다각형 계산기

넓이 = (둘레 × 변심거리) ÷ 2 변심거리 = 변 ÷ (2 × tan(180° ÷ n)) 내각 = (n − 2) × 180° ÷ n 대각선 길이의 종류 = ⌊n ÷ 2⌋ − 1

n

변의 수이고 3에서 1000까지 넣을 수 있습니다. 이 값 하나가 어떤 도형인지를 정합니다. 삼각형도 사각형도 원에 가까운 도형도 모두 여기서 갈리고, 같은 화면 안에서 이 수만 바꾸면 다른 도형이 됩니다

변

한 변의 길이이며 단위는 센티미터입니다. 정다각형은 모든 변이 같으므로 한 변만 알면 되고, 나머지 변은 물어볼 필요가 없습니다. 이 값이 커지면 넓이와 둘레와 변심거리가 모두 같은 비율로 커집니다

넓이

정다각형이 차지하는 평면의 크기이며 단위는 제곱센티미터입니다. 둘레와 변심거리를 곱한 값의 절반입니다. 변의 수가 늘어날수록 같은 변 길이에서도 넓이가 커지고, 한없이 늘리면 같은 둘레의 원에 가까워집니다

둘레

모든 변을 한 바퀴 돈 길이이며 단위는 센티미터입니다. 한 변의 길이에 변의 수를 곱한 값이라서 계산이 간단합니다. 변의 수를 늘리면서 한 변의 길이를 그대로 두면 둘레도 함께 늘어난다는 점을 기억해 두면 좋습니다

변심거리

중심에서 한 변의 한가운데까지 내린 수직 거리이며 단위는 센티미터입니다. 정다각형에서만 한 값으로 정해지고, 이 값과 둘레를 곱하면 넓이가 두 번 나옵니다. 변의 수가 늘어날수록 도형의 반지름에 가까워집니다

내각

한 꼭짓점 안쪽의 각도이며 단위는 도입니다. 변의 수가 늘어날수록 커지고, 정삼각형의 60도에서 시작해 변이 1000개일 때 179.64도까지 올라갑니다. 180도에 한없이 가까워지지만 넘지는 않습니다

대각선 길이의 종류

서로 다른 길이의 대각선이 몇 가지인지를 세는 값이고 단위가 없습니다. 대각선의 개수가 아니라 길이의 가짓수라는 점이 중요합니다. 꼭짓점을 두 칸 건너뛰든 세 칸 건너뛰든 같은 길이가 나오는 경우가 많아서, 개수보다 훨씬 작은 수가 나옵니다

원

변의 수를 한없이 늘렸을 때 정다각형이 다가가는 극한입니다. 변이 1000개일 때 넓이와 내각이 원의 값에 거의 닿지만 완전히 같아지지는 않습니다. 이 페이지의 표를 위에서 아래로 읽으면 원에 가까워지는 과정이 그대로 보입니다

이 페이지는 변의 수를 스스로 정해야 할 때 씁니다. 정육각형이나 정팔각형처럼 도형이 이미 정해져 있다면 그 도형만 다루는 페이지가 더 자세하지만, 변의 수가 정해지지 않았거나 여러 가지를 견주어 보고 싶다면 이 페이지가 맞습니다. 변의 수를 바꿔 가며 넓이를 비교하는 것이 이 페이지의 가장 흔한 쓰임입니다. 같은 재료로 만들 때 변의 수가 많을수록 넓이가 커진다는 것을 확인할 수 있고, 이는 같은 둘레에서 원이 가장 넓다는 성질의 한 조각입니다. 타일이나 판재처럼 정다각형 모양으로 잘라 붙이는 일에서는 변심거리가 필요합니다. 변심거리는 중심에서 변까지의 거리라서, 안쪽에 원을 그리거나 여백을 남길 때 기준이 됩니다. 변의 수를 늘리면 변심거리가 도형의 반지름에 가까워지므로 여백이 줄어듭니다. 내각은 정다각형을 이어 붙일 수 있는지 판단할 때 씁니다. 한 꼭짓점에 모이는 내각의 합이 360도가 되어야 빈틈없이 채워지는데, 정삼각형과 정사각형과 정육각형만 이 조건을 만족합니다. 정오각형부터는 내각이 커져서 여섯 개를 모아도 360도를 넘거나 모자라기 때문에 평면을 빈틈없이 채울 수 없습니다. 변의 수를 3에서 1000까지 넣어 보면 내각이 180도에 가까워지는 것을 볼 수 있습니다. 각이 펴져서 뾰족한 모서리가 사라지고, 그래서 도형이 원처럼 보이게 됩니다. 대각선 길이의 종류도 변의 수와 함께 늘어나지만 개수만큼 빠르지는 않습니다. 변이 20개면 대각선이 170개나 되지만 길이의 가짓수는 9가지뿐입니다.

1. 정육각형, 변이 6일 때

   1. 둘레: 6 × 6 = 36
   2. 내각: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120
   3. 변심거리: 6 ÷ (2 × tan(30°)) ≈ 5.1962
   4. 넓이: 36 × 5.1962 ÷ 2 ≈ 93.5307
   5. 대각선 길이의 종류: 6 ÷ 2 − 1 = 2

   페이지가 처음 열릴 때 쓰는 입력입니다. 넓이 93.5307은 93.53에 가깝고, 변심거리 5.1962는 3√3입니다. 정육각형의 대각선은 두 가지 길이만 나오는데, 마주 보는 꼭짓점을 이은 긴 대각선과 한 칸 건너뛴 짧은 대각선입니다. 이 도형은 벌집을 이루는 모양이라서 따로 다루는 페이지도 있습니다. 여기서는 변의 수를 바꿔 가며 견주는 것이 목적이므로, 다음 예들과 값을 맞대어 보면 좋습니다.

2. 정사각형, 변이 6일 때

   1. 둘레: 4 × 6 = 24
   2. 내각: (4 − 2) × 180 ÷ 4 = 90
   3. 변심거리: 6 ÷ 2 = 3
   4. 넓이: 24 × 3 ÷ 2 = 36
   5. 대각선 길이의 종류: 4 ÷ 2 − 1 = 1

   변이 4개일 때는 변심거리가 한 변의 절반이 되어 계산이 눈에 들어옵니다. 정사각형의 대각선은 두 개지만 길이가 서로 같아서 종류는 한 가지입니다. 앞의 정육각형과 견주어 보면, 같은 변 길이 6에서 둘레가 24에서 36으로, 넓이가 36에서 93.5307로 늘었습니다. 변의 수가 늘면 둘레도 늘고 넓이는 더 빠르게 늘어난다는 것이 이 두 줄에 나란히 드러납니다.

3. 정오각형, 변이 6일 때

   1. 둘레: 5 × 6 = 30
   2. 내각: (5 − 2) × 180 ÷ 5 = 108
   3. 변심거리: 6 ÷ (2 × tan(36°)) ≈ 4.1291
   4. 넓이: 30 × 4.1291 ÷ 2 ≈ 61.9372
   5. 대각선 길이의 종류: 5 ÷ 2 − 1 = 1

   정오각형은 대각선이 다섯 개인데 길이가 모두 같아서 종류는 한 가지입니다. 대각선과 변의 비가 황금비가 되는 도형이라서 따로 다루는 페이지도 있습니다. 여기서 눈여겨볼 것은 변심거리 4.1291입니다. 변의 길이가 6으로 같아도 변의 수가 늘어날수록 변심거리가 커지는데, 이는 도형이 그만큼 둥글어지고 있다는 뜻입니다.

4. 정삼각형, 변이 6일 때

   1. 둘레: 3 × 6 = 18
   2. 내각: (3 − 2) × 180 ÷ 3 = 60
   3. 변심거리: 6 ÷ (2 × tan(60°)) ≈ 1.7321
   4. 넓이: 18 × 1.7321 ÷ 2 ≈ 15.5885
   5. 대각선 길이의 종류: 3 ÷ 2 − 1 = 0

   변이 3개일 때는 이웃한 꼭짓점을 잇는 선이 곧 변이라서 대각선이 하나도 없고, 종류도 0으로 나옵니다. 이 페이지가 다루는 가장 단순한 도형입니다. 같은 변 길이 6에서 넓이가 15.5885로, 앞의 정오각형 61.9372와 견주면 네 배 가까이 차이가 납니다. 둘레는 18과 30으로 두 배가 채 안 되는데 넓이는 훨씬 크게 벌어지는데, 변의 수가 늘어날수록 같은 재료로 더 넓은 면적을 얻는다는 뜻입니다.

5. 정십이각형, 변이 6일 때

   1. 둘레: 12 × 6 = 72
   2. 내각: (12 − 2) × 180 ÷ 12 = 150
   3. 변심거리: 6 ÷ (2 × tan(15°)) ≈ 11.1962
   4. 넓이: 72 × 11.1962 ÷ 2 ≈ 403.0615
   5. 대각선 길이의 종류: 12 ÷ 2 − 1 = 5

   내각이 150도까지 올라가서 도형이 눈에 띄게 둥글어집니다. 대각선 길이의 종류가 5가지로 늘어나는데, 대각선의 개수는 54개나 되지만 길이는 다섯 가지로밖에 나오지 않습니다. 변심거리 11.1962가 한 변의 길이 6보다 훨씬 커진 것도 눈에 띕니다. 도형이 둥글어지면서 중심에서 변까지의 거리가 반지름처럼 멀어지고 있다는 뜻입니다.

6. 변 1000개, 한 변이 6일 때

   1. 둘레: 1000 × 6 = 6000
   2. 내각: (1000 − 2) × 180 ÷ 1000 = 179.64
   3. 변심거리: 6 ÷ (2 × tan(0.18°)) ≈ 954.9265
   4. 넓이: 6000 × 954.9265 ÷ 2 ≈ 2864779.5509
   5. 대각선 길이의 종류: 1000 ÷ 2 − 1 = 499

   이 페이지가 넣을 수 있는 가장 큰 변의 수입니다. 내각이 179.64도로 원의 접선과 거의 나란해졌고, 변심거리 954.9265는 반지름에 거의 닿은 값입니다. 둘레 6000을 2π로 나눈 원의 지름이 약 1910이고 반지름이 약 955인데, 변심거리와 거의 같습니다. 변의 수를 늘리면 정다각형이 원으로 수렴한다는 것이 이 한 줄로 확인됩니다. 넓이도 같은 둘레의 원 넓이에 거의 닿습니다.

이 페이지는 정다각형만 다룹니다. 모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기도 같은 도형이어야 하고, 변의 길이가 제각각인 다각형은 이 페이지의 식이 맞지 않습니다. 직사각형처럼 각은 같아도 변의 길이가 다른 도형도 대상이 아닙니다. 변의 수는 3에서 1000까지만 넣을 수 있습니다. 2 이하는 다각형이 아니고, 1000을 넘는 값은 화면에 그려서 확인할 수 있는 범위를 넘어섭니다. 변의 수가 정수여야 하므로 6.5각형 같은 값은 받지 않습니다. 한 변의 길이는 센티미터로 들어가고 넓이와 둘레와 변심거리도 센티미터와 제곱센티미터로 고정되어 표시됩니다. 드롭다운에서 다른 단위를 골라 넣어도 결과는 센티미터로 나오므로 다른 단위가 필요하면 직접 환산해야 합니다. 결과는 모두 반올림해서 인쇄됩니다. 넓이는 소수점 넷째 자리, 내각은 둘째 자리까지만 나오는데, 변의 수가 커지면 내각이 179.9와 180 사이에 몰려서 두 자리로는 구별되지 않습니다. 대각선 길이의 종류는 대각선의 개수가 아닙니다. 꼭짓점을 몇 칸 건너뛰었는지에 따라 달라지는 길이의 가짓수를 센 값이고, 변의 수가 짝수일 때와 홀수일 때 세는 방식이 달라서 결과가 한 칸씩 차이 납니다. 도형의 회전이나 위치는 다루지 않습니다. 정다각형은 어디에 놓든 모양이 같으므로 위치를 넣을 칸이 없고, 꼭짓점이 위를 향하는지 옆을 향하는지도 결과에 영향을 주지 않습니다.

정다각형이 무엇인가요?

모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기도 같은 다각형입니다. 이 두 조건이 붙으면 한 변의 길이만 알아도 도형 전체의 모양이 정해지므로, 이 페이지는 변의 수와 한 변의 길이만 받습니다. 정삼각형과 정사각형이 가장 익숙한 예이고, 변의 수가 늘어날수록 모양이 원에 가까워집니다.

변의 수를 늘리면 넓이가 왜 커지나요?

같은 변 길이에서 변의 수가 늘면 도형이 둥글어지면서 안쪽이 더 넓어지기 때문입니다. 한 변의 길이를 6으로 고정하면 정삼각형의 넓이가 15.5885인데 정육각형은 93.5307, 정십이각형은 403.0615로 커집니다. 둘레도 함께 늘어나지만 넓이가 더 빠르게 늘어납니다. 같은 둘레를 가진 도형 가운데 원이 가장 넓다는 성질의 한 모습입니다.

변심거리는 무엇인가요?

중심에서 한 변의 한가운데까지 내린 수직 거리입니다. 정다각형에서만 한 값으로 정해지고, 둘레와 곱한 값의 절반이 넓이가 됩니다. 변의 수가 늘어날수록 도형의 반지름에 가까워지는데, 변이 1000개일 때 변심거리 954.9265는 같은 둘레의 원 반지름 약 955와 거의 같습니다.

대각선 길이의 종류는 어떻게 세나요?

서로 다른 길이가 몇 가지인지를 세는 값이고, 대각선의 개수와는 다릅니다. 정사각형은 대각선이 두 개지만 길이가 같아서 한 가지이고, 정육각형은 긴 것과 짧은 것 두 가지입니다. 변의 수가 20이면 대각선이 170개나 되지만 길이의 가짓수는 아홉 가지뿐입니다.

정다각형으로 평면을 빈틈없이 채울 수 있나요?

정삼각형과 정사각형과 정육각형만 됩니다. 한 꼭짓점에 모이는 내각의 합이 360도가 되어야 하는데, 내각이 60도, 90도, 120도일 때만 이 조건이 맞습니다. 정오각형은 내각이 108도라서 여섯 개를 모아도 360도에 맞지 않습니다. 변의 수가 더 늘어나면 내각이 커져서 조건에서 멀어집니다.

변의 수를 많이 넣으면 원과 같아지나요?

한없이 가까워지지만 완전히 같아지지는 않습니다. 변이 1000개일 때 내각이 179.64도로 원의 접선과 거의 나란해지고, 넓이와 변심거리도 같은 둘레의 원 값에 거의 닿습니다. 이 페이지가 넣을 수 있는 값은 1000까지이고, 그보다 큰 값을 넣어도 결과가 눈에 띄게 달라지지는 않습니다.

변의 길이가 제각각인 다각형도 되나요?

되지 않습니다. 이 페이지는 모든 변이 같은 정다각형만 다루므로 변의 길이를 하나만 받습니다. 직사각형처럼 각은 같아도 변의 길이가 다른 도형이나, 변마다 길이가 다른 오각형은 이 페이지의 식이 맞지 않습니다. 그런 도형의 넓이는 변의 길이와 각도를 따로 알아야 하고, 이 페이지에서는 구할 수 없습니다.

• Regular Polygon — 모든 변과 모든 각이 같은 다각형. 넓이·둘레·변심거리·내각의 식이 모두 여기서 나온다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Apothem — 정다각형의 중심에서 한 변의 한가운데까지의 거리. 둘레와 곱하면 넓이가 두 번 나오는 값이다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Isoperimetric Inequality — 둘레가 같으면 원이 가장 넓다는 사실의 근거. 변의 수를 늘릴수록 넓이가 원에 다가가는 것이 이 부등식의 한 모습이다 — Wolfram MathWorld (United States)