정육각형 계산기

넓이 = (3√3 ÷ 2) × s² 둘레 = 6s 긴 대각선 = 2s 짧은 대각선 = √3 × s 변심거리 = (√3 ÷ 2) × s 내각 = 120°

변

여섯 변 가운데 아무거나 하나의 길이이며 단위는 센티미터입니다. 입력이 이것 하나뿐인 이유는 정육각형의 여섯 변이 모두 같고 여섯 각이 모두 120도로 고정되어 있어서, 이 수 하나가 도형 전체를 정하기 때문입니다

넓이

육각형 안쪽이 차지하는 공간이며 단위는 제곱센티미터입니다. 3√3 ÷ 2에 변의 제곱을 곱한 값입니다. 이 계수는 도형을 이루는 정삼각형 여섯 개에서 나온 것이지 외워야 할 공식이 아닙니다

둘레

바깥을 한 바퀴 돈 거리이며 단위는 센티미터입니다. 여섯 변이 모두 같으므로 변의 여섯 배입니다. 변이 정확하면 언제나 정확하게 나오는 유일한 출력이라, 다른 값이 이상해 보일 때 되짚어 볼 기준이 됩니다

긴 대각선

한 꼭짓점에서 중심을 지나 마주 보는 꼭짓점까지 곧게 간 거리이며 단위는 센티미터입니다. 정확히 변의 두 배이고, 육각형에 외접하는 원의 지름이며, 도형을 가로질러 잴 수 있는 가장 넓은 폭입니다

짧은 대각선

꼭짓점을 정확히 하나 사이에 둔 두 꼭짓점 사이의 거리이며 단위는 센티미터입니다. 변의 √3배입니다. 변심거리의 두 배보다 조금 작고 변의 1.5배보다 조금 큰 값이며, 육각형을 직사각형 하나와 삼각형 둘로 갈라 놓습니다

변심거리

중심에서 변의 중점까지 곧게 나간 거리이며 단위는 센티미터입니다. √3 ÷ 2에 변을 곱한 값입니다. 육각형 안에 그린 원의 반지름이고, 짧은 대각선의 정확히 절반입니다. 같은 길이를 중심에서 보고 꼭짓점에서 본 것뿐입니다

√3

3의 제곱근이며 약 1.7320508입니다. 넓이와 짧은 대각선과 변심거리에 나오고, 변이 1인 정삼각형의 높이이기도 합니다. 삼각형의 변을 높이로 바꿔 주는 수입니다

내각

육각형 안쪽에서 이웃한 두 변이 이루는 각이며 정육각형에서는 120도입니다. 변의 길이와 전혀 무관합니다. 어떤 다각형이든 내각의 합은 변의 수에서 2를 뺀 값에 180도를 곱한 것이고, 여섯 변이면 720도를 여섯 모서리가 똑같이 나눠 가지므로 120도씩입니다. 더 큰 육각형도 똑같이 인쇄되는 유일한 출력입니다

이 페이지는 육각형을 실물로 다룰 때 씁니다. 벌집 때문에 계속 필요해지는 도형입니다. 어떤 면을 타일로 덮으려고 육각형 타일 하나가 재료를 얼마나 먹는지 알고 싶다면 넓이를 보면 되고, 변이 1인 육각형의 넓이가 약 2.6인 반면 같은 변의 정사각형은 1이라는 점을 알아 두면 좋습니다. 같은 모서리 길이로 더 많은 면적을 덮는다는 뜻이고, 그래서 포장 완충재와 패널이 벌집 구조를 베낍니다. 판재에서 타일을 잘라 낸다면 변심거리가 중심 사이의 간격을 알려 주고, 두 대각선은 완성품이 차지할 여유가 얼마인지를 알려 줍니다. 가장 넓은 곳을 가로지르는 것이 긴 대각선이고, 너트가 스패너에 맞는지를 좌우하는 것이 변과 변 사이의 폭입니다. 볼트 머리는 변과 변 사이의 폭, 즉 변심거리의 두 배로 규격이 매겨지고 그것에 맞는 소켓도 같은 방식으로 표기되므로, 긴 대각선이 아니라 변심거리를 찾게 됩니다. 도면을 검산할 때도 유용합니다. 두 대각선은 서로 고정된 비를 가집니다. 짧은 대각선은 긴 대각선의 정확히 절반에 √3을 곱한 값입니다. 계산한 육각형의 두 대각선이 이 비에서 벗어난다면 반올림 차이가 아니라 어딘가에 오타가 있다는 뜻입니다. 아래 참고표에서 변이 5인 행과 변이 10인 행을 나란히 읽어 보면 마지막으로 짚을 것이 하나 보입니다. 둘레와 대각선과 변심거리는 정확히 두 배가 되는데 넓이는 64.9519에서 259.8076으로 네 배가 됩니다.

1. 변이 6일 때

   1. 둘레: 6 × 6 = 36
   2. 긴 대각선: 2 × 6 = 12
   3. 변심거리: (√3 ÷ 2) × 6 = 5.196152…, 반올림하면 5.1962
   4. 짧은 대각선: √3 × 6 = 10.392304…, 반올림하면 10.3923
   5. 넓이: (3√3 ÷ 2) × 36 = 93.530743…, 반올림하면 93.5307
   6. 내각: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120도, 모든 정육각형에서 같음

   페이지가 처음 열릴 때 쓰는 입력입니다. 여섯 출력 가운데 둘은 정확하고, 셋은 √3을 품어서 네 자리까지 인쇄됩니다. 나머지 하나가 내각 120도이고, 아래 참고표의 여덟 행 모두에서 같은 값입니다. 한 번만 해 볼 검산은 변심거리가 짧은 대각선의 정확히 절반이라는 것입니다. 5.1962와 10.3923인데, 이 관계는 이 변에서만이 아니라 어느 변에서나 성립합니다.

2. 변이 1일 때

   1. 둘레: 6 × 1 = 6
   2. 긴 대각선: 2 × 1 = 2
   3. 짧은 대각선: √3 × 1 = 1.7320508…, 반올림하면 1.7321
   4. 변심거리: 0.8660254…, 반올림하면 0.866
   5. 넓이: (3√3 ÷ 2) × 1 = 2.5980762…, 반올림하면 2.5981
   6. 내각: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120도, 모든 정육각형에서 같음

   단위 육각형이고, 계수를 외워 둘 만한 행입니다. 변이 1인 정육각형은 넓이가 2.5981, 짧은 대각선이 1.7321, 변심거리가 0.8660입니다. 같은 변의 정사각형 넓이 1도 앞지르는데, 그것이 벌집의 산술입니다. 변심거리가 0.8660이 아니라 0.866으로 인쇄되는 것은 네 번째 소수가 0이라 인쇄형이 가장 짧아졌기 때문이고, 120인 내각에는 인쇄할 소수부가 아예 없습니다.

3. 변이 2일 때

   1. 둘레: 6 × 2 = 12
   2. 긴 대각선: 2 × 2 = 4
   3. 짧은 대각선: √3 × 2 = 3.4641016…, 반올림하면 3.4641
   4. 변심거리: 1.7320508…, 반올림하면 1.7321
   5. 넓이: (3√3 ÷ 2) × 4 = 10.392304…, 반올림하면 10.3923
   6. 내각: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120도, 모든 정육각형에서 같음

   사람들이 한 번 걸리는 행입니다. 이 육각형의 넓이는 10.3923이고, 변이 6인 육각형의 짧은 대각선도 10.3923입니다. 서로 다른 육각형의 서로 다른 두 양이 같은 네 자리를 인쇄하는 것은 계산을 두 번 한 것이 아니라 수의 우연이고, 참고표에서 이것을 발견하고 잘못됐다고 짐작하기 전에 알아 두면 좋습니다. 반대로 내각은 놀랄 일이 전혀 없는 열입니다. 어느 행에서나 120입니다.

4. 변이 10일 때

   1. 둘레: 6 × 10 = 60
   2. 긴 대각선: 2 × 10 = 20
   3. 짧은 대각선: √3 × 10 = 17.320508…, 반올림하면 17.3205
   4. 변심거리: (√3 ÷ 2) × 10 = 8.660254…, 반올림하면 8.6603
   5. 넓이: (3√3 ÷ 2) × 100 = 259.807621…, 반올림하면 259.8076
   6. 내각: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120도, 모든 정육각형에서 같음

   작은 타일 정도 크기인 10센티미터 육각형입니다. 변심거리 8.6603은 이 페이지의 두 번째 우연입니다. 변이 5인 육각형의 짧은 대각선과 같은 네 자리인데, 둘 다 5√3을 서로 다른 자리에서 본 값입니다. 이 행에서 가져갈 값은 긴 대각선 20과 짧은 대각선 17.32입니다. 육각형은 변과 변 사이보다 꼭짓점과 꼭짓점 사이가 약 15퍼센트 넓고, 너트와 그것에 맞는 스패너를 변과 변 사이 폭으로 표기하는 이유가 여기 있습니다.

5. 변이 0일 때

   1. 둘레: 6 × 0 = 0
   2. 긴 대각선: 2 × 0 = 0
   3. 짧은 대각선: √3 × 0 = 0
   4. 변심거리: (√3 ÷ 2) × 0 = 0
   5. 넓이: (3√3 ÷ 2) × 0 = 0
   6. 내각: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120도, 모든 정육각형에서 같음

   0은 빈 칸이 아니라 정당한 입력입니다. 변이 0인 육각형은 한 점이고 다섯 개의 크기 값이 모두 0이므로, 0이 줄줄이 나오는 것은 무언가 채워지지 않은 표시가 아니라 진짜 답입니다. 예외는 내각이고 여전히 120도입니다. 크기가 아니라 여섯 변이라는 사실의 성질이라서, 도형이 주저앉았어도 다른 도형이 되지는 않았기 때문입니다. 이 페이지는 0과 빈 칸을 구별합니다. 칸이 비어 있으면 계산할 재료가 없으므로 결과가 아예 나오지 않습니다.

이 페이지는 정육각형만 다룹니다. 여섯 변의 길이가 모두 같고 여섯 각이 모두 120도인 도형입니다. 정육각형이 아닌 육각형은 하나의 변 길이가 없어서 수 하나로 나타낼 수 없고, 그런 경우 이 페이지는 생각하는 도형이 다른 것이라고 알려 주지 않고 그 변 길이를 가진 정육각형의 값을 조용히 돌려줍니다. 내각은 크기와 무관하게 120도로 고정되어 있어 변이 0인 행까지 포함해 표의 모든 행에 그대로 인쇄됩니다. 외각도 중심각도 없고, 정육각형이 아닌 육각형의 각은 아예 주지 않습니다. 줄 수 있는 답이 하나가 아니기 때문입니다. 출력의 단위는 드롭다운이 무엇으로 되어 있든 센티미터와 제곱센티미터, 도입니다. 인치로 넣은 변은 센티미터 값으로 돌아오므로 직접 환산해야 합니다. 소수점 네 자리는 표시 폭이지 정밀도의 주장이 아니고, 실측한 변에 대해서는 과합니다. 입력이 정확하지 않다면 아래 두 자리에 뜻은 없습니다. 넓이는 변의 제곱을 따라 자라고 둘레와 대각선은 변을 따라 자라므로, 육각형을 키우면 값들이 서로 다른 속도로 변합니다. 전혀 변하지 않는 것은 내각 하나입니다. 변심거리와 짧은 대각선은 한쪽이 다른 쪽의 정확히 절반인데도 두 개로 인쇄되는데, 두 값이 서로 다른 업종에서 쓰이기 때문입니다. 한쪽을 반으로 나누게 하는 대신 둘 다 보여 주는 편을 택했습니다. 구멍이 뚫린 육각형, 휘어진 면 위에 그린 육각형, 육각형 타일이나 너트의 두께는 다루지 않습니다. 그 두께는 이 페이지에 칸이 없는 세 번째 차원입니다.

육각형은 왜 수 하나만으로 충분한가요?

이 페이지가 정육각형을 다루고, 정육각형은 여섯 변이 모두 같고 여섯 각이 120도로 고정되어 있기 때문입니다. 그 두 가지가 남겨 놓는 것은 크기뿐이고 변 하나면 그것이 정해집니다. 직사각형은 수가 둘 필요하고 일반 삼각형은 셋이 필요한데, 정육각형이 그들과 갈라지는 지점이 여기입니다.

변심거리는 무엇이고 어디에 쓰나요?

육각형의 중심에서 변의 한가운데까지 곧게 나간 거리이고, 안에 들어가는 가장 큰 원의 반지름입니다. 실무에서 변이 평평한 물건을 재는 방식이 바로 이것이라서 쓸모가 있습니다. 너트와 그것에 맞는 스패너는 둘 다 꼭짓점 사이가 아니라 변과 변 사이의 폭, 즉 변심거리의 두 배로 규격이 매겨집니다.

두 대각선은 어떻게 다른가요?

긴 대각선은 한 꼭짓점에서 중심을 지나 마주 보는 꼭짓점까지 곧게 가며 정확히 변의 두 배입니다. 짧은 대각선은 꼭짓점 하나를 사이에 둔 두 꼭짓점 사이이고 변의 √3배입니다. 긴 쪽이 짧은 쪽보다 약 15퍼센트 길고, 짧은 쪽은 변심거리의 정확히 두 배입니다.

출력마다 소수 자릿수가 다른 이유는 무엇인가요?

자릿수를 페이지 전체가 아니라 출력마다 정하기 때문입니다. 넓이와 짧은 대각선, 변심거리에는 끝나지 않는 √3이 들어 있어서 답도 좀처럼 끝나지 않으므로 네 자리까지 인쇄합니다. 둘레는 변의 여섯 배, 긴 대각선은 변의 두 배라서 변이 정확하면 둘 다 정확하고, 네 자리는 고정 폭일 뿐 뒤의 0은 그냥 보이지 않습니다. 내각은 정확히 120이라 소수점 없이 정수로 인쇄됩니다.

같은 변의 정사각형과 견주면 육각형이 얼마나 큰가요?

육각형이 더 많이 덮습니다. 변이 1인 정육각형의 넓이가 약 2.6인데 같은 변의 정사각형은 1입니다. 다만 변의 길이를 똑같이 쓴 대가로 모서리도 여섯 개라서 둘레가 더 깁니다. 그래서 이 비교는 모서리 길이당 넓이로 말할 때만 공평합니다. 벌집과 포장 완충재, 라디에이터 패널이 육각 칸을 쓰는 이유가 그 효율입니다.

변을 0으로 둘 수 있나요?

됩니다. 다섯 개의 크기 값이 모두 0으로 돌아오는데, 크기가 없는 육각형을 정직하게 표현한 값입니다. 0은 빈 칸이 아니라 실제 입력으로 취급되므로 0이 줄줄이 나오는 것도 답입니다. 칸을 비워 두는 것은 다릅니다. 아무것도 없으면 계산할 재료가 없어서 결과가 아예 나오지 않습니다.

변을 바꿔도 내각이 변하지 않는 이유는 무엇인가요?

그것이 크기가 아니라 도형의 성질이기 때문입니다. 어떤 다각형이든 내각의 합은 변의 수에서 2를 뺀 값에 180도를 곱한 것이고, 여섯 변이면 720도이며 정육각형은 그것을 여섯 모서리가 똑같이 나눠 가져 120도씩입니다. 그 셈 어디에도 변의 길이는 없습니다. 변이 1인 육각형과 변이 10인 육각형의 모서리 각이 같고, 한 점으로 주저앉은 육각형도 여전히 120을 보고합니다. 크기는 잃었지만 모양은 잃지 않았기 때문입니다.

• Hexagon — 여섯 변을 가진 다각형. 이 페이지가 계산하는 넓이와 변심거리, 두 대각선, 그리고 그것들을 모두 만들어 내는 정삼각형 여섯 개로의 분해 — Wolfram MathWorld (United States)
• Regular polygon — 정육각형이 속한 가족. 변심거리가 중심에서 변까지의 거리로 정의되고, 외접원 반지름과의 관계가 여기서 나온다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Equilateral triangle — 정육각형의 6분의 1. 높이가 변의 √3 ÷ 2이고, 변심거리와 짧은 대각선이 √3을 얻는 자리가 여기다 — Wolfram MathWorld (United States)