n제곱근 계산기

ⁿ√x ⁿ√(mⁿ · r) = m · ⁿ√r ⁿ√x = x^(1/n)

x

근호 안의 수이며, 근을 취하는 대상입니다. 여기서는 정수이고, 지수가 홀수일 때는 음수여도 됩니다. 정수로 제한하는 것은 계산이 아니라 정확한 값 때문입니다. 2.5의 제곱근은 지극히 평범한 수이지만 그 정확한 값은 근호가 분수 안에 들어간 꼴이라, 이 칸이 인쇄하는 답과 모양이 다릅니다

n

근호 지수이며 2에서 12까지입니다. 지수가 1이면 항등식이고, 어떤 수의 첫 번째 근은 그 수 자신입니다. 지수가 0이면 정의되지 않으므로 둘 다 답하지 않고 거절합니다. 위 끝이 12인 것은 실용적인 이유입니다. 정확한 값은 근호 안의 수를 나누는 가장 큰 n제곱을 찾아서 만드는데, 그런 수는 빠르게 드물어져서 12를 넘으면 그 칸이 거대한 수 옆의 빈 근호만 담게 됩니다

ⁿ√x

소수로 적은 근이며 주된 읽기이고, 정확하지 않을 때는 소수 여섯 자리로 인쇄됩니다. 계산에 쓰는 값이 이쪽이고, 정보를 잃는 것도 이쪽입니다. 8.485281은 그것이 √72에서 왔는지 √71.9999에서 왔는지 말해 주지 않고, 옆의 정확한 값이 그것을 말해 줍니다

m · ⁿ√r

정확한 값입니다. 근호 안의 수를 나누는 가장 큰 n제곱을 근호 밖으로 꺼내어 더 작은 근호 앞의 계수로 적습니다. √72에서는 6√2가 되는데, 72가 36 × 2이고 36이 완전제곱이기 때문입니다. 근호 안의 수 자체가 완전한 거듭제곱이면 남는 것이 없어 근호가 통째로 사라지고 답이 정수로 적히는데, 그것이 나누어떨어졌다는 것을 페이지가 알리는 방식입니다

x^(1/n)

같은 근을 거듭제곱으로 적은 꼴이며, 실제 계산이 이렇게 이루어집니다. 두 표기는 같은 연산이고, 그 사실을 알아 둘 만합니다. 지수 1/n이 분수 지수가 낯선 무엇이 아니라 근인 이유입니다. 지수 계산기가 이 꼴을 그대로 받으므로, 근호 안의 수가 정수가 아니거나 지수가 정수가 아닐 때 쓰는 페이지가 그쪽입니다

√

지수를 적지 않은 근호 기호는 언제나 제곱근을 뜻하며, 그래서 이 페이지는 지수 2에 그냥 √를, 지수 3에 ∛를 인쇄합니다. 12를 넘으면 표기가 쓸 수 있는 단일 문자를 다 써 버려서 더 높은 지수는 기호 앞에 숫자를 적습니다. 그리고 페이지는 계수와 지수 4 이상 사이에 곱셈 기호를 넣습니다. 2 × 4√2처럼 적는데, 24√2라고 적으면 스물네 곱하기 루트 2로 읽히기 때문입니다

근을 값으로 구하는 것이 아니라 간단히 해야 할 때 씁니다. 그것이 소수만 내놓는 계산기와 이 페이지를 갈라놓는 지점입니다. √72를 6√2로 정리하기, 어떤 수가 완전제곱인지 확인하기, 답을 정확한 값으로 요구하는 문제 풀이입니다. 근에 대해 흔히 나오는 두 질문에 답하는 페이지이기도 합니다. 음수의 세제곱근은 얼마인지(홀수 지수에서는 실수입니다), 그리고 어떤 수의 네제곱근은 얼마인지입니다. 지수가 정수가 아닐 때는 지수 계산기로 가십시오. 분수 지수는 같은 연산을 거듭제곱으로 적은 것이고 그 페이지가 그것을 그대로 받습니다. 근호가 공식 안에 들어 있을 때는 근의 공식 계산기로 가십시오. 판별식도 제곱근이고 그 페이지는 값뿐 아니라 부호까지 읽습니다. 두 지수 중 하나만 필요할 때는 제곱근 계산기나 세제곱근 계산기로 가십시오. 각각 그 경우에만 해당하는 내용을 따로 싣고 있습니다.

1. 16의 제곱근

   1. 지수 2, 근호 안의 수 16 — 제곱근입니다
   2. 16은 4 × 4이므로 완전제곱이고 전부 밖으로 나옵니다
   3. 근은 4이고, 반올림한 값이 아니라 정확한 값입니다
   4. 정확한 값은 근호가 전혀 남지 않은 정수 4 그 자체입니다

   이 페이지가 가장 자주 열리는 경우이고, 정확한 값 칸이 성공을 어떻게 알리는지 보여 줍니다. 근호도 소수도 없이 정수 하나입니다. 16이 완전제곱인지만 알고 싶었던 사람은 첫째 열을 읽지 않고도 둘째 열에서 답을 얻습니다.

2. 72의 제곱근

   1. 72는 완전제곱이 아니므로 근이 무리수입니다
   2. 72를 나누는 가장 큰 완전제곱은 36입니다. 72 = 36 × 2이기 때문입니다
   3. 36을 근호 밖으로 꺼내면 밖에 6이 남습니다: √72 = 6√2
   4. 소수 값은 여섯 자리로 8.485281이고, 6√2가 정확한 값입니다

   이 페이지 전체를 정당화하는 예입니다. 8.485281은 근삿값이고, 패널은 그 옆에 정확한 값을 인쇄해서 그 사실을 말합니다. 소수만 보여 주는 다른 페이지는 72의 제곱근이 아닌 수를 독자에게 남긴 셈입니다. 근호 안에 남은 2도 상황을 가장 빠르게 읽는 방법입니다. 아직 뭔가 들어 있으니 나누어떨어지지 않은 것입니다.

3. 54의 세제곱근

   1. 지수 3, 근호 안의 수 54 — 세제곱근입니다
   2. 54는 완전세제곱이 아니지만 27이 나눕니다: 54 = 27 × 2
   3. 27을 꺼내면 근호 밖에 3이 남습니다: ∛54 = 3∛2
   4. 소수 값은 3.779763입니다

   같은 간단화를 다른 지수로 한 경우이고, 이 페이지가 두 개가 아니라 하나의 도구라는 것을 보여 줍니다. 손으로 해야 하는 단계는 54 아래의 가장 큰 완전세제곱을 찾는 일이고(8이 아니라 27), 이 페이지의 참고표가 바로 그 조회를 빠르게 해 주는 목록입니다. 3의 세제곱이 27이고 4의 세제곱이 64인데 64는 너무 큽니다.

4. 32의 네제곱근

   1. 32는 16 × 2이고 16은 네제곱입니다. 16 = 2⁴이기 때문입니다
   2. 16을 근호 밖으로 꺼내면 밖에 2가 남습니다: ⁴√32 = 2 × ⁴√2
   3. 곱셈 기호를 적는 것은 지수 4에는 단일 문자 근호 기호가 없기 때문입니다
   4. 소수 값은 2.378414입니다

   표기가 조심해야 하는 자리입니다. 이것을 24√2로 적으면 대부분의 사람이 스물네 곱하기 루트 2로 읽습니다. 그래서 페이지는 지수가 4 이상일 때마다 곱셈 기호를 넣습니다. 계수와 지수가 둘 다 숫자라서 둘을 갈라 놓을 것이 필요합니다. √와 ∛에는 이 문제가 없어서 기호가 지수 4부터만 나타납니다.

5. −54의 세제곱근

   1. 근호 안의 수가 음수이고 지수가 홀수이므로 근은 실수입니다
   2. 크기는 앞과 똑같이 간단해집니다: ∛54 = 3∛2
   3. 부호는 밖으로 나오고, 정확한 값은 그것을 맨 앞에 인쇄합니다: −3∛2
   4. 소수 값은 −3.779763입니다

   음수인 경우이고, 정확한 값에만 있는 규칙이 적용되는 자리입니다. 빼기 부호는 근호 안이 아니라 식 전체의 맨 앞에 옵니다. 지수 계산기가 사람들을 이리로 보내는 입구이기도 합니다. 그 페이지는 음수 밑과 분수 지수를 함께 받으면 거절하는데, 뒤의 계산이 로그를 거치기 때문입니다. 같은 질문을 근을 취해서 다루는 페이지가 이쪽입니다.

근호 안의 수는 정수여야 합니다. 2.5의 제곱근은 실수이고 이 페이지는 그것을 받지 않습니다. 그 근의 정확한 값은 근호가 분수 위에 얹힌 꼴이고, 정확한 값 칸에는 그런 모양을 놓을 자리가 없으며, 소수만 인쇄하면 정확한 답을 몰래 버렸다는 사실이 가려지기 때문입니다. 분수나 소수가 근호 안에 들어가는 경우는 지수 계산기에서 분수 지수로 넣으십시오. 음수인 근호 안의 수는 홀수 지수에서만 받습니다. −8의 세제곱근은 −2이지만 −4의 제곱근은 실수가 아니고, 이 페이지는 복소수를 인쇄하는 대신 거절합니다. 근호 지수는 2에서 12 사이의 정수입니다. 지수 1은 항등식이고 지수 0은 정의되지 않으므로 둘 다 받지 않으며, 정수가 아닌 지수는 분수 지수로 지수 계산기에 가야 합니다. 나누어떨어지지 않는 근은 소수 여섯 자리로 인쇄되고, 이것은 정밀도의 한계가 아니라 표시의 한계입니다. 뒤의 계산은 배정도 정밀도로 돌아갑니다. 정확한 값은 완전거듭제곱을 꺼내는 데까지 간단히 한 것이고, 그것이 간단화된 근호의 표준형이며, 여기서 분모를 유리화하는 일은 하지 않습니다. 분수 아래에 근이 앉아 있는 것은 사용자 몫입니다. 근호 안의 수는 십억으로 제한되고, 그 한계는 수학이 아니라 비용에 관한 것입니다. 간단화가 시험 나눗셈으로 이루어져서, 더 큰 수는 답이 틀려지는 것이 아니라 입력할 때마다 느려집니다.

정확한 값과 소수는 무엇이 다른가요?

소수는 반올림한 값이고 정확한 값은 값 자체입니다. 72의 제곱근은 정확히 6√2이고, 8.485281은 그것을 소수 여섯 자리로 적은 것이라서 8.485281을 제곱하면 72가 아니라 71.99999…가 나옵니다. 페이지가 둘 다 인쇄하는 것은 어느 하나만으로는 오해를 부르기 때문입니다. 계산에 쓰는 것은 소수이고, 답이 나누어떨어졌는지 알려 주는 것은 정확한 값입니다.

제곱근은 어떻게 간단히 하나요?

그 수를 나누는 가장 큰 완전제곱을 찾아 그 근을 앞으로 꺼내고 나머지를 안에 남깁니다. 72에서는 72 = 36 × 2이므로 36이고, 그래서 √72 = 6√2입니다. 완전제곱이 하나도 나누지 않으면(2, 3, 5, 7처럼 소인수가 겹치지 않는 수가 그렇습니다) 근호를 더 간단히 할 수 없고 정확한 값이 그냥 √2입니다.

음수의 제곱근을 구할 수 있나요?

이 페이지에서는 안 되고, 실수로는 어디서도 안 됩니다. −4의 제곱근은 복소수 2i이고, 이 페이지는 실수 도구입니다. 홀수 지수는 다릅니다. −8의 세제곱근은 −2이고 지극히 평범한 실수입니다. 음수를 세 번 곱하면 음수가 되기 때문입니다. 그래서 페이지는 −8을 지수 3으로 받고 −4를 지수 2로 거절합니다.

근호 안의 수에 소수를 넣을 수 없는 이유는 무엇인가요?

정확한 값을 놓을 자리가 없기 때문입니다. 2.5의 제곱근은 √10 ÷ 2이고, 분자에 근호가 들어간 분수입니다. 이 페이지의 정확한 값 칸은 근호 앞에 계수를 인쇄하는 자리이지 분수를 놓는 자리가 아닙니다. 소수만 인쇄하고 정확한 답을 조용히 버리는 대신, 페이지는 근호 안의 수를 정수로 제한하고 그렇게 말합니다. 소수가 근호 안에 들어가는 경우는 지수 계산기에서 분수 지수로 넣을 수 있습니다.

근호 기호에 붙은 지수는 무슨 뜻인가요?

그 근을 몇 번 곱해야 근호 안의 수가 되는지를 나타냅니다. 지수 3은 세제곱근이라는 뜻이라서 ∛8은 2입니다. 2 × 2 × 2 = 8이기 때문입니다. 지수를 적지 않으면 2라는 뜻이고, 그래서 이 페이지는 제곱근에 그냥 √를, 세제곱근에 ∛를 인쇄합니다. 지수 1이면 수가 그대로 나오고 지수 0은 뜻이 없으므로 페이지는 2에서 시작합니다.

세제곱근은 3분의 1 제곱과 같은 것인가요?

같고, 이 페이지가 계산하는 방식이 그렇습니다. x의 n제곱근은 x의 1/n 제곱이므로 54의 세제곱근은 54의 0.3333… 제곱이고 3.779763입니다. 두 표기는 하나의 연산을 적은 것입니다. 갈라지는 곳은 음수 밑입니다. 지수 꼴은 로그를 거치므로 −54를 거절하지만, 홀수 차수 근을 취하는 것은 간단합니다. 지수 계산기가 그런 경우를 이리로 보내는 이유입니다.

• nth Root — n제곱근의 정의이며, 음수의 짝수 차수 근은 실수 값이 없고 홀수 차수 근은 있다는 규칙 — Wolfram MathWorld (United States)
• Square Root — 지수 2인 경우이며, 이 페이지의 참고표가 확장하는 완전제곱 목록과 근호의 간단화 — Wolfram MathWorld (United States)
• Cube Root — 지수 3인 경우이며, 음수에 실수 세제곱근은 있어도 실수 제곱근은 없는 이유 — Wolfram MathWorld (United States)