오각형 계산기

넓이 = √(25 + 10√5) ÷ 4 × s² 둘레 = 5s 변심거리 = s ÷ (2 × tan36°) 대각선 = φ × s 내각 = 108°

변

다섯 변 가운데 아무거나 하나의 길이이며 단위는 센티미터입니다. 다른 정다각형과 마찬가지로 입력은 이것 하나뿐입니다. 다섯 변이 모두 같고 다섯 각이 108도로 고정되어 있으므로 변 하나가 도형 전체를 정합니다

넓이

오각형이 차지하는 공간이며 단위는 제곱센티미터입니다. 25에 5의 제곱근의 10배를 더한 것의 제곱근을 4로 나눈 값에 변의 제곱을 곱합니다. 계수는 약 1.7205이고, 이 숫자 하나만 들고 다니면 됩니다. 오각형은 한 변 위에 그린 정사각형의 약 1.72배를 덮습니다

둘레

바깥을 한 바퀴 돈 거리이며 단위는 센티미터입니다. 다섯 변이 모두 같으므로 변의 다섯 배입니다. 변이 정확하면 언제나 정확하게 나오는 유일한 출력이라, 다른 값이 이상해 보일 때 되짚어 볼 기준이 됩니다

변심거리

중심에서 변의 중점까지 곧게 나간 거리이며 단위는 센티미터입니다. 변을 36도의 탄젠트 두 배로 나눈 값입니다. 오각형 안에 들어가는 가장 큰 원의 반지름이고, 그 두 배가 변 쪽에서 잰 도형의 너비입니다

대각선

꼭짓점 하나를 사이에 둔 두 꼭짓점 사이의 거리이며 단위는 센티미터입니다. 변에 황금비를 곱한 값입니다. 육각형 페이지처럼 두 개가 아니라 하나뿐인 이유는 정오각형의 대각선 다섯 개가 모두 같은 길이이기 때문입니다. 어느 것이든 꼭짓점을 정확히 하나 건너뛰므로 길고 짧은 짝이 존재하지 않습니다

내각

이웃한 두 변이 오각형 안쪽에서 이루는 각이며 108도입니다. 변의 수만으로 정해지고 변의 길이와는 무관하기 때문에 참고표의 이 열은 어느 행에서나 같은 수입니다. 그 절반인 54도가 다섯 조각 틀에 필요한 마이터입니다

φ

황금비이며 약 1.6180339887입니다. 대각선이 변에 곱해지는 수이고, 정오각형의 대각선이 서로를 자르는 비입니다. 이 도형이 계산에 어울리는 정도를 훌쩍 넘어 디자인과 식물에서 자주 보이는 이유가 이 수입니다

√5

5의 제곱근이며 약 2.2360680입니다. 넓이에서는 25 더하기 10루트5라는 식으로 들어가고, 황금비를 분수가 아닌 무리수로 만드는 것도 이 수입니다. 1에 5의 제곱근을 더해 2로 나눈 값이 황금비입니다

이 페이지는 정오각형을 실물로 다룰 때 씁니다. 오각형은 구조보다 장식인 경우가 많아서 필요한 숫자의 종류가 달라집니다. 판재에서 하나를 잘라 낼 때, 예컨대 상판, 간판, 보도블록, 화단이라면 넓이는 재료의 양을 알려 주고 변심거리는 중심에서 먹을 잡는 방법을 알려 줍니다. 변심거리의 두 배가 마주 보는 변 사이의 너비이고, 자를 댈 수 있는 방향이 그쪽이기 때문입니다. 대각선은 완성품이 들어갈 자리에 맞는지를 알려 줍니다. 도형을 가로지르는 가장 긴 선이고 꼭짓점에서 꼭짓점으로 중심을 지나기 때문입니다. 다섯 조각으로 무언가를 짤 때, 예컨대 액자, 등롱, 정자 지붕, 플랜터라면 108도라는 내각을 찾게 됩니다. 조각 하나에 잡는 마이터가 그 절반인 54도이고, 이 설정은 크기와 상관없이 모든 정오각형에서 같습니다. 황금비는 대각선 열을 굳이 보게 만드는 이유이기도 합니다. 도형의 서명 같은 값이라서, 대각선이 변의 1.618배가 아닌 오각형은 겉모습이 어떻든 정오각형이 아닙니다. 도형끼리 비교하려는 경우라면 같은 변 길이에서 세 페이지를 나란히 읽는 것이 가장 공평합니다. 변이 6일 때 오각형은 61.9372, 육각형은 93.5307, 팔각형은 173.8234를 덮으므로 같은 변이 변의 수가 많을수록 더 많은 넓이를 사들이고, 그 끝에 원이 있습니다.

1. 변이 6일 때

   1. 둘레: 5 × 6 = 30
   2. 대각선: φ × 6 = 1.6180339… × 6 = 9.708203…, 반올림하면 9.7082
   3. 변심거리: 6 ÷ (2 × tan36°) = 6 ÷ 1.453085… = 4.129145…, 반올림하면 4.1291
   4. 넓이: 1.7204774… × 36 = 61.937187…, 반올림하면 61.9372
   5. 내각: (5 − 2) × 180 ÷ 5 = 108, 정확한 값

   페이지가 처음 열릴 때 쓰는 입력입니다. 여기서 해 볼 검산은 대각선을 변으로 나누는 것입니다. 9.7082 ÷ 6은 1.618, 즉 황금비이고, 이 비는 표의 어느 행에서나, 지금까지 존재한 어떤 정오각형에서나 성립합니다. 같은 변 길이로 옆의 두 페이지와 나란히 놓이는 행이기도 합니다. 변이 6일 때 여기는 61.9372, 육각형 페이지는 93.5307, 팔각형 페이지는 173.8234입니다. 같은 변, 변이 많을수록 더 많은 넓이입니다. 정오각형은 셋 가운데 가장 작고, 동시에 넓이에 비해 가장 넓습니다. 변이 다섯 개뿐이라 셋 중 원에서 가장 멀기 때문입니다.

2. 변이 1일 때

   1. 둘레: 5 × 1 = 5
   2. 대각선: φ × 1 = 1.6180339…, 반올림하면 1.618
   3. 변심거리: 1 ÷ (2 × tan36°) = 0.688190…, 반올림하면 0.6882
   4. 넓이: 1.7204774… × 1 = 1.7204774…, 반올림하면 1.7205
   5. 내각: 108

   단위 정오각형이고, 계수들이 스스로를 드러내는 행입니다. 넓이는 1.7205로 넓이 계수 그 자체이고, 대각선은 1.618로 황금비 그 자체입니다. 둘 다 이 모양으로 외워 둘 만합니다. 넓이를 변이 1인 정사각형의 넓이 1과, 삼각형의 0.433과, 육각형의 2.598과 견주어 보세요. 다섯 변은 정사각형과 육각형 사이에 놓이는데, 이것이 이 도형 가족 전체가 따르는 규칙입니다.

3. 변이 3일 때

   1. 둘레: 5 × 3 = 15
   2. 대각선: φ × 3 = 4.854101…, 반올림하면 4.8541
   3. 변심거리: 3 ÷ (2 × tan36°) = 2.064572…, 반올림하면 2.0646
   4. 넓이: 1.7204774… × 9 = 15.484296…, 반올림하면 15.4843
   5. 내각: 108

   황금비가 가장 지저분하게, 그래서 가장 설득력 있게 나오는 행입니다. 대각선은 4.8541이고 변은 3인데 4.8541 ÷ 3은 1.618입니다. 변이 1일 때도, 3일 때도, 6일 때도 같은 세 자리가 나오는 비라면 산술의 성질이 아니라 도형의 성질입니다. 이 행은 표에서 넓이와 둘레가 가장 가까운 행이기도 합니다. 15.4843과 15인데, 같아진 것이 아니라 거의 스쳐 간 것이고, 애초에 둘은 단위가 다른 다른 양입니다.

4. 변이 10일 때

   1. 둘레: 5 × 10 = 50
   2. 대각선: φ × 10 = 16.180339…, 반올림하면 16.1803
   3. 변심거리: 10 ÷ (2 × tan36°) = 6.881909…, 반올림하면 6.8819
   4. 넓이: 1.7204774… × 100 = 172.047740…, 반올림하면 172.0477
   5. 내각: 108

   보도블록 정도 크기인 10센티미터 오각형입니다. 변심거리 6.8819가 배치를 잡는 값이고, 그 두 배인 13.7638이 마주 보는 변 사이의 너비입니다. 이 행에는 오류로 보이기 전에 짚어 둘 우연이 하나 있습니다. 여기 변심거리 6.8819는 표에서 더 위에 있는 변 2일 때의 넓이와 같은 네 자리입니다. 둘 다 같은 제곱근 식에 서로 다른 방향에서 도달한 값이고, 하나는 길이이고 하나는 넓이이며, 이 두 크기에서 네 자리가 겹친다는 사실에 그 이상의 뜻은 없습니다.

5. 변이 0일 때

   1. 둘레: 5 × 0 = 0
   2. 대각선: φ × 0 = 0
   3. 변심거리: 0 ÷ (2 × tan36°) = 0
   4. 넓이: 1.7204774… × 0 = 0
   5. 내각: (5 − 2) × 180 ÷ 5 = 108

   0은 빈 칸이 아니라 정당한 입력이고, 이 행이 내각의 성격을 가장 또렷하게 보여 줍니다. 변이 0인 오각형은 한 점으로 주저앉아 다섯 값 가운데 넷이 0이 되는데, 내각은 여전히 108도입니다. 크기가 아니라 도형의 성질이라서 크기가 사라진 뒤에도 남습니다. 칸을 비워 두는 것은 다른 경우입니다. 아무것도 없으면 계산할 재료가 없으므로 결과 영역 자체가 비어 있습니다.

이 페이지는 정오각형만 다룹니다. 다섯 변의 길이가 모두 같고 다섯 각이 모두 108도인 도형입니다. 정오각형이 아닌 오각형, 예컨대 집 모양이나 길쭉한 모양에는 하나의 변 길이가 없어서 수 하나로 나타낼 수 없습니다. 그런 경우 이 페이지는 생각하고 있는 도형이 다른 것이라고 알려 주지 않고, 그 변 길이를 가진 정오각형의 값을 조용히 돌려줍니다. 출력의 단위는 단위 드롭다운이 무엇으로 되어 있든 센티미터와 제곱센티미터입니다. 인치로 넣은 변은 센티미터 값으로 돌아오므로 직접 환산해야 합니다. 소수점 네 자리는 표시 폭이지 정밀도의 주장이 아니고, 실측한 변에 대해서는 과합니다. 입력이 정확하지 않다면 아래 두 자리에 뜻은 없습니다. 내각은 108도로 정확해서 소수점 없이 인쇄되지만 모든 행에서 같은 수이므로, 변을 바꿔도 반응하지 않는 것처럼 보여도 멈춘 것이 아닙니다. 다섯 값 가운데 넷은 움직였습니다. 대각선이 둘이 아니라 하나인 것은 빠뜨린 것이 아닙니다. 정오각형의 대각선 다섯 개는 길이가 모두 같아서 길고 짧은 짝이 없습니다. 이 페이지는 평면이고 재료 두께를 넣는 칸이 없어서 오각기둥의 부피나 오각형 판재의 무게는 나오지 않습니다. 대각선으로 그린 오각별도 다루지 않습니다. 그것은 오각형 하나가 아니라 여러 오각형어치 삼각형으로 이루어진 다른 모양입니다.

정오각형의 대각선이 왜 늘 변의 1.618배인가요?

그 수가 황금비이고, 정오각형은 그것이 가장 또렷하게 나타나는 자리 가운데 하나이기 때문입니다. 황금비는 전체가 큰 부분에 대한 비와 큰 부분이 작은 부분에 대한 비가 같아지는 비로 정의되는데, 정오각형의 대각선은 서로를 정확히 그 비로 자릅니다. 그래서 대각선과 변의 비도 같은 값이 됩니다. 크기가 어떻든 모든 정오각형에서 성립하므로, 참고표의 대각선 열은 어느 행이든 변으로 나눠 확인할 수 있습니다.

육각형 페이지는 대각선이 두 개인데 여기는 왜 하나뿐인가요?

정오각형에는 길이가 다른 대각선이 하나뿐이기 때문입니다. 대각선은 모두 꼭짓점 사이에 꼭짓점을 정확히 하나 두고 이어지고, 대칭에 의해 다섯 개가 같은 길이로 나옵니다. 육각형은 다릅니다. 꼭짓점이 여섯이면 하나를 건너뛰는 길이와 곧장 가로지르는 길이, 두 가지가 생기므로 그 페이지는 둘 다 인쇄합니다. 오각형에 길고 짧은 대각선을 나란히 인쇄하면 같은 수를 두 번 보여 주고 없는 차이를 찾게 만드는 셈이 됩니다.

변을 바꿔도 내각이 움직이지 않는 이유는 무엇인가요?

정오각형의 각은 변의 수만으로 정해지고 다른 것은 관여하지 않기 때문입니다. 정다각형의 내각은 변의 수에서 2를 뺀 값에 180도를 곱해 다시 변의 수로 나눈 것이고, 다섯 변이면 108도이며 그 식 어디에도 변의 길이는 없습니다. 변이 1인 오각형과 변이 100인 오각형은 각이 같고 크기만 다릅니다. 참고표의 마지막 열이 모든 행에서 같은 수인 이유이고, 앞으로 자를 어떤 오각형에도 54도라는 마이터 설정이 통하는 이유입니다.

변심거리는 무엇이고 어디에 쓰나요?

중심에서 변의 한가운데까지 곧게 나간 거리이고, 안에 들어가는 가장 큰 원의 반지름입니다. 오각형에서는 도형을 배치할 때 쓰는 값입니다. 그 두 배가 마주 보는 변 사이의 너비인데, 모서리와 달리 변 쪽은 자를 대기 쉽습니다. 판재 위에 오각형을 그린다면 중심에서 변심거리만큼 다섯 번 재어 나가면 다섯 변의 중점이 모두 나옵니다.

정오각형으로 바닥을 빈틈없이 깔 수 있나요?

깔 수 없고, 이 가족에서 유일하게 그렇습니다. 한 점 둘레에 정오각형 셋을 놓으면 틈이 남습니다. 108도 곱하기 3은 324도이고 한 바퀴는 360도라서, 모자란 36도는 끝내 채워지지 않습니다. 오각형 바닥에는 다른 도형을 함께 넣어야 하는 이유이고, 완벽하게 채우는 육각형이 타일과 벌집의 모양이 된 반면 오각형은 구조보다 장식으로 남은 이유입니다.

변을 0으로 두는 것과 칸을 비워 두는 것은 같은 건가요?

다릅니다. 0은 실제 입력이고, 다섯 출력 가운데 넷이 0으로 돌아옵니다. 크기가 없는 오각형에 대해서는 그것이 정직한 답이고, 내각은 크기에 전혀 기대지 않으므로 여전히 108도입니다. 칸을 비워 두면 아무것도 입력되지 않았으니 계산할 재료가 없어서 결과가 아예 나오지 않습니다. 이 구분은 숫자를 다시 넣으려고 칸을 지우는 동안 0이 줄줄이 뜨지 않아야 한다는 점에서 중요합니다.

• Pentagon — 다섯 변을 가진 다각형. 이 페이지가 계산하는 넓이, 변심거리, 대각선과 108도의 내각, 그리고 대각선이 서로를 자르는 황금비의 비율 — Wolfram MathWorld (United States)
• Regular polygon — 정오각형이 속한 가족. 내각이 변의 수로 정해지고 변심거리가 중심에서 변까지의 거리로 정의된다는 설명 — Wolfram MathWorld (United States)
• Apothem — 정다각형의 중심에서 변의 중점까지의 거리. 내접원의 반지름이고, 두 배가 이 도형의 마주 보는 변 사이 너비가 된다 — Wolfram MathWorld (United States)