정사각형 계산기

s = P ÷ 4 = √A P = 4s A = s² d = s√2

한 변

정사각형의 네 변 가운데 하나의 길이이고 센티미터입니다. 정사각형이 실제로 세워져 있는 수이고, 나머지 셋이 여기서 따라 나옵니다

둘레

네 변을 한 바퀴 도는 거리이고 센티미터이며, 한 변의 네 배입니다. 넣으면 페이지가 4로 나누어 한 변을 되찾습니다. 정사각형에서는 나누는 값이 언제나 정확히 4라서, 이 입구는 반올림을 한 번도 만들지 않습니다

넓이

정사각형이 덮는 면이고 제곱센티미터이며, 한 변의 제곱입니다. 넣으면 페이지가 제곱근을 풀어 한 변을 되찾습니다. 둘레와 달리 이 입구는 제곱근을 지나므로, 넓이 2처럼 딱 떨어지지 않는 답을 만들 수 있습니다

대각선

맞은편 모퉁이를 잇는 선이고 센티미터이며, 한 변의 √2배입니다. 이 페이지에서 입력 칸이 없는 유일한 값인데, 넣을 수 있게 하려면 무리수가 필요하고 그 값은 한 변에서 이미 정해지기 때문입니다

s = P ÷ 4 = √A

들어오는 길 둘입니다. 둘레로 들어오면 4로 나누고, 넓이로 들어오면 제곱근을 풉니다. 두 길이 같은 곳에 도착하는 것이 정사각형이고, 직사각형이었다면 넓이만으로는 도착하지 못했을 것입니다

d = s√2

대각선 공식이고, √2는 정사각형이 만드는 고유한 비율입니다. 한 변과 한 변을 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이므로 피타고라스 정리에서 바로 나오고, 그 값이 1.41421356…으로 끝이 없습니다

소수점 네 자리

네 읽음을 적는 폭입니다. 한 변과 둘레와 넓이는 입력이 딱 떨어지면 정확하지만, 대각선은 한 변이 정확해도 √2를 이고 있어서 언제나 반올림된 값입니다

정사각형은 네 변이 같고 네 각이 직각인 도형이고, 실제로는 타일·바닥재·종이·화단·창틀처럼 규격으로 만들어지는 것에 끊임없이 나옵니다. 한 변으로 들어오는 경우가 가장 흔합니다. 자로 한 변만 재면 되기 때문입니다. 둘레로 들어오는 경우는 재료가 길이로 팔릴 때입니다. 테두리 몰딩이나 펜스처럼 네 변을 둘러싸는 자재는 둘레로 주문하고, 그 안을 채우는 자재는 넓이로 주문합니다. 넓이로 들어오는 경우는 반대입니다. 방의 바닥 넓이가 도면이나 견적서에 이미 적혀 있고, 거기서 한 변을 되찾아 타일 한 장의 크기와 줄 수를 정할 때입니다. 대각선이 필요한 자리도 있습니다. 장부나 서랍의 대각선 보강재, 화면의 대각선 치수, 원목을 네모로 다듬을 때 기준이 되는 선이 그렇습니다. 넓이가 2인 정사각형은 교실에서 한 번 짚고 갈 만합니다. 한 변이 √2이고 대각선이 2가 되어 두 값이 서로 자리를 바꾸는데, 무리수가 처음으로 눈에 보이게 되는 자리입니다.

1. 한 변 5

   1. 둘레: 4 × 5 = 20
   2. 넓이: 5² = 25
   3. 대각선: 5 × √2 = 5 × 1.4142 = 7.0711

   이 페이지가 처음 열릴 때 채워지는 정사각형입니다. 대각선 7.0711은 √50이고, 원 페이지의 정사각형 대각선과 같은 값입니다. 한 변 5짜리 정사각형의 외접원은 반지름이 대각선의 절반인 3.5355인데, 그 원의 지름이 정확히 이 7.0711입니다.

2. 둘레 20

   1. 한 변: 20 ÷ 4 = 5
   2. 넓이: 5² = 25
   3. 대각선: 5 × √2 = 7.0711

   첫 줄과 완전히 같은 네 값입니다. 같은 정사각형을 다른 입구로 설명했기 때문입니다. 둘레로 들어오는 길에는 제곱근도 제곱도 없어서 반올림이 한 번도 일어나지 않습니다. 길이로 파는 자재를 주문할 때 둘레가 더 편한 이유가 이것입니다.

3. 넓이 25

   1. 한 변: √25 = 5
   2. 둘레: 4 × 5 = 20
   3. 대각선: 5 × √2 = 7.0711

   세 번째 입구이고, 앞의 두 줄과 같은 정사각형입니다. 이번에는 제곱근을 지나지만 25가 완전제곱수라서 답이 딱 떨어집니다. 넓이로 들어오는 길이 위험해지는 것은 딱 떨어지지 않는 수일 때이고, 그 예가 다음 줄입니다.

4. 넓이 2

   1. 한 변: √2 = 1.4142
   2. 둘레: 4 × 1.4142 = 5.6569
   3. 대각선: 1.4142 × √2 = 2

   이 페이지에서 가장 볼 만한 줄입니다. 한 변이 √2이고 대각선이 정확히 2가 되어 두 값이 서로 자리를 바꿉니다. 넓이가 2인 정사각형에서만 일어나는 일이고, 반지름 1인 원에 딱 맞는 정사각형이 정확히 이 도형입니다. 무리수가 처음으로 눈에 보이게 되는 자리이기도 합니다. 한 변이 1.4142로 끝나 보이지만 제곱하면 정확히 2입니다.

5. 한 변 0

   1. 둘레: 4 × 0 = 0
   2. 넓이: 0² = 0
   3. 대각선: 0 × √2 = 0

   네 값이 모두 0이고, 빠진 답이 아니라 진짜 답입니다. 한 변이 0인 정사각형은 점 하나로 줄어든 것이고, 넓이도 둘레도 대각선도 실제로 0입니다. 페이지가 오류를 내는 대신 0을 인쇄하는 이유입니다.

이 페이지는 정사각형만 다룹니다. 네 변이 같고 네 각이 직각인 도형입니다. 직사각형은 여기서 다루지 않는데, 가로와 세로가 따로 놀아서 넓이 하나로는 모양이 정해지지 않기 때문입니다. 마름모도 아니고, 모서리가 둥근 정사각형도 아닙니다. 채울 수 있는 상자는 정확히 하나입니다. 둘을 동시에 채우면 조용히 해결하는 대신 거절합니다. 한 변 5와 둘레 25처럼 서로 어긋나는 짝이 들어올 수 있고, 페이지는 둘 가운데 하나를 골라 버리기보다 그렇다고 말하는 편을 택합니다. 대각선은 입력할 수 없고, 넣으려면 무리수를 받아들여야 합니다. 대각선에서 한 변으로 가는 길은 √2로 나누는 것이고 이 페이지는 그 계산을 하지 않습니다. 네 읽음은 단위 선택과 무관하게 센티미터와 제곱센티미터로 나옵니다. 넓이는 환산할 때 제곱이므로, 길이에 쓰는 2.54를 넓이에 그대로 쓰면 안 됩니다. 소수점 네 자리는 정밀도에 대한 주장이 아니라 표시 폭입니다. 한 변과 둘레와 넓이는 입력이 딱 떨어지면 정확하지만 대각선은 언제나 √2를 이고 있습니다. 재료의 두께, 잘라 낼 때 생기는 손실, 모서리 처리 몫은 다루지 않습니다.

상자를 하나만 채워야 하는 이유는 무엇인가요?

한 변과 둘레와 넓이가 모두 같은 정사각형의 서로 다른 설명이기 때문입니다. 한 변이 5인 정사각형, 둘레가 20인 정사각형, 넓이가 25인 정사각형은 셋이 아니라 하나입니다. 정사각형은 모양이 하나로 정해져 있어서 크기를 말하는 방법이 여럿이어도 자유도가 늘지 않습니다. 둘을 동시에 넣으면 거절합니다. 한 변 5와 둘레 25처럼 어긋나는 짝이 들어올 수 있기 때문입니다.

대각선은 왜 입력하는 칸이 없나요?

대각선이 한 변에 √2를 곱한 값이라서, 넣으려면 무리수를 입력으로 받아들여야 하기 때문입니다. 대신 대각선에서 한 변을 되찾고 싶다면 √2로 나누면 됩니다. 1.4142로 나누는 것과 정확히 같지는 않지만 네 자리 안에서는 맞습니다. 이 페이지는 한 방향으로만 흐르고, 대각선은 얻는 값입니다.

한 변과 둘레와 넓이가 모두 같은 네 값을 내놓는 이유는 무엇인가요?

셋이 같은 정사각형을 가리키기 때문입니다. 페이지는 어느 상자가 채워졌든 먼저 한 변을 되찾고, 거기서 나머지 셋을 계산합니다. 그래서 세 입구가 같은 곳에 도착합니다. 직사각형이었다면 이렇게 되지 않습니다. 넓이가 25인 직사각형은 5 곱하기 5부터 25 곱하기 1까지 무한히 많아서, 넓이만으로는 한 변이 정해지지 않습니다.

넓이가 2인 정사각형은 무엇이 특별한가요?

한 변과 대각선이 서로 자리를 바꾸는 유일한 크기이기 때문입니다. 한 변이 √2 = 1.4142이고 대각선이 정확히 2가 됩니다. 반지름 1인 원에 딱 맞는 정사각형이 정확히 이 도형이고, 무리수가 처음으로 눈에 보이게 되는 자리입니다. 한 변이 1.4142로 끝나 보이지만 제곱하면 정확히 2가 됩니다.

두 상자에 동시에 숫자를 넣을 수는 없나요?

넣을 수는 있지만 페이지가 거절합니다. 어긋나는 짝을 조용히 한쪽으로 해결해 버리면, 화면에 보이는 수와 다른 정사각형의 답이 나와도 알아챌 방법이 없기 때문입니다. 한 변과 둘레처럼 서로 맞는 짝이라면 어느 것을 넣어도 같은 답이 나오므로, 하나만 넣으면 충분합니다.

직사각형 계산기와 무엇이 다른가요?

입력의 수가 다릅니다. 직사각형은 가로와 세로가 따로 놀아서 둘 중 하나만으로는 정해지지 않고, 넓이나 둘레를 알려 주어도 여전히 모양이 남습니다. 정사각형은 네 변이 같다는 조건이 그 자유를 없애서, 값 하나면 나머지가 전부 따라 나옵니다. 대각선이 있다는 것도 정사각형 쪽이 더 단순한 이유입니다.

• Square — 이 페이지가 다루는 도형, 네 변과 네 직각, 그리고 한 변에서 둘레와 넓이와 대각선이 모두 따라 나오는 이유 — Wolfram MathWorld (United States)
• Square Root of 2 — 정사각형의 대각선이 변에 대해 가지는 비율이며, 종이 규격과 이 페이지의 대각선 공식이 함께 서 있는 수 — Wolfram MathWorld (United States)
• Regular Polygon — 정사각형이 속한 정다각형의 갈래, 그리고 둘레가 한 변 곱하기 변의 수라는 규칙 — Wolfram MathWorld (United States)