팔각형 계산기

넓이 = 2(1 + √2) × s² 둘레 = 8s 변심거리 = s(1 + √2) ÷ 2 짧은 대각선 = s√(2 + √2) 중간 대각선 = s(1 + √2) 긴 대각선 = s√(4 + 2√2) 내각 = 135°

변

여덟 변 가운데 아무거나 하나의 길이이며 단위는 센티미터입니다. 입력이 이것 하나뿐인 이유는 정팔각형의 여덟 변이 모두 같고 여덟 각이 모두 135도로 고정되어 있어서, 이 수 하나가 도형 전체를 정하기 때문입니다

넓이

팔각형 안쪽이 차지하는 공간이며 단위는 제곱센티미터입니다. 2(1 + √2)에 변의 제곱을 곱한 값입니다. 1 + √2가 약 2.4142라서 계수 전체는 약 4.8284입니다. 정사각형의 모서리를 잘라 낸 넓이에서 나온 값이지 외워야 할 공식이 아닙니다

둘레

바깥을 한 바퀴 돈 거리이며 단위는 센티미터입니다. 여덟 변이 모두 같으므로 변의 여덟 배입니다. 변이 정확하면 언제나 정확하게 나오는 유일한 출력이라, 다른 값이 이상해 보일 때 되짚어 볼 기준이 됩니다

변심거리

중심에서 변의 중점까지 곧게 나간 거리이며 단위는 센티미터입니다. s(1 + √2) ÷ 2, 즉 1.2071에 변을 곱한 값입니다. 팔각형 안에 그린 원의 반지름이고 중간 대각선의 정확히 절반입니다. 이 값의 두 배가 곧 중간 대각선이라는 사실은 아래 참고표 어느 행에서나 확인할 수 있습니다

짧은 대각선

꼭짓점을 정확히 하나 사이에 둔 두 꼭짓점 사이의 거리이며 단위는 센티미터입니다. s√(2 + √2), 즉 1.8478에 변을 곱한 값입니다. 세 대각선 가운데 가장 짧고 변의 두 배보다는 조금 짧습니다. 잘라 낸 모서리 하나를 가로지르는 선이라 정사각형의 변과는 만나지 않습니다

중간 대각선

꼭짓점 두 개를 사이에 둔 두 꼭짓점 사이의 거리이며 단위는 센티미터입니다. s(1 + √2), 즉 2.4142에 변을 곱한 값이고 변심거리의 두 배입니다. 이 값이 특별한 이유는 팔각형에 딱 맞게 둘러싼 정사각형의 한 변과 정확히 같다는 것입니다. 정사각형에서 모서리를 잘라 팔각형을 만들었을 때 원래 정사각형이 얼마나 컸는지가 여기 남아 있습니다

긴 대각선

한 꼭짓점에서 중심을 지나 마주 보는 꼭짓점까지 곧게 간 거리이며 단위는 센티미터입니다. s√(4 + 2√2), 즉 2.6131에 변을 곱한 값입니다. 정팔각형에 외접하는 원의 지름이고 도형을 가로질러 잴 수 있는 가장 넓은 폭입니다. 세 대각선 가운데 유일하게 중심을 지납니다

내각

팔각형 안쪽에서 이웃한 두 변이 이루는 각이며 정팔각형에서는 135도입니다. 변의 길이와 전혀 무관합니다. 어떤 다각형이든 내각의 합은 변의 수에서 2를 뺀 값에 180도를 곱한 것이고, 여덟 변이면 1080도를 여덟 모서리가 똑같이 나눠 가지므로 135도씩입니다. 더 큰 팔각형도 똑같이 인쇄되는 유일한 출력입니다

이 페이지는 팔각형을 실물로 다룰 때 씁니다. 정팔각형은 두 가지 일에서 특히 자주 나옵니다. 첫째는 재단입니다. 정사각형 자재의 네 모서리를 잘라 팔각형을 만드는 작업이라면 잘라 낼 크기와 남는 넓이를 함께 알아야 합니다. 잘려 나가는 모서리는 한 변이 s ÷ √2인 직각이등변삼각형 넷이고, 넷을 합치면 변의 제곱만큼입니다. 넓이에서 그만큼을 빼면 되므로 원래 정사각형의 넓이와 비교하는 셈이 금방 끝납니다. 둘째는 각도입니다. 팔각형 액자나 타일을 이어 붙일 때 두 조각이 만나는 자리를 마이터라고 하고, 그 절단각은 내각의 절반이라서 팔각형에서는 언제나 67.5도입니다. 목공용 마이터 톱의 눈금에 67.5가 있는 이유가 이것이고, 변의 길이가 얼마든 이 각은 변하지 않습니다. 표지판이나 타일처럼 여덟 변이 같은 물건을 다룰 때도 이 페이지가 맞습니다. 멈춤 표지판은 정팔각형으로 규격이 정해져 있어서, 같은 거리에서 더 크게 읽히도록 모서리를 잘라 낸 모양을 쓰고 있습니다. 어느 쪽에서 오는 차에도 같은 얼굴을 보이기 때문입니다. 다만 실제 표지판은 테두리와 글자 자리가 따로 있어서, 여기서 나온 넓이는 재료의 전체 넓이이지 인쇄되는 면의 넓이가 아닙니다. 마지막으로 검산에 쓸 수 있는 관계가 하나 있습니다. 중간 대각선은 언제나 변심거리의 정확히 두 배입니다. 두 값이 따로 인쇄되므로, 어긋나 보이면 반올림 탓이 아니라 입력이나 계산이 다른 곳에 있다는 뜻입니다.

1. 변이 6일 때

   1. 둘레: 8 × 6 = 48
   2. 변심거리: 6 × (1 + √2) ÷ 2 = 7.242640…, 반올림하면 7.2426
   3. 중간 대각선: 변심거리 × 2 = 14.4853, 또는 6 × (1 + √2) = 14.485281…
   4. 짧은 대각선: 6 × √(2 + √2) = 11.086554…, 반올림하면 11.0866
   5. 긴 대각선: 6 × √(4 + 2√2) = 15.678818…, 반올림하면 15.6788
   6. 넓이: 2 × (1 + √2) × 36 = 173.823376…, 반올림하면 173.8234
   7. 내각: (8 − 2) × 180 ÷ 8 = 135도, 모든 정팔각형에서 같음

   페이지가 처음 열릴 때 쓰는 입력입니다. 일곱 출력 가운데 정확한 것은 둘레 48 하나이고 나머지는 모두 √2를 품어서 네 자리까지 인쇄됩니다. 이 행에서 잡아 둘 것은 세 대각선이 서로 다르다는 사실입니다. 11.0866, 14.4853, 15.6788로 가장 짧은 것과 긴 것이 40퍼센트 넘게 차이 납니다. 눈으로는 셋이 비슷해 보이지만 같은 수가 아닙니다. 그리고 중간 대각선 14.4853은 변심거리 7.2426의 정확히 두 배입니다. 이것이 우연이 아니라 성질이라는 것은 아래 참고표의 여덟 행 모두에서 확인할 수 있습니다.

2. 변이 1일 때

   1. 둘레: 8 × 1 = 8
   2. 변심거리: (1 + √2) ÷ 2 = 1.207106…, 반올림하면 1.2071
   3. 중간 대각선: 1 + √2 = 2.414213…, 반올림하면 2.4142
   4. 짧은 대각선: √(2 + √2) = 1.847759…, 반올림하면 1.8478
   5. 긴 대각선: √(4 + 2√2) = 2.613125…, 반올림하면 2.6131
   6. 넓이: 2 × (1 + √2) × 1 = 4.828427…, 반올림하면 4.8284
   7. 내각: (8 − 2) × 180 ÷ 8 = 135도, 모든 정팔각형에서 같음

   단위 팔각형이고, 계수를 통째로 외울 수 있는 행입니다. 변이 1인 정팔각형은 넓이가 4.8284, 변심거리가 1.2071, 중간 대각선이 2.4142, 긴 대각선이 2.6131입니다. 같은 변의 정사각형 넓이가 1이고 정육각형이 약 2.6이니, 여덟 변을 가진 도형이 같은 모서리 길이로 약 4.8을 덮습니다. 원에 가까워질수록 같은 재료로 더 많은 면을 덮는다는 셈이 이 줄에 있습니다. 다만 둘레도 함께 늘어나서 정사각형 4, 육각형 6, 팔각형 8입니다. 덮는 넓이와 두르는 길이가 같이 자란다는 뜻이고, 그래서 타일을 고를 때는 둘을 함께 봐야 합니다.

3. 변이 5일 때

   1. 둘레: 8 × 5 = 40
   2. 변심거리: 5 × (1 + √2) ÷ 2 = 6.035533…, 반올림하면 6.0355
   3. 중간 대각선: 5 × (1 + √2) = 12.071067…, 반올림하면 12.0711
   4. 짧은 대각선: 5 × √(2 + √2) = 9.238795…, 반올림하면 9.2388
   5. 긴 대각선: 5 × √(4 + 2√2) = 13.065629…, 반올림하면 13.0656
   6. 넓이: 2 × (1 + √2) × 25 = 120.710678…, 반올림하면 120.7107
   7. 내각: (8 − 2) × 180 ÷ 8 = 135도, 모든 정팔각형에서 같음

   손바닥에 들어오는 크기의 팔각형입니다. 여기서 중간 대각선 12.0711을 눈여겨보면 위에서 말한 정사각형 이야기가 보입니다. 변이 5인 정팔각형은 한 변이 12.0711인 정사각형에 딱 맞게 들어가고, 그 정사각형의 네 모서리를 잘라 낸 것이 이 도형입니다. 잘려 나간 삼각형은 한 변이 5 ÷ √2, 약 3.5355인 직각이등변삼각형 넷이고 넷을 합치면 25가 됩니다. 정사각형의 넓이가 약 145.71이니 거기서 25를 빼면 120.71이고, 이것이 바로 위 넓이와 같습니다. 두 경로로 같은 수에 도착하는지 한 번 확인해 볼 만합니다.

4. 변이 10일 때

   1. 둘레: 8 × 10 = 80
   2. 변심거리: 10 × (1 + √2) ÷ 2 = 12.071067…, 반올림하면 12.0711
   3. 중간 대각선: 10 × (1 + √2) = 24.142135…, 반올림하면 24.1421
   4. 짧은 대각선: 10 × √(2 + √2) = 18.477590…, 반올림하면 18.4776
   5. 긴 대각선: 10 × √(4 + 2√2) = 26.131259…, 반올림하면 26.1313
   6. 넓이: 2 × (1 + √2) × 100 = 482.842712…, 반올림하면 482.8427
   7. 내각: (8 − 2) × 180 ÷ 8 = 135도, 모든 정팔각형에서 같음

   타일 한 장 정도인 10센티미터 팔각형입니다. 이 행에도 참고표에서 발견할 수 있는 우연이 하나 있습니다. 변심거리가 12.0711로, 변이 5인 팔각형의 중간 대각선과 같은 네 자리입니다. 같은 수가 서로 다른 자리에 앉아 있는 것인데, 계산을 두 번 한 것이 아니라 수의 우연입니다. 값을 키울 때 기억할 것은 넓이의 증가 폭입니다. 변을 5에서 10으로 두 배로 하면 둘레는 40에서 80으로 두 배인데 넓이는 120.7107에서 482.8427로 네 배입니다. 재료를 두 배로 사면 덮는 면은 네 배가 된다는 셈이고, 반대로 같은 면을 덮는 데 드는 모서리 길이는 제곱근만큼만 늘어납니다.

5. 변이 0일 때

   1. 둘레: 8 × 0 = 0
   2. 변심거리: 0 × (1 + √2) ÷ 2 = 0
   3. 중간 대각선: 0 × (1 + √2) = 0
   4. 짧은 대각선: 0 × √(2 + √2) = 0
   5. 긴 대각선: 0 × √(4 + 2√2) = 0
   6. 넓이: 2 × (1 + √2) × 0 = 0
   7. 내각: (8 − 2) × 180 ÷ 8 = 135도, 모든 정팔각형에서 같음

   0은 빈 칸이 아니라 정당한 입력입니다. 변이 0인 팔각형은 한 점이고 여섯 개의 크기 값이 모두 0이므로, 0이 줄줄이 나오는 것은 무언가 채워지지 않은 표시가 아니라 진짜 답입니다. 예외는 내각이고 여전히 135도입니다. 크기가 아니라 여덟 변이라는 사실의 성질이라서, 도형이 주저앉았어도 다른 도형이 되지는 않았기 때문입니다. 이 페이지는 0과 빈 칸을 구별합니다. 칸이 비어 있으면 계산할 재료가 없으므로 결과가 아예 나오지 않습니다.

이 페이지는 정팔각형만 다룹니다. 여덟 변의 길이가 모두 같고 여덟 각이 모두 135도인 도형입니다. 정팔각형이 아닌 팔각형은 하나의 변 길이가 없어서 수 하나로 나타낼 수 없고, 그런 경우 이 페이지는 생각하는 도형이 다른 것이라고 알려 주지 않고 그 변 길이를 가진 정팔각형의 값을 조용히 돌려줍니다. 내각은 크기와 무관하게 135도로 고정되어 있어 변이 0인 행까지 포함해 표의 모든 행에 그대로 인쇄됩니다. 마이터 각도는 내각의 절반이라서 언제나 67.5도이지만 이 페이지의 출력에는 없습니다. 내각을 보고 직접 반으로 나누어야 합니다. 외각도 중심각도 없고, 정팔각형이 아닌 팔각형의 각은 아예 주지 않습니다. 줄 수 있는 답이 하나가 아니기 때문입니다. 출력의 단위는 드롭다운이 무엇으로 되어 있든 센티미터와 제곱센티미터, 도입니다. 인치로 넣은 변은 센티미터 값으로 돌아오므로 직접 환산해야 합니다. 소수점 네 자리는 표시 폭이지 정밀도의 주장이 아니고, 실측한 변에 대해서는 과합니다. 입력이 정확하지 않다면 아래 두 자리에 뜻은 없습니다. 넓이는 변의 제곱을 따라 자라고 둘레와 대각선은 변을 따라 자라므로, 팔각형을 키우면 값들이 서로 다른 속도로 변합니다. 전혀 변하지 않는 것은 내각 하나입니다. 변심거리와 중간 대각선은 한쪽이 다른 쪽의 정확히 두 배인데도 두 개로 인쇄되는데, 두 값이 서로 다른 업종에서 쓰이기 때문입니다. 한쪽을 두 배로 만들게 하는 대신 둘 다 보여 주는 편을 택했습니다. 구멍이 뚫린 팔각형, 휘어진 면 위에 그린 팔각형, 팔각형 자재의 두께는 다루지 않습니다. 그 두께는 이 페이지에 칸이 없는 세 번째 차원입니다.

대각선이 세 개나 되는 이유는 무엇인가요?

여덟 꼭짓점이 있어서 사이에 몇 개를 두고 마주 보느냐에 따라 거리가 달라지기 때문입니다. 하나를 사이에 두면 짧은 대각선으로 변의 1.8478배, 둘을 두면 중간 대각선으로 2.4142배, 셋을 두면 긴 대각선으로 2.6131배입니다. 넷을 두면 다시 짧은 쪽으로 접혀 들어갑니다. 정사각형처럼 대각선이 한 종류뿐인 도형은 이 사잇수가 하나밖에 없고, 원에 가까워질수록 종류가 늘어납니다.

마이터 각도 67.5도는 어디서 나오나요?

내각 135도의 절반입니다. 팔각형 액자나 타일 두 조각이 만나는 자리에서 각 조각을 절반씩 나눠 대야 이음매가 맞으므로, 톱을 67.5도로 세팅합니다. 변의 길이가 얼마든 이 각은 변하지 않습니다. 각도는 크기가 아니라 여덟 변이라는 사실에서 나오기 때문입니다. 정사각형 액자에서 45도로 자르는 것과 같은 원리입니다.

정팔각형은 정사각형과 어떤 관계인가요?

정사각형의 네 모서리를 똑같은 직각이등변삼각형으로 잘라 내면 정팔각형이 됩니다. 잘라 내기 전 정사각형의 한 변은 중간 대각선과 정확히 같고, 잘려 나간 삼각형은 한 변이 변의 √2분의 1인 넷입니다. 그래서 넓이는 그 정사각형에서 변의 제곱만큼을 뺀 값이고, 정리하면 2(1 + √2)에 변의 제곱을 곱한 값이 됩니다.

변심거리와 중간 대각선은 무엇이 다른가요?

길이는 두 배 차이이고 재는 방향도 다릅니다. 변심거리는 중심에서 변의 한가운데까지 곧게 나간 거리이고, 중간 대각선은 꼭짓점 두 개를 사이에 둔 두 꼭짓점 사이의 거리입니다. 중간 대각선이 언제나 변심거리의 정확히 두 배라서, 둘 중 하나만 알아도 다른 하나를 얻습니다. 참고표의 여덟 행 모두에서 이 관계를 확인할 수 있습니다.

출력마다 소수 자릿수가 다른 이유는 무엇인가요?

자릿수를 페이지 전체가 아니라 출력마다 정하기 때문입니다. 넓이와 변심거리, 세 대각선에는 끝나지 않는 √2가 들어 있어서 답도 좀처럼 끝나지 않으므로 네 자리까지 인쇄합니다. 둘레는 변의 여덟 배라서 변이 정확하면 정확하고, 네 자리는 고정 폭일 뿐 뒤의 0은 그냥 보이지 않습니다. 내각은 정확히 135라 소수점 없이 정수로 인쇄됩니다.

같은 변의 육각형이나 정사각형보다 넓은가요?

넓습니다. 변이 1일 때 정사각형이 1, 정육각형이 약 2.6, 정팔각형이 약 4.8입니다. 같은 모서리 길이로 더 많은 면을 덮으므로 도형이 원에 가까울수록 재료 효율이 좋아집니다. 다만 둘레도 함께 늘어나서 정사각형 4, 육각형 6, 팔각형 8이고, 이음매의 길이와 재단 횟수도 같이 늘어납니다. 그래서 벌집은 육각형에서 멈추고, 팔각형은 타일처럼 이음매가 보여도 되는 자리에 씁니다.

변을 0으로 둘 수 있나요?

됩니다. 여섯 개의 크기 값이 모두 0으로 돌아오는데, 크기가 없는 팔각형을 정직하게 표현한 값입니다. 0은 빈 칸이 아니라 실제 입력으로 취급되므로 0이 줄줄이 나오는 것도 답입니다. 칸을 비워 두는 것은 다릅니다. 아무것도 없으면 계산할 재료가 없어서 결과가 아예 나오지 않습니다.

• Octagon — 여덟 변을 가진 다각형. 이 페이지가 계산하는 넓이와 변심거리, 세 대각선, 135도 내각, 그리고 정사각형에서 모서리를 잘라 만드는 구성 — Wolfram MathWorld (United States)
• Regular polygon — 정팔각형이 속한 가족. 변심거리가 중심에서 변까지의 거리로 정의되고, 외접원 반지름과의 관계가 여기서 나온다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Circumcircle — 정팔각형에 외접하는 원. 긴 대각선이 이 원의 지름과 같고, 세 대각선 가운데 중심을 지나는 것은 이것 하나뿐이다 — Wolfram MathWorld (United States)