근의 공식 계산기

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a Δ = b² − 4ac x₁ + x₂ = −b ÷ a x₁ · x₂ = c ÷ a

a

이차항의 계수입니다. 0이 될 수 없습니다. 0이면 그 식은 일차방정식이고 근이 둘이 아니라 하나이며, 근의 합과 곱을 구하는 식이 둘 다 a로 나누기 때문입니다. 이 페이지는 그 입력을 거절하고 어느 계수가 빠졌는지 말한 뒤 다른 질문에 답하는 대신 어디로 가야 하는지를 알려 줍니다

b

일차항의 계수입니다. 그 부호를 공식의 플러스마이너스가 읽고, 동시에 상쇄가 일어나는 자리이기도 합니다. b가 크고 두 근이 멀리 떨어져 있으면 제곱근 하나에서 다른 하나를 빼면서 유효 숫자가 사라집니다. 이 페이지는 그 뺄셈이 문제가 되지 않기를 바라는 대신 피해 갑니다

c

상수항입니다. 두 근의 곱에 a를 곱한 값이라서, 계산기 없이 할 수 있는 가장 빠른 검산이 여기 있습니다. 기대한 두 근을 곱했을 때 c ÷ a가 되지 않으면 앞 어딘가에서 틀린 것입니다. c가 0이면 한 근이 0이고 다른 근이 −b ÷ a인데, 그것은 특별한 경우를 만들지 않고 공식에서 그냥 떨어집니다

Δ = b² − 4ac

판별식이며, 답의 모양을 정하는 단 하나의 수입니다. 양수면 서로 다른 두 실근, 0이면 겹치는 한 실근, 음수면 켤레복소수인 두 허근입니다. 이 페이지는 이 값을 두 번 씁니다. 한 번은 어느 근을 계산할지 정할 때, 한 번은 결과 위의 배지를 고를 때이고, 두 판단이 같은 값에서 나오므로 서로 어긋날 수 없습니다

x = (−b ± √Δ) ÷ 2a

근의 공식 자체입니다. 플러스마이너스가 한 식에서 두 근을 만들어 내고, 제곱근은 실수 안에서 유일하게 실패할 수 있는 단계입니다. Δ가 음수면 실수인 제곱근이 없는데, 바로 그 경우를 이 페이지는 복소수로 답합니다. 2a로 나누는 것이 a가 0일 수 없는 이유입니다

x₁ + x₂ = −b ÷ a

근의 합이며, 비에타의 공식 가운데 하나입니다. 이것을 인쇄하는 까닭은 복소수에서도 그대로 살아남기 때문입니다. x² − 2x + 5 = 0의 두 근은 1 + 2i와 1 - 2i인데 더하면 여전히 2입니다. 판별식이 음수일 때 이 페이지가 답을 지어내고 있다고 의심하는 사람은 이 열을 확인해서 자기가 넣은 식과 맞는지 볼 수 있습니다

x₁ · x₂ = c ÷ a

근의 곱이며 비에타의 두 번째 공식이고, 상수항의 부호 실수를 잡아내는 검산입니다. 최고차항의 계수가 1인 식에서는 그냥 c입니다. x² − 3x + 2는 (x − 1)(x − 2)로 인수분해되므로 두 근의 곱이 2이고 합이 3입니다. 합과 마찬가지로 두 근이 복소수여도 값이 달라지지 않습니다

b² − 4ac = 0

두 근이 하나로 접히는 경계이고, 이때 페이지는 두 줄에 같은 값을 인쇄합니다. 드문 예외가 아닙니다. 완전제곱식이 되는 조건이라서 인수분해 연습마다 나옵니다. 결과 위의 배지가 그 사실을 말하도록 바뀌는데, 근이 몇 개인지 말로 적히는 곳이 그 한 곳입니다

x² 항이 있는 식의 근을 원할 때 씁니다. 실제로는 세 가지 상황입니다. 인수분해가 눈에 보이지 않는 연습 문제, 계수가 측정값에서 와서 인수분해가 아예 불가능한 물리 모형, 그리고 답이 복소수라고 알려져 있어 실근만 다루는 방식으로는 아무것도 남지 않는 경우입니다. 이미 한 인수분해를 확인하는 도구이기도 합니다. 두 근의 합과 곱이 인쇄되므로 (x − 1)(x − 2)를 다시 전개하지 않고 확인할 수 있습니다. a가 0으로 나오면 기울기 계산기로 가십시오. 그것은 직선이고 ax + by = c 꼴을 다루는 페이지가 답합니다. 지금 필요한 것이 제곱근 자체라면 근 계산기로 가십시오. 근호 안의 판별식도 여느 제곱근과 같은 제곱근이고, 더 높은 지수의 규칙이 거기 있습니다. x²을 푸는 것이 아니라 계산하는 것이라면 지수 계산기로 가십시오. 이차식을 평가하는 일과 그것이 0이 되는 곳을 찾는 일의 차이가 그것입니다.

1. x² − 3x + 2 = 0

   1. 판별식: Δ = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1
   2. Δ가 양수이므로 두 근은 실수이고 서로 다릅니다
   3. √Δ = 1이므로 두 근은 (3 + 1) ÷ 2 = 2와 (3 − 1) ÷ 2 = 1입니다
   4. 내림차순이라 2가 첫 줄에 오고, 검산도 맞습니다: 2 + 1 = 3이고 2 × 1 = 2입니다

   대부분의 사람이 들고 오는 식이고, (x − 1)(x − 2)로 깔끔하게 인수분해되는 식이라 패널의 모든 수를 인수를 다시 전개해서 확인할 수 있습니다. 답이 너무 쉬워서 계산기가 필요 없다고 느껴지는 경우이기도 한데, 그게 요점입니다. 이미 답을 아는 문제에서 풀이를 보여 주고 있고, 답을 모르는 문제에서도 같은 다섯 줄이 돌아옵니다.

2. x² − x − 1 = 0

   1. 판별식: Δ = (−1)² − 4 × 1 × (−1) = 1 + 4 = 5
   2. Δ가 양수이지만 완전제곱수가 아니라서 두 근이 무리수입니다
   3. √5 = 2.2360679…이므로 두 근은 (1 + 2.2360679…) ÷ 2와 (1 − 2.2360679…) ÷ 2입니다
   4. 소수 여섯 자리로 인쇄하면 1.618034와 −0.618034입니다

   황금비이고, 이 페이지가 왜 정확할 때만 분수를 인쇄하는지를 보여 주는 경우입니다. (1 + √5) ÷ 2와 같은 분수는 없으므로 답은 소수이고, 1.618034를 본 사람은 그것이 반올림된 값임을 압니다. 같은 수를 분수로 적었다면 정확한 값처럼 보였을 것입니다. 두 근의 곱이 정확히 −1인 것도 눈여겨볼 만합니다. 입력이 아니라 계산이 맞았다는 신호입니다.

3. 2x² + 3x − 2 = 0

   1. 판별식: Δ = 3² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25
   2. √Δ = 5이므로 두 근은 (−3 + 5) ÷ 4 = 1/2와 (−3 − 5) ÷ 4 = −2입니다
   3. 첫 번째 근은 분수로 정확하므로 0.5가 아니라 1/2로 인쇄됩니다
   4. 검산: 1/2 + (−2) = −1.5이고 1/2 × (−2) = −1입니다

   이 페이지가 근을 어떻게 인쇄하는지를 정하는 경우입니다. 두 근 모두 정확히 나타낼 수 있고, 작은 쪽은 정수인데 큰 쪽은 분수입니다. 근은 소수로 인쇄된다고 가정한 사람은 첫 줄에서 틀리고 둘째 줄에서 맞습니다. 분수를 읽을 수 있게 만드는 것이 합과 곱입니다. −1.5는 직접 해 보기 전에는 1/2과 −2의 합으로 보이지 않고, 해 보면 한 줄이면 됩니다.

4. x² − 2x + 5 = 0

   1. 판별식: Δ = (−2)² − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16
   2. Δ가 음수이므로 두 근은 복소수이고 켤레 쌍으로 나옵니다
   3. 실수부는 −b ÷ 2a = 1이고 허수부는 √16 ÷ 2 = 2입니다
   4. 두 근을 모두 인쇄하고, 비에타의 공식도 그대로 성립합니다. 더하면 2, 곱하면 5입니다

   ‘실근 없음’을 인쇄하고 멈추는 페이지들과 이 페이지가 갈라지는 자리입니다. 두 근은 지극히 확정된 수이고 검산 열이 그것을 증명합니다. 2와 5는 이 식이 요구하는 합과 곱이고, 두 근이 실수였다면 같은 값이 나왔을 것입니다. 답이 없다고 배운 사람은 그것을 믿기 전에 이 예의 마지막 두 줄을 읽어야 합니다.

5. x² − 4x + 4 = 0

   1. 판별식: Δ = (−4)² − 4 × 1 × 4 = 16 − 16 = 0
   2. Δ가 정확히 0이므로 두 근이 겹칩니다
   3. 겹치는 근은 −b ÷ 2a = 4 ÷ 2 = 2입니다
   4. 두 줄에 모두 2를 인쇄하고, 근을 두 번 세므로 합이 4입니다

   배지가 존재하는 경계입니다. 이 식은 (x − 2)²이라서 두 줄이 모두 2이고 어느 것도 실수처럼 보이지 않습니다. 그런데 줄을 세는 사람은 근이 하나인데 둘이라고 결론짓게 됩니다. 결과 위의 배지가 중근이라고 말하고, 합이 2가 아니라 4인 것이 판정과 계산이 일치한다는 증거입니다.

이 페이지는 이차방정식을 풀고 거기서 멈춥니다. 삼차와 사차, x⁴ 항이 있는 식은 자기 방법과 자기 페이지가 따로 있고 여기서 그것으로 확장되지 않습니다. 최고차항의 계수가 0이면 일차방정식으로 조용히 내려가지 않고 거절하므로 bx + c = 0은 그 꼴을 다루는 기울기 계산기로 가야 합니다. 판별식이 음수일 때 두 근은 a ± bi 꼴의 복소수로 인쇄되는데, 읽고 검산하기에는 충분하지만 온전한 복소수 연산 도구는 아닙니다. 그 둘을 손으로 곱하는 것은 사용자 몫입니다. 무리수인 근은 소수 여섯 자리로 인쇄되고, 이것은 정밀도의 한계가 아니라 표시의 한계입니다. 뒤의 계산은 배정도 정밀도로 돌아가고 반올림은 나가는 길에만 일어납니다. 두 근의 순서는 공식이 아니라 관례로 정해지므로, 다른 순서로 적은 교재나 페이지는 이 페이지와 모순되는 것이 아니라 다르게 줄 세운 것뿐입니다. 계수는 절댓값 백만으로 제한되며, 이것도 수학의 한계가 아니라 표시 범위입니다. 마지막으로 근의 합과 곱은 다른 값과 같은 소수 여섯 자리로 인쇄되므로, 정확한 합이 3분의 1인 경우 0.333333으로 돌아옵니다. 분수 대접을 받는 것은 두 근뿐이고 이 두 열은 받지 않습니다.

판별식이 음수일 때는 어떻게 하나요?

이 페이지가 그래도 인쇄하는 두 근을 읽으면 됩니다. 판별식이 음수라는 것은 해가 실수 둘이 아니라 켤레복소수 쌍이라는 뜻이고, 그 둘은 지극히 확정된 수입니다. x² − 2x + 5의 근은 1 + 2i와 1 - 2i입니다. 많은 교재가 ‘실근 없음’에서 멈추는데, 그것은 맞지만 불완전합니다. 식에는 여전히 해가 둘 있고, 근의 합과 곱 열이 그것을 확인해 줍니다.

어느 근이 첫 번째인가요?

둘 중 큰 쪽입니다. 공식의 플러스마이너스는 두 근의 순서를 정하지 않으므로 페이지가 정해야 하고, 내림차순을 골랐습니다. 그래서 근 1이 근 2보다 작은 경우는 없습니다. 이것은 생각보다 중요합니다. 순서가 고정되지 않으면 b의 부호를 바꿀 때 두 줄이 자리를 바꾸고, 두 계산을 비교하는 사람은 답이 달라졌다고 생각하게 됩니다.

근이 어떤 때는 분수로, 어떤 때는 소수로 나오는 이유는 무엇인가요?

분수로 정확히 나타낼 수 있고 분모가 작으면 분수로, 그 밖에는 소수로 인쇄합니다. 2x² + 3x − 2의 근은 1/2와 −2인데, 1/2은 정확하면서 짧아서 분수로 적습니다. 거기에 0.5라고 적으면 반올림한 값처럼 보였을 것입니다. 황금비는 (1 + √5) ÷ 2라서 분수가 아예 아니고, 그래서 1.618034로 적히며 소수점이 그것이 근삿값임을 알려 줍니다.

a가 0이면 어떻게 되나요?

이 페이지는 그 입력을 풀지 않고 거절합니다. a가 0이면 그 식은 bx + c = 0이고, 근이 −c ÷ b 하나인 직선이며, 근의 합과 곱을 구하는 식은 둘 다 a로 나누므로 뜻을 잃습니다. 그 꼴의 식은 기울기 계산기가 다루므로 거절할 때 그곳을 가리킵니다.

판별식은 무엇에 쓰나요?

다른 것을 계산하기 전에 세 가지 경우 중 어디인지 알려 주는 단 하나의 수입니다. Δ = b² − 4ac이고, 양수면 서로 다른 두 실근, 0이면 겹치는 한 실근, 음수면 켤레복소수인 두 허근입니다. 공식에서 제곱근 아래에 앉아 있으므로, 그 부호는 ‘실수인 제곱근을 취할 수 있는가’라는 질문 그 자체입니다.

인수분해를 확인하는 데 쓸 수 있나요?

쓸 수 있고, 근의 합과 곱 열이 그 일을 위해 있습니다. x² − 3x + 2가 (x − 1)(x − 2)로 인수분해된다고 생각한다면 근이 1과 2이고 합이 3, 곱이 2여야 하는데, 패널이 인쇄하는 것이 바로 그 값입니다. 상수항의 부호 실수는 곱의 부호가 반대로 나오면서 즉시 드러나고, 괄호를 다시 전개하는 것보다 빠릅니다.

• Quadratic Equation — 근의 공식과 판별식, 그리고 이 페이지가 인쇄하는 복소근까지 포함한 세 가지 경우 — Wolfram MathWorld (United States)
• Discriminant — 계수들의 한 가지 조합이 근의 개수와 성질을 어떻게 정하는지 — Wolfram MathWorld (United States)
• Vieta's Formulas — 다항식의 계수와 근의 합 및 곱 사이의 관계이며, 이 페이지가 검산으로 인쇄하는 것 — Wolfram MathWorld (United States)