로그 계산기

log_b(x) = ln x / ln b b^y = x ⟺ y = log_b(x)

x

진수, 로그를 취하는 대상이 되는 수입니다. 양수여야 합니다. 0의 로그는 음의 무한대로 달아나고, 음수의 로그는 실수가 아니므로, 이 페이지는 둘 다 답처럼 보이는 값을 인쇄하는 대신 거절합니다

b

밑, 거듭제곱하는 수입니다. 양수여야 하고 1이 될 수 없습니다. 1은 어떤 제곱을 해도 1이기 때문입니다. 밑이 1일 때 로그를 가지는 진수는 1뿐이고, 그것은 진수에 대한 진술이 아니라 1에 대한 진술이라서 식이 정보를 나르지 못합니다. 그래서 이 페이지는 그 사실을 말해 줍니다

log_b(x)

직접 넣은 밑의 로그이며 주된 결과입니다. 밑을 진수로 만들어 주는 지수입니다. 1000의 상용로그가 3인 것은 10을 세제곱하면 1000이 되기 때문입니다. 페이지를 거꾸로 읽으면 이 값은 밑을 자기 자신과 몇 번 곱해야 하는지이기도 하고, 그래서 로그는 반복해서 곱해지는 것 모두에 자연스러운 도구가 됩니다

ln x

자연로그, 밑이 e인 로그입니다. e는 약 2.718281828입니다. 입력 상자의 밑이 무엇이든 e로 고정해서 계산하며, 미적분이 이 로그로 쓰이고 공학용 계산기에 전용 키가 있는 로그이기도 합니다. 반감기와 연속 성장은 여기서 바로 읽힙니다

lg x

상용로그, 밑이 10인 로그이며 역시 입력 상자의 밑과 무관하게 계산됩니다. 자릿수의 로그여서 pH와 데시벨, 리히터 규모 뒤에 이것이 있습니다. 넣은 밑이 10이면 주된 결과와 이 열이 같은 수를 인쇄하는데, 그것은 중복 계산이 아니라 요점입니다

지수 계산기가 밑과 지수로 값을 구하는 페이지라면, 이 페이지는 값과 밑으로 지수를 구하는 반대 방향입니다. 밑을 몇 번 곱해야 그 수가 되는지 알아야 할 때, 자릿수로 따지는 양을 다룰 때, 그리고 지수 방정식을 풀 때 씁니다. 밑 변환 공식이 결과 옆에 인쇄되므로, 손에 있는 두 로그로 확인하고 싶을 때도 이 페이지입니다.

1. 밑이 10일 때 1000의 로그

   1. 밑 10, 진수 1000 — 상용로그입니다
   2. 10 × 10 × 10 = 1000이므로 밑을 세 번 곱해야 합니다
   3. 로그는 3이고 반올림된 값이 아니라 정확한 값입니다
   4. 넣은 밑이 이미 10이므로 상용로그 열도 3을 인쇄합니다

   이 페이지가 가장 자주 열리는 경우이고, 로그가 버튼이 아니라 지수라는 것을 가장 깔끔하게 보여 줍니다. 같은 진수의 자연로그는 6.907755인데, 두 수는 경쟁 관계가 아닙니다. 같은 사실을 서로 다른 밑으로 센 것이고, 어느 쪽이든 새 밑의 로그로 나누면 다른 쪽이 됩니다.

2. 밑이 2일 때 1024의 로그

   1. 밑 2, 진수 1024 — 컴퓨터가 세는 밑입니다
   2. 두 배로 열 번: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024
   3. 그래서 로그는 10이고 2의 열 제곱은 정확히 1024입니다
   4. 밑 변환 공식도 같은 값을 줍니다: ln 1024 ÷ ln 2 = 6.931472 ÷ 0.693147

   밑이 2인 경우에 로그는 교실 속 대상이 아니라 셀 수 있는 대상이 됩니다. 답이 두 배로 늘리는 횟수이고, 그래서 이진 접두어부터 균형 잡힌 트리의 깊이까지 곳곳에 나타납니다. 상용로그 열이 3이 아니라 3.0103을 인쇄하는 것도 보십시오. 1024는 1000보다 조금 큰 수이고, 그 조금이 바로 소수 부분이 기록하는 것입니다.

3. 밑이 2일 때 0.5의 로그

   1. 진수가 1보다 작으므로 로그는 음수입니다
   2. 2의 −1 제곱은 1 ÷ 2 = 0.5입니다
   3. 로그는 정확히 −1입니다
   4. 이 경우에는 이름이 붙은 두 로그를 포함해 모든 열이 음수입니다

   손으로 계산할 때 가장 자주 틀리는 쪽입니다. 진수가 1보다 작으면 로그가 음수가 되고, 로그는 진수가 1인 지점에서 정확히 0을 지납니다. 어떤 밑에서든 로그가 0인 진수는 1뿐이고, 이것이 수상한 답을 가장 빨리 확인하는 방법입니다.

진수는 양의 실수여야 합니다. 0과 음수는 답하는 대신 거절합니다. 앞은 음의 무한대로 달아나고 뒤는 복소수이며, 둘 다 이 페이지가 인쇄할 수 있는 값이 아닙니다. 밑은 양수여야 하고 1이어서는 안 되는데, 그것은 정의역을 좁힌 것이 아니라 위에 적은 이유 때문입니다. 이 페이지는 소수 여섯 자리를 보고하며, 그것은 정밀도의 한계가 아니라 표시의 한계입니다. 뒤의 계산은 배정밀도로 돌아가고 밑 변환 공식도 부동소수점으로 계산되므로, 정수여야 할 로그가 아주 조금 어긋난 값으로 나올 수 있어 표시할 때 반올림합니다. 이것은 실수 도구입니다. 복소 로그와 복소 진수의 로그, 그에 따르는 분기 절단은 이 페이지 밖입니다. 그래프를 그리거나 미분·적분하지도 않으며, 참고표에는 값이 정수로 떨어지는 로그만 실립니다. 소수 로그 표는 0.301030을 0,301030으로 쓰는 언어가 여럿이라 현지화가 필요하지만, 정수는 어디서나 같게 쓰이기 때문입니다.

로그란 무엇인가요?

밑을 진수로 만들어 주는 지수입니다. 1000의 상용로그를 묻는 것은 10을 몇 제곱해야 1000이 되는지를 묻는 것이고, 답은 3입니다. 정의는 이것으로 끝입니다. 밑의 log 밑 진수 제곱은 진수입니다. 곱과 몫과 거듭제곱에 대한 나머지 성질은 모두 이 문장에서 따라 나오고, 그래서 페이지가 식 아래에 지수 형태를 함께 인쇄합니다.

밑이 1이 될 수 없는 이유는 무엇인가요?

1은 어떤 제곱을 해도 1이기 때문입니다. 밑이 1이면 1의 y 제곱은 x라는 식은 x가 1일 때만 답을 가지고, 그마저도 모든 y가 답이 되어 로그가 하나의 수로 정해지지 않습니다. 계산 쪽에서도 같은 것이 보입니다. 밑 변환 공식은 밑의 로그로 나누는데, 1의 로그는 어떤 밑에서든 0이라서 0으로 나누는 셈이 됩니다. 이 페이지는 부동소수점 나눗셈이 우연히 내놓는 값을 돌려주는 대신 밑 1을 거절합니다.

음수의 로그를 구할 수 있나요?

실수로는 구할 수 없고 이 페이지에서도 안 됩니다. 음수 진수의 로그는 복소수이고, 이 페이지는 실수 도구입니다. 0은 다른 이유로 거절합니다. 0의 로그는 정의되지 않는 것이 아니라 한없이 커지는 값이라서, 진수가 위에서 0에 가까워질수록 음의 무한대로 달아납니다. 음의 무한대는 이 페이지가 인쇄할 수 있는 수가 아닙니다. 두 거절 모두 원인이 된 진수를 이름으로 밝힙니다.

ln과 lg는 어떻게 다른가요?

이름이 붙은 두 밑에서 하는 같은 연산입니다. ln은 자연로그로 밑이 e이고 e는 약 2.718281828입니다. lg는 상용로그로 밑이 10입니다. 어느 밑을 넣든 이 페이지는 둘 다 인쇄합니다. 어느 쪽도 다른 쪽의 특수한 경우가 아니고 둘 다 이름으로 불리기 때문입니다. ln은 미적분과 연속 성장에 나타나는 로그이고, lg는 pH와 데시벨처럼 자릿수로 재는 눈금 뒤에 있는 로그입니다.

같은 수가 두 번 인쇄되는 이유는 무엇인가요?

넣은 밑이 이름이 붙은 로그 중 하나와 일치하기 때문입니다. 밑이 10이면 주된 결과와 상용로그 열이 같은 수를 담고, 밑이 e면 주된 결과와 자연로그 열이 그렇습니다. 그것은 중복 계산이 아니라 확인입니다. 자신이 입력한 밑이 마음에 두었던 로그의 밑이라는 것을 그것으로 볼 수 있습니다. 다른 밑을 넣으면 세 수가 모두 달라집니다.

로그를 손으로 검산하려면 어떻게 하나요?

밑을 답만큼 거듭제곱해서 진수가 돌아오는지 보면 됩니다. 1024의 밑 2 로그는 10이고 2의 열 제곱은 1024이므로 맞습니다. 답이 소수일 때도 검산은 성립하지만 암산으로 하기는 어려운데, 식 칸의 밑 변환 공식이 값을 하는 자리가 바로 그곳입니다. 이미 가지고 있는 두 로그를 나누는 편이 지수를 찾아 헤매는 것보다 쉽습니다.

• Logarithm — 정의와 이 페이지가 계산에 쓰는 밑 변환 공식, 그리고 밑과 진수의 정의역 제한 — Wolfram MathWorld (United States)
• Natural Logarithm — 밑이 e인 로그, 그리고 그것을 미적분의 로그로 만드는 급수와 도함수 — Wolfram MathWorld (United States)
• Common Logarithm — 밑이 10인 로그, 그리고 표와 자릿수의 로그로서의 역사 — Wolfram MathWorld (United States)