 — Wikipedia