역로그 계산기

x = b^y (b = 밑, y = 로그, x = 진수)

y

출발점이 되는 지수인 로그입니다. -1000에서 1000 사이의 값을 받고, 음수가 특별한 경우는 아닙니다. 밑이 10일 때 지수 -2는 0.01을 주는데, 이는 1보다 작은 답이고 음의 로그가 뜻하는 바가 정확히 그것입니다. 소수 지수도 받으며, 그때는 대개 무리수 진수가 나옵니다.

b

거듭제곱의 대상이 되는 밑입니다. 양수여야 하고 1이어서는 안 됩니다. 밑 1은 로그 페이지에서보다 이쪽에서 더 나쁘게 실패합니다. 거꾸로 계산하면 1의 어떤 거듭제곱도 조용히 1을 돌려주므로, 이 방어가 없는 계산기는 어떤 로그를 넣어도 진수 1을 인쇄하게 됩니다. 1보다 작은 밑은 받으며, 증가가 아니라 감소를 나타냅니다.

b^y

이 페이지가 하는 연산 그 자체인 거듭제곱입니다. 페이지가 하는 일은 거듭제곱 하나에, 그 결과를 정말 인쇄할 수 있는 수인지 판단하는 두 개의 넘침 검사를 더한 것뿐입니다. 밑을 지수만큼 올리는 일은 밑을 거듭제곱수직선 위로 옮기는 일과 같고, 그래서 지수가 조금만 달라져도 답이 크게 달라집니다.

x

처음 로그를 취했던 수인 진수이고, 이 페이지의 유일한 출력입니다. 양수 밑의 거듭제곱은 항상 양수이므로 진수도 언제나 양수입니다. 그래서 로그 페이지와 달리 여기에는 거부할 0이나 음수 경우가 없습니다. 로그가 정확히 0이면 진수는 모든 밑에서 1입니다.

1. 밑이 10일 때 3의 역로그

   1. 밑을 로그만큼 거듭제곱하기: 10의 3제곱
   2. 10 × 10 × 10 = 1,000
   3. 진수는 정확히 1,000
   4. 로그 페이지와 맞춰 보기: 밑이 10일 때 1000의 로그는 3

   두 페이지가 한 쌍이라는 것이 여기서 가장 잘 보입니다. 로그 계산기는 1,000을 받아 3을 돌려주고, 이 페이지는 3을 받아 1,000을 돌려줍니다. 어느 쪽 답도 근사가 아니고, 검산은 어느 방향으로든 거듭제곱 한 번입니다. 문제가 두 수 중 어느 쪽을 주더라도 나머지 한쪽에 도달할 수 있습니다.

2. 음의 로그의 역로그

   1. 음의 지수는 같은 크기 양의 거듭제곱의 역수를 뜻함
   2. 10의 2제곱은 100이므로 10의 −2제곱은 1 ÷ 100
   3. 진수는 0.01
   4. 진수가 1보다 작다는 것은 로그가 음수였다는 뜻

   역로그가 요구받는 일의 절반이고, 손으로 계산할 때 가장 자주 틀리는 절반입니다. 음의 로그는 언제나 0과 1 사이의 진수를 주며, 0도 음수도 되지 않습니다. 양수 밑의 거듭제곱은 어느 쪽에도 닿지 않기 때문입니다. 진수가 정확히 1인 자리가 경계이고, 그것이 로그 0에 대응합니다.

3. 소수 로그의 역로그

   1. 지수 쪼개기: 10의 2.5제곱은 10의 제곱 곱하기 10의 제곱근
   2. 10의 제곱은 100이고 10의 제곱근은 약 3.162278
   3. 100 × 3.162278 = 316.227766
   4. 정확한 값은 무리수라서 소수 여섯 자리로 반올림

   로그표와 로그를 갈라 놓는 경우입니다. 2.5가 정수가 아니므로 역로그도 정수가 되지 않습니다. 정확히 쓰면 100√10인 무리수이고, 소수 자리를 아무리 늘려도 끝나지 않습니다. 화면에 보이는 여섯 자리는 표시의 한계이지 값 자체가 아닙니다.

밑은 양수여야 하고 1이어서는 안 됩니다. 위에서 말한 이유 그대로입니다. 이 방향으로 계산하면 밑 1이 어떤 입력에도 조용히 1을 돌려주고, 그것이 이 페이지가 가장 피해야 하는 실패입니다. 로그는 ±1000으로 제한됩니다. 그 범위를 벗어나면 진수가 배정밀도 산술로 표현할 수 있는 크기(약 1e308)를 넘어서므로, 이 페이지는 Infinity를 인쇄하는 대신 거부합니다. 같은 한계의 반대쪽 끝이 더 중요합니다. 밑 1e-15에 지수 100을 올리면 부동소수점에서 0으로 내려앉는데, 0은 지극히 평범한 답처럼 보이지만 어떤 로그도 진수로 0을 갖지 않습니다. 그 언더플로도 거부합니다. 결과는 표시할 때 소수 여섯 자리로 반올림됩니다. 1보다 작은 밑은 받으며 진수도 1보다 작게 나오는데, 그것은 오류가 아니라 감소하는 경우입니다. 음수 밑은 아예 거부합니다. 음수 밑의 정수 거듭제곱은 실수이지만 음수 밑의 소수 거듭제곱은 실수가 아니고, 이 페이지는 소수 지수를 받으므로 둘 다 받지 않습니다.

역로그란 무엇인가요?

로그를 취했던 원래의 수입니다. 밑이 10일 때 1,000의 로그는 3이므로, 밑이 10일 때 3의 역로그는 1,000입니다. 식으로 쓰면 밑 b에서 y의 역로그는 b의 y제곱입니다. 이름은 인쇄된 표에서 왔는데, 독자가 한 방향으로는 로그를 찾고 다른 방향으로는 역로그를 찾던 시절의 말입니다.

역로그와 로그의 역함수는 같은 말인가요?

같습니다. 로그의 역함수라는 쪽이 더 설명적인 이름입니다. 두 연산이 서로를 되돌리므로, 로그를 취한 뒤 역함수를 적용하면 처음 수로 돌아옵니다. 실제로 밑이 10인 로그의 역함수는 10의 x제곱으로 쓰고, 자연로그의 역함수는 e의 x제곱으로 씁니다. 이 페이지는 그 두 가지뿐 아니라 어떤 밑에 대해서도 역함수를 계산합니다.

로그가 음수이면 어떻게 되나요?

진수가 0과 1 사이로 나옵니다. 음의 지수는 같은 크기 양의 거듭제곱의 역수를 뜻하므로, 밑이 10일 때 -2의 역로그는 1 ÷ 100인 0.01입니다. 따로 처리해야 할 예외가 아니라 지수가 원래 하는 평범한 동작이고, 역로그가 작은 답을 내놓는 유일한 길입니다.

밑이 1이면 왜 안 되나요?

1의 어떤 거듭제곱도 1이라서 특정한 진수에 대해 방정식을 풀 수 없기 때문입니다. 이 방향에서는 실패가 더 나쁩니다. 1의 y제곱을 계산하는 일은 오류를 내지 않고 조용히 1을 돌려주므로, 어떤 로그를 넣어도 진수 1이 인쇄됩니다. 그 방어는 바로 그것을 막기 위해 있습니다.

아주 작은 밑은 왜 거부되나요?

산술이 언더플로하기 때문입니다. 밑 1e-15의 100제곱은 배정밀도 산술이 담을 수 있는 가장 작은 양수보다도 훨씬 작아서 계산 결과가 0이 되고, 0은 지극히 그럴듯한 답처럼 보이지만 어떤 로그도 진수로 0을 갖지 않습니다. 이 페이지는 평범해 보이는 틀린 수를 인쇄하는 대신 입력을 거부합니다.

진수가 음수일 수 있나요?

절대 그럴 수 없습니다. 양수 밑의 거듭제곱은 양수이므로 어떤 로그의 진수도 양수이고, 그 역로그도 양수여야 합니다. 이 페이지는 출력을 검사하는 대신 구조로 그것을 보장합니다. 그것을 깨뜨릴 입력, 곧 양수가 아닌 밑과 밑 1은 거듭제곱이 일어나기 전에 거부됩니다.

• Antilogarithm — 로그의 역연산, 역로그를 인쇄된 표에서 찾아보던 시절의 이름 — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — 이 페이지가 수행하는 단 한 단계의 연산, 음수 지수와 소수 지수의 동작 포함 — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Function — 로그와 역로그 한 쌍이 속하는 일반적인 개념, 그리고 두 방향이 모두 한 단계인 이유 — Wolfram MathWorld (United States)