직사각형 계산기

넓이 = 가로 × 세로 둘레 = 2 × (가로 + 세로) 대각선 = √(가로² + 세로²)

가로

직사각형의 긴 쪽 변이며 단위는 센티미터입니다. 세로와 자리를 바꿔 넣어도 세 결과가 모두 같으므로 어느 쪽을 가로로 부를지는 편한 대로 정하면 됩니다

세로

직사각형의 짧은 쪽 변이며 단위는 센티미터입니다. 가로와 함께 이 페이지의 입력 두 칸을 이룹니다. 두 값이 같아지면 정사각형이 되고, 그때 대각선이 가장 짧아집니다

넓이

직사각형이 덮는 평면의 크기이며 단위는 제곱센티미터입니다. 가로와 세로를 곱한 값입니다. 두 변을 모두 두 배로 늘리면 넓이는 네 배가 되는데, 곱하는 수가 둘 다 커지기 때문입니다

둘레

네 변을 한 바퀴 돈 길이이며 단위는 센티미터입니다. 가로와 세로를 더한 값의 두 배입니다. 마주 보는 변이 서로 같아서 두 변만 재면 나머지 두 변을 알 수 있습니다

대각선

마주 보는 두 모서리를 이은 선의 길이이며 단위는 센티미터입니다. 대각선 하나가 직사각형을 직각삼각형 둘로 나누므로 피타고라스 정리로 구합니다. 가로와 세로의 제곱을 더한 값의 제곱근이고, 언제나 두 변 가운데 긴 쪽보다 깁니다

이 페이지는 직사각형 하나를 놓고 그 크기를 재고 싶을 때 씁니다. 방바닥에 장판을 깔거나 벽에 페인트를 칠할 때 필요한 넓이, 울타리나 몰딩처럼 가장자리를 따라 도는 길이, 그리고 두 모서리를 잇는 대각선이 필요할 때가 모두 여기에 들어갑니다. 대각선이 특히 쓸모 있는 자리는 화면이나 판재를 다룰 때입니다. 모니터의 크기는 대각선 길이로 말하고, 문틀을 지나갈 수 있는지 따질 때도 대각선을 봅니다. 책상이나 침대를 옮길 때 통로를 지날 수 있는지 판단하는 기준도 대각선이고, 판재를 잘라 직사각형으로 만들었을 때 네 각이 제대로 섰는지 확인하는 방법도 두 대각선의 길이를 견주는 것입니다. 두 대각선이 같으면 네 각이 직각입니다. 넓이와 둘레는 서로 다른 것을 재므로 어느 한쪽만 보고 크기를 판단하면 어긋납니다. 넓이가 큰 도형이 둘레도 길다고 단정할 수 없고, 둘레가 같다고 넓이가 같지도 않습니다. 둘레 20짜리 직사각형 가운데 넓이는 25에서 0까지 벌어집니다. 여기에 더해 대각선까지 함께 보면 도형의 모양이 짐작됩니다. 둘레가 같은데 넓이가 작고 대각선이 길다면 길쭉한 모양이고, 셋이 정사각형의 값에 가깝다면 네 변이 고른 모양입니다. 비율이 정해진 직사각형을 다룰 때도 이 페이지가 편합니다. 종이나 사진처럼 가로와 세로의 비가 정해진 물건은 한 변만 정하면 나머지가 따라 나오는데, 그 비율을 곱해서 계산기를 채우면 넓이와 대각선이 함께 나옵니다. 방의 면적을 평으로 환산하거나 벽지를 몇 롤 살지 정하는 일처럼 실제로 돈이 오가는 계산에도 이 세 값이 그대로 쓰됩니다.

1. 가로 4, 세로 3일 때

   1. 넓이: 4 × 3 = 12
   2. 둘레: 2 × (4 + 3) = 14
   3. 대각선: √(16 + 9) = √25 = 5
   4. 세 값: 넓이 12, 둘레 14, 대각선 5

   페이지가 처음 열릴 때 쓰는 입력입니다. 대각선이 5로 딱 떨어지는데, 직사각형의 두 변과 대각선이 3과 4와 5라는 정수 조합을 이룹니다. 대각선이 직각삼각형의 빗변이기 때문에 이런 조합이 나옵니다. 검산은 두 변의 제곱을 더한 25가 대각선 5의 제곱과 같은지 보면 되고, 넓이와 둘레는 두 변만으로 바로 나옵니다.

2. 가로와 세로가 5로 같을 때

   1. 넓이: 5 × 5 = 25
   2. 둘레: 2 × (5 + 5) = 20
   3. 대각선: √(25 + 25) = √50 ≈ 7.0711
   4. 세 값: 넓이 25, 둘레 20, 대각선 7.0711

   두 변이 같아지면 정사각형이 됩니다. 대각선이 7.0711로 끝나지 않는 소수가 되는데, 50의 제곱근이 무리수이기 때문입니다. 정사각형의 대각선은 언제나 변에 1.414를 곱한 값이고, 이 수도 끝나지 않습니다. 바로 다음 줄의 가로 6, 세로 4와 견주어 보면 둘레가 둘 다 20인데 넓이는 25와 24로 갈립니다. 둘레가 같아도 넓이는 정사각형일 때 가장 크다는 것이 이 두 줄에 나란히 드러납니다.

3. 가로 6, 세로 4일 때

   1. 넓이: 6 × 4 = 24
   2. 둘레: 2 × (6 + 4) = 20
   3. 대각선: √(36 + 16) = √52 ≈ 7.2111
   4. 세 값: 넓이 24, 둘레 20, 대각선 7.2111

   바로 앞 줄과 둘레가 똑같이 20입니다. 정사각형에서 한 변을 1 늘리고 다른 변을 1 줄인 셈인데, 넓이는 25에서 24로 줄고 대각선은 7.0711에서 7.2111로 늘었습니다. 방향이 서로 반대라는 것이 요점입니다. 넓이는 두 변의 곱이라 한쪽이 커진 만큼 다른 쪽이 작아지면 손해를 보고, 대각선은 두 제곱의 합이라 한쪽이 커지면 이득을 봅니다.

4. 가로 12, 세로 5일 때

   1. 넓이: 12 × 5 = 60
   2. 둘레: 2 × (12 + 5) = 34
   3. 대각선: √(144 + 25) = √169 = 13
   4. 세 값: 넓이 60, 둘레 34, 대각선 13

   5-12-13 조합이라서 대각선이 정수로 떨어집니다. 앞의 3-4-5와 함께 직사각형에서 자주 만나는 정수 조합이고, 8-15-17도 같은 계열입니다. 가로가 세로의 두 배를 넘게 길쭉한데도 대각선이 13으로 깔끔하게 나오는 것은 두 변이 서로 소인 정수 조합이기 때문입니다. 실제로 재단할 때 이런 조합을 알면 직각이 제대로 섰는지 확인하는 데 쓸 수 있습니다.

5. 가로 100, 세로 50일 때

   1. 넓이: 100 × 50 = 5000
   2. 둘레: 2 × (100 + 50) = 300
   3. 대각선: √(10000 + 2500) = √12500 ≈ 111.8034
   4. 세 값: 넓이 5000, 둘레 300, 대각선 111.8034

   미터 단위로는 가로 1미터, 세로 0.5미터쯤 되는 크기입니다. 대각선이 111.8034로 인쇄되는데, 이 값은 미터로 환산하면 1.118미터입니다. 단위를 바꾸면 넓이와 둘레도 함께 바뀌지만 모양은 그대로이므로, 대각선과 긴 변의 비율인 1.118은 어느 단위로 재든 같습니다. 이 비율이 √1.25이고, 두 변의 비가 2대 1일 때 늘 나오는 값입니다.

6. 세로가 0일 때

   1. 넓이: 7 × 0 = 0
   2. 둘레: 2 × (7 + 0) = 14
   3. 대각선: √(49 + 0) = 7
   4. 세 값: 넓이 0, 둘레 14, 대각선 7

   한 변이 0이면 넓이가 사라지고 선분 하나만 남습니다. 이때 대각선은 남은 변과 같은 길이가 되는데, 납작해지면서 대각선과 긴 변이 겹치기 때문입니다. 둘레는 14로 남아 있는데, 이는 선분을 위아래로 한 번씩 왕복한 길이입니다. 가로와 세로가 모두 0이면 세 값이 다 0이 되고, 참고표의 마지막 줄이 그 경우입니다.

이 페이지는 직사각형만 다룹니다. 네 각이 모두 90도이고 마주 보는 두 쌍의 변이 서로 같은 사각형이어야 합니다. 각도가 조금이라도 기울어진 평행사변형은 이 페이지의 식이 맞지 않습니다. 평행사변형은 기울어진 만큼 높이가 짧아져서 넓이가 줄어드는데, 두 변의 곱은 그대로이므로 직사각형보다 큰 값이 나옵니다. 마름모나 사다리꼴도 마찬가지로 이 페이지의 대상이 아닙니다. 세 값은 모두 계산된 결과이고 반올림해서 인쇄됩니다. 대각선은 소수점 넷째 자리까지 나오는데, 50의 제곱근처럼 끝나지 않는 수는 그 자리에서 잘립니다. 인쇄된 값을 다시 채워 넣으면 마지막 자리가 미세하게 달라질 수 있습니다. 자릿수는 만드는 물건에 맞춘 값이라 실제로 재단할 때는 이보다 거칠게 반올림해서 쓰는 편이 안전합니다. 입력은 센티미터로 들어가지만 출력도 센티미터와 제곱센티미터로 고정되어 있습니다. 드롭다운에서 다른 단위를 골라 넣어도 결과는 센티미터로 표시되므로, 미터나 인치로 결과를 보고 싶다면 직접 환산해야 합니다. 넓이를 평이나 제곱미터로 바꾸는 일도 이 페이지가 하지 않습니다. 각도는 이 페이지에서 다루지 않습니다. 직사각형은 네 각이 모두 90도로 정해져 있어서 구할 각도가 없고, 대각선이 만드는 각도를 알고 싶다면 삼각함수가 필요합니다. 직육면체의 부피나 겉넓이는 세 번째 변이 있어야 하므로 다른 페이지의 몫입니다. 가로와 세로에 0을 넣어도 계산은 되지만, 그 결과는 도형이 아니라 선분이나 점에 대한 값입니다.

가로와 세로를 바꿔 넣어도 되나요?

됩니다. 직사각형은 마주 보는 두 쌍의 변만 같으면 되므로 어느 쪽을 가로로 부르든 결과가 달라지지 않습니다. 넓이는 두 수를 곱한 값이라 순서가 상관없고, 둘레는 두 수를 더한 값의 두 배이며, 대각선은 두 제곱을 더한 값이라 역시 순서와 무관합니다. 세 결과가 모두 그대로 나오는지 확인하는 것이 가장 쉬운 검산입니다.

대각선은 어떤 식으로 구하나요?

가로의 제곱과 세로의 제곱을 더한 값의 제곱근입니다. 대각선 하나를 그으면 직사각형이 직각삼각형 두 개로 나뉘고, 그 삼각형의 빗변이 대각선이기 때문입니다. 그래서 피타고라스 정리가 그대로 쓰입니다. 가로와 세로가 3과 4면 대각선이 5로 떨어지고, 5와 5면 7.0711로 끝나지 않는 수가 나옵니다.

둘레가 같은데 넓이가 다른 이유는 무엇인가요?

넓이는 두 변의 곱이고 둘레는 두 변의 합이라 서로 다른 것을 재기 때문입니다. 둘레가 20인 경우를 보면 가로 5, 세로 5일 때 넓이가 25인데, 가로 6, 세로 4로 바꾸면 둘레는 그대로 20이면서 넓이가 24로 줄어듭니다. 같은 끈으로 울타리를 칠 때 정사각형이 가장 넓은 땅을 만든다는 이야기가 여기서 나옵니다. 반대로 대각선은 정사각형일 때 가장 짧습니다.

직사각형인지 확인하는 방법이 있나요?

두 대각선의 길이를 견주면 됩니다. 직사각형은 두 대각선의 길이가 같고, 마름모처럼 대각선이 서로 다른 사각형은 직사각형이 아닙니다. 네 각이 제대로 섰는지 확인할 때도 같은 방법을 씁니다. 판재를 잘라 직사각형을 만들었을 때 마주 보는 두 대각선을 재서 같으면 네 각이 90도입니다.

단위를 바꾸면 결과도 바뀌나요?

결과가 표시되는 단위는 센티미터와 제곱센티미터로 고정되어 있습니다. 입력에서 다른 단위를 골라 넣으면 그 값이 센티미터로 환산된 뒤 계산되므로 숫자는 달라지지만, 도형 자체는 같은 크기입니다. 대각선과 긴 변의 비율처럼 두 값의 관계는 어느 단위로 재든 같습니다. 미터나 인치로 결과를 보고 싶다면 직접 환산해야 합니다.

가로나 세로에 0을 넣어도 되나요?

계산은 되지만 그 결과는 도형이 아니라 선분이나 점에 대한 값입니다. 세로가 0이면 넓이가 0이 되고 대각선이 남은 변과 같아지며, 둘레는 그 변을 두 번 지난 길이가 됩니다. 가로와 세로가 모두 0이면 세 값이 다 0입니다. 실제로 재는 일이라면 한 변이 0인 직사각형은 존재하지 않으므로 입력을 다시 확인하는 편이 좋습니다.

직육면체의 부피도 구할 수 있나요?

이 페이지에서는 구할 수 없습니다. 높이라는 세 번째 변이 있어야 하고, 부피는 세 변을 모두 곱한 값입니다. 여기서 나오는 넓이는 직육면체의 한 면에 대한 값이므로, 바닥 면적을 구한 뒤 높이를 곱하면 부피가 됩니다. 겉넓이처럼 여섯 면을 다 더하는 계산도 다른 페이지의 몫입니다.

• Rectangle — 네 각이 직각이고 마주 보는 변이 서로 같은 사각형. 넓이와 둘레와 대각선의 정의가 여기 있다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean Theorem — 대각선이 직사각형을 나눈 직각삼각형의 빗변이므로, 대각선의 길이를 구하는 근거가 이 정리다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Isoperimetric Inequality — 둘레가 같으면 넓이는 정사각형일 때 가장 크다는 사실의 근거. 앞의 두 예가 이 부등식의 한 점이다 — Wolfram MathWorld (United States)