제곱근 계산기
계산 결과
제곱근
- 정확한 값
- 6√2
제곱근 계산기는 두 가지를 한꺼번에 돌려줍니다. 소수 값 하나와, 근호를 남긴 채로 가장 간단하게 적은 정확한 값 하나입니다. 근호 안의 수를 넣으면 페이지가 그 안에 숨어 있는 가장 큰 완전제곱을 찾아 근호 앞으로 꺼내므로, 72의 제곱근은 반올림한 소수가 아니라 6√2로 돌아옵니다. 소수도 받는다는 점이 일반 근 계산기와 갈라지는 자리입니다. 근호 안의 수가 1.5이면 그것을 먼저 분수로 되돌린 뒤 √6 ÷ 2로 간단히 합니다. 세 페이지의 분담은 이렇습니다. 제곱근 하나를 소수까지 다루는 것은 이 페이지, 근호 지수를 바꾸거나 음수의 홀수 차수 근을 구하는 것은 n제곱근 페이지, 제곱근들의 합을 합치는 것은 근호 페이지입니다. 근호 안의 수가 음수이면 이 페이지는 거절합니다. 지수가 언제나 2라서 음수를 받아 줄 홀수 차수 쪽이 없기 때문입니다.
제곱근과 그 간단한 꼴
| 근호 안의 수 | 정확한 값 |
|---|---|
| 2 | √2 |
| 3 | √3 |
| 5 | √5 |
| 8 | 2√2 |
| 12 | 2√3 |
| 16 | 4 |
| 18 | 3√2 |
| 25 | 5 |
| 27 | 3√3 |
| 50 | 5√2 |
| 72 | 6√2 |
| 144 | 12 |
| 200 | 10√2 |
여기서 두 줄(16과 144)은 완전제곱이고, 그 정확한 값은 근호 기호가 전혀 없는 정수입니다. 근호를 남기는 줄들(8이 2√2, 72가 6√2, 200이 10√2) 옆에 놓으면 이 페이지가 중심에 두고 있는 경계선이 보입니다. 근호는 그 아래에 제곱 인수를 갖지 않는 것이 남아 있을 때만 살아남습니다. 이 표의 근호 안의 수는 전부 정수입니다. 소수인 근호 안의 수의 표는 현지화가 필요합니다. 1,5로 적는 언어가 여럿이고 1.5로 적는 언어도 있는 반면, 정수는 어디서나 똑같이 적기 때문입니다. 반대로 정확한 값 열은 단어가 없는 표기법이라 사이트가 서비스하는 모든 언어에서 같은 문자열입니다.
공식
√x = √(m² · r) = m · √r √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d
- x
- 근호 안의 수이며, 근호 기호 아래에 있는 수입니다. 음수일 수 없습니다. 음수인 근호 안의 수에는 실수인 제곱근이 없고, 어떤 실수를 제곱해도 음수가 나오지 않기 때문입니다. 페이지는 그것을 거절하고 대신 일반 근 계산기의 홀수 차수 근을 가리킵니다. 0은 괜찮습니다. 0의 제곱근은 0입니다
- m²
- 근호 안의 수를 나누는 가장 큰 완전제곱입니다. 4, 9, 16, 25, 36 같은 것들입니다. 그것을 찾는 일이 간단화의 전부이고, 페이지는 위에서 아래로 찾으므로 처음 찾은 인수가 가장 큰 인수입니다. 72에서는 그 인수가 36이고, 근호 아래에 2를 남깁니다
- m
- 그 완전제곱의 제곱근이며, 근호 기호 앞으로 나옵니다. 72의 경우 6입니다. 계수가 정수이면 그대로 적히므로 정확한 값이 6√2로 읽힙니다. 계수가 1이면 적지 않고 생략합니다. 1√2는 이 수를 적는 방식이 아니기 때문입니다
- r
- 모든 제곱 인수를 꺼낸 뒤 근호 아래에 남는 것입니다. 제곱 인수를 갖지 않는다는 뜻이고, 바로 그것이 이 꼴을 최종으로 만듭니다. 남는 것이 없으면, 곧 근호 안의 수가 처음부터 완전제곱이었으면 근호 기호가 통째로 사라지고 정확한 값이 그냥 수가 됩니다. 144의 제곱근이 그렇습니다
- √x
- 소수 값이며 여섯 자리로 보고됩니다. 정확한 값을 평가한 것과 같은 수이고(6√2는 8.485281입니다), 그 자리에 대신이 아니라 나란히 인쇄됩니다. 둘이 서로 다른 질문에 답하기 때문입니다. 소수는 재는 데 쓰는 값이고, 정확한 값은 증명하는 데 쓰는 값입니다
계산 예시
72의 제곱근을 간단히 하기
- 72를 나누는 가장 큰 완전제곱을 찾습니다
- 36이 나눕니다: 72 ÷ 36 = 2이므로 72 = 36 × 2입니다
- 36의 제곱근은 6이고 앞으로 나옵니다: √72 = 6√2
- 정확한 값을 평가하면 8.485281입니다
두 열짜리 배치를 둘 만하게 만드는 경우입니다. 소수로는 √72가 8.485281이고 더 할 말이 없습니다. 정확한 값으로는 6√2이고, 그것을 제곱하면 정확히 72로 돌아온다는 것이 한눈에 보입니다. 검산은 한 줄입니다. 6√2의 제곱은 36 × 2, 곧 72입니다.
소수 한 자리인 근호 안의 수
- 소수인 근호 안의 수를 먼저 분수로 되돌립니다: 1.5 = 3/2
- √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d로 근을 분자와 분모로 나눕니다
- 그러면 √(3 × 2) ÷ 2 = √6 ÷ 2가 됩니다
- 소수 값은 1.224745입니다
정확한 값이 빗금이 아니라 나눗셈 기호를 쓰는 것은 의도한 것입니다. √6/2라고 적으면 그 줄이 두 가지로 읽힙니다. 6의 제곱근을 2로 나눈 것으로도, 6/2의 제곱근으로도 읽히는데 뒤엣것은 √3입니다. 페이지는 √6 ÷ 2를 인쇄해서 읽는 방법을 하나로 만듭니다. 일반 근 계산기가 일부러 받지 않는 경우이기도 합니다. 그 페이지는 근호 안의 수가 정수여야 합니다.
소수인데 완전제곱으로 밝혀지는 경우
- 2.25를 분수로 적으면 9/4입니다
- 두 부분이 모두 완전제곱입니다: √9 = 3이고 √4 = 2입니다
- 근호 아래에 남는 것이 없으므로 정확한 값이 분수 3/2입니다
- 소수로는 1.5입니다
근호가 비면 정확한 값이 더 이상 근호가 아니라 그냥 분수가 되고, 그것이 근호 안의 수가 완전제곱이었다는 신호입니다. 이후의 계산에서는 1.5보다 3/2를 쓰는 편이 낫습니다. 3을 곱하고 2로 나누는 쪽은 모든 것을 정확하게 유지하지만 소수는 그러지 못합니다.
한계
근호 안의 수는 음수일 수 없습니다. 음수의 제곱근은 실수가 아니고, 실수를 제곱해서 그것이 나오는 경우도 없습니다. 0은 받고 0을 내놓습니다. 근호 안의 수는 소수 두 자리로 제한되고, 세 번째 자리는 반올림하지 않고 거절합니다. 간단화가 소수를 분수로 바꾼 뒤 시험 나눗셈을 하는 방식이라 소수 자리가 하나 늘 때마다 일이 열 배가 되므로, 페이지는 조용히 조금 다른 수의 간단화된 꼴을 인쇄하는 대신 한계를 밝힙니다. 정확한 값은 수가 아니라 표기법입니다. 근호 기호와 나눗셈 기호에는 단어가 없으므로 어느 언어에서나 같게 적습니다. 반대로 소수는 여섯 자리로 반올림되고, 이것은 정밀도의 한계가 아니라 표시의 한계입니다. 이 페이지의 근호 지수는 2로 고정되어 있어서 제곱근만 간단히 합니다. 세제곱근과 네제곱근, 그리고 음수의 홀수 차수 근을 포함한 다른 모든 지수는 이 페이지가 연결하는 일반 근 계산기의 몫입니다.
자주 묻는 질문
- 제곱근을 간단히 한다는 것은 실제로 무엇을 하나요?
- 가장 큰 완전제곱을 근호 기호 아래에서 밖으로 옮깁니다. 72의 제곱근은 6√2와 같은 수이고, 근사하거나 반올림한 것이 하나도 없습니다. 다만 6√2가 더 깔끔하게 적은 방식이고, 이후 계산에서 정확함을 유지하는 꼴입니다. 간단화는 값을 바꾸지 않고 적는 방식을 바꿀 뿐입니다.
- 제곱근이 완전히 간단해졌는지는 어떻게 아나요?
- 근호 아래에 완전제곱이 나눌 수 있는 것이 남아 있지 않을 때입니다. 6√2의 2는 제곱 인수를 갖지 않습니다. 4도 9도 그리고 더 큰 어떤 제곱도 나누지 않으므로 그 꼴이 최종입니다. 페이지가 언제 멈추는지도 같은 방식으로 정합니다. 가장 큰 제곱 인수를 위에서 아래로 찾아 처음 찾은 것에서 멈춥니다.
- 정확한 값을 왜 나눗셈 기호로 적나요?
- 빗금이 두 가지로 읽히기 때문입니다. √6/2는 6의 제곱근을 2로 나눈 것으로도, 6/2의 제곱근으로도 읽히는데 그 둘은 다른 수이고 뒤엣것은 √3입니다. √6 ÷ 2를 인쇄하면 읽는 방법이 하나로 남습니다. 계수가 1일 때 그것을 생략하는 것도 같은 이유입니다. 표기는 짧으라고 고른 것이 아니라 잘못 읽힐 수 없으라고 고른 것입니다.
- 소수를 근호 안의 수로 넣을 수 있나요?
- 넣을 수 있고, 소수 두 자리까지 됩니다. 페이지는 소수를 분수로 되돌린 뒤 √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d로 분자와 분모의 근을 따로 취합니다. 1.5의 제곱근은 √6 ÷ 2이고, 2.25의 제곱근은 정확히 3/2입니다. 세 번째 소수 자리는 거절합니다. 자리가 하나 늘 때마다 시험 나눗셈이 열 배가 되기 때문입니다.
- 소수의 제곱근이 어떤 때는 분수로 나오는 이유는 무엇인가요?
- 근호 안의 수 자체가 어떤 분수의 완전제곱일 때, 근호 아래에 남는 것이 없어 정확한 값이 그냥 분수로 접힙니다. 2.25의 제곱근이 3/2입니다. 근호 안의 수가 정수이면서 완전제곱일 때 정확한 값이 그냥 정수로 접히는 것과 같은 규칙입니다. 근호가 비면 그것을 둘러쓸 것이 남지 않습니다.
- 음수인 근호 안의 수를 여기서 거절하는 이유는 무엇인가요?
- 제곱해서 음수가 되는 실수가 없으므로 음수인 근호 안의 수의 제곱근은 실수가 아닙니다. 이 페이지의 제곱근은 지수가 2로 고정되어 있어서 음수를 허용할 홀수 차수 쪽이 없습니다. 일반 근 계산기는 음수의 세제곱근을 받습니다. 음수를 세 번 곱하면 여전히 음수이기 때문이고, 이 페이지는 그쪽을 가리킵니다.
참고 문헌
- Square Root — 정의와 주된 근, 그리고 근호 안의 수에서 제곱 인수를 꺼내는 규칙 — Wolfram MathWorld (United States)
- Radical — 근호 기호와 근호 안의 수, 그리고 주된 제곱근은 음이 아닌 쪽이라는 관례 — Wolfram MathWorld (United States)
- Square Number — 간단화가 찾는 완전제곱들이며, 4부터 근호 안의 수가 허락하는 데까지 — Wolfram MathWorld (United States)