완전제곱식 계산기

ax² + bx + c = a(x − h)² + k h = −b ÷ 2a k = c − b² ÷ 4a

a

최고차항의 계수이고 0이어서는 안 됩니다. a가 0이면 제곱 항이 없어져서 식이 이차식이 아니라 직선이 되고, 완성할 제곱도 없습니다. a의 부호가 포물선이 열리는 방향을 정하고, a가 양수면 위로, 음수면 아래로 열립니다. 크기는 곡선이 얼마나 좁은지를 정합니다.

b

일차항의 계수입니다. 꼭짓점의 가로 위치를 정하는 쪽이라서, h가 −b를 2a로 나눈 값이므로 b가 양수면 꼭짓점이 왼쪽으로, 음수면 오른쪽으로 밀립니다. b의 제곱이 k에도 들어가기 때문에 a가 작고 b가 크면 꼭짓점이 세로로 멀리 움직입니다.

c

상수항입니다. 포물선 전체를 위아래로 옮기고 좌우로는 전혀 움직이지 않습니다. c는 k에만 나타나고 h에는 나타나지 않습니다. 생략했을 때 0으로 가정하지 않고 반드시 받는 입력으로 남겨 둔 것은, 빼고 계산하면 인쇄되는 형태의 k가 틀리는데 페이지 어디에도 무엇을 가정했는지가 드러나지 않기 때문입니다.

h

꼭짓점의 x 좌표이고 −b ÷ 2a와 같습니다. 제곱 항을 사라지게 하는 x의 값이고, 꼭짓점이라는 말이 여기서 뜻하는 바가 그것입니다. a가 양수일 때 곡선의 가장 낮은 점이고 음수일 때 가장 높은 점입니다. 인쇄되는 형태에서는 부호가 괄호 안으로 접혀 들어가므로, 꼭짓점이 −3이면 (x − (−3))²이 아니라 (x + 3)²로 적힙니다.

k

꼭짓점의 y 좌표이고 c − b² ÷ 4a와 같습니다. x가 h일 때 식 전체가 갖는 값이라서, a가 양수면 이차식의 최솟값이고 음수면 최댓값입니다. k가 0으로 떨어지면 인쇄되는 형태에서 상수항이 통째로 빠집니다. 완전제곱은 (x + 3)² + 0이 아니라 (x + 3)²로 적힙니다.

1. x² + 6x + 5의 완전제곱식

   1. x의 계수를 반으로 나누기: 6 ÷ 2 = 3이라 괄호는 (x + 3)
   2. 그것을 제곱하기: (x + 3)² = x² + 6x + 9이고, 처음 식보다 4가 큼
   3. 넘친 만큼 빼기: (x + 3)² − 4
   4. 꼭짓점은 (−3, −4)이고 최고차 계수가 양수라서 포물선이 위로 열림

   교과서적인 예제이고, 전개해서 산수를 검산할 수 있는 경우입니다. 괄호는 그 제곱이 앞의 두 항을 정확히 되살리도록 고릅니다. 그 제곱이 넘긴 만큼을 다시 빼면 결과는 같은 식을 다른 모양으로 적은 것이 됩니다. 이 형태에서는 꼭짓점을 계산 없이 그대로 읽어 냅니다.

2. 분수로 떨어지는 형태

   1. 1을 반으로 나눠 괄호 만들기: (x + 1/2)
   2. 제곱하면 x² + x + 1/4이고, x² + x보다 1/4만큼 큼
   3. 1/4을 빼기: (x + 1/2)² − 1/4
   4. 꼭짓점은 (−1/2, −1/4)이고, 두 수 칸은 그것을 −0.5와 −0.25로 보고함

   분수 인쇄가 값을 하는 자리입니다. 홀수 계수의 절반은 분수이고 계산 내내 분수로 남으므로, 인쇄되는 형태는 정확한 반면 0.5와 0.25는 그 값의 여러 소수 표기 중 둘일 뿐입니다. 두 수 칸은 표기법이 아니라 수를 담는 자리라서 어쩔 수 없이 소수를 씁니다. 여기서는 두 칸을 서로를 위해 읽어 볼 만합니다.

3. 완전제곱인 경우

   1. 6을 반으로 나눠 괄호 만들기: (x + 3)
   2. 제곱하면 x² + 6x + 9이고 처음 식과 정확히 같음
   3. 남는 것이 없어서 상수항이 인쇄되는 형태에서 빠짐
   4. 꼭짓점이 x축 위에 놓임 — (−3, 0)

   상수항을 + 0으로 인쇄하지 않고 생략하는 이유를 보여 주는 경우입니다. 식이 이미 완전제곱이면 꼭짓점이 x축에 닿고, 완성된 형태는 세 항이 아니라 두 항이 됩니다. 꼬리가 사라진 것 자체가 정보입니다. 이차식이 그 x 값에서 중근을 가진다는 뜻이고, 근을 다루는 페이지라면 답을 하나만 보고할 그 사실입니다.

최고차 계수는 0일 수 없습니다. a가 0이면 식이 일차식이고 그래프가 직선이라 제곱을 완성한다는 발상이 성립하지 않습니다. 이 페이지는 h를 구하다가 0으로 나누는 대신 입력을 거부합니다. 세 계수 모두 크기가 100만까지로 제한되는데, 꼭짓점 좌표가 b의 제곱만큼 커지기 때문입니다. 그 범위를 넘으면 k 칸이 수천억 단위로 불어나서 읽는 사람이 쓸 수 있는 수가 아니게 됩니다. 인쇄되는 형태의 값은 분모가 나누어떨어지고 1000 이하일 때 분수로, 그 밖에는 소수 여섯 자리로 보입니다. 두 좌표 칸은 표기법이 아니라 수를 담으므로 언제나 소수를 씁니다. 이 페이지는 이차방정식을 풀지 않습니다. 식을 꼭짓점 형태로 적고 꼭짓점의 좌표를 보고할 뿐이며, 근, 곧 포물선이 x축과 만나는 자리는 아래에 링크한 근의 공식 페이지에서 계산합니다. 포물선이 위로 열리는지 아래로 열리는지도 인쇄하지 않습니다. 그것은 최고차 계수의 부호가 정하는데, 그 부호는 세 결과 어디에도 없고 처음 입력한 칸에 그대로 보입니다.

완전제곱식은 무엇을 하나요?

이차식을 a(x − h)² + k라는 꼭짓점 형태로 고쳐 씁니다. 그러면 포물선의 꼭짓점을 따로 계산하지 않고 식에서 바로 읽어 낼 수 있습니다. 절차는 x의 계수의 절반을 잡아 괄호를 만들고, 그 괄호의 제곱이 더해 놓은 만큼을 도로 빼는 것입니다. 식의 값은 조금도 달라지지 않고 모양만 달라집니다.

왜 수를 분수로 인쇄하나요?

홀수 계수의 절반은 분수이고, 분수는 나머지 계산이 끝날 때까지 정확하게 남기 때문입니다. 1/2을 0.5로 적는 것은 다음 단계에서 그것을 곱하기 전까지는무해해 보이지만, 곱하는 순간 반올림이 생기고 답이 밀립니다. 인쇄되는 형태는 분모가 나누어떨어지고 1000 이하일 때 분수를 쓰고, 그럴 수 없을 때만 소수 여섯 자리로 물러섭니다.

포물선이 위로 열리는지 아래로 열리는지는 어떻게 아나요?

최고차 계수 a의 부호로 압니다. 양수면 위로, 음수면 아래로 열립니다. 이 페이지는 그 결론을 인쇄하지 않는데, a의 부호가 세 결과 어디에도 나타나지 않기 때문입니다. 부호는 처음 입력한 칸에 그대로 보이고 꼭짓점 형태의 모양이 그것을 반영합니다. a가 양수면 꼭짓점이 최솟값이고 음수면 최댓값입니다.

이 페이지로 이차방정식을 푸나요?

아닙니다. 식을 꼭짓점 형태로 적고 꼭짓점의 좌표를 보고할 뿐입니다. 푼다는 것은 식이 0이 되는 x의 값을 찾는 일이고, 그것은 포물선이 x축과 만나는 점이라서 아래에 링크한 근의 공식 페이지의 일입니다. 두 페이지는 같은 세 계수를 받아 서로 다른 것을 돌려줍니다. 하나는 식을, 다른 하나는 근을 돌려줍니다.

답에서 상수항이 빠져 있을 때가 있는 이유는 무엇인가요?

0으로 떨어졌기 때문입니다. 이차식이 이미 완전제곱이면 꼭짓점이 x축에 놓이고, 인쇄되는 형태는 + 0을 적는 대신 꼬리의 상수를 생략합니다. x + 3의 제곱은 (x + 3)² + 0이 아니라 (x + 3)²로 적힙니다. 꼬리가 사라진 것은 의미가 있습니다. 바로 그 x 값에서 이차식이 중근을 가진다고 알려 줍니다.

최고차 계수가 0이면 왜 안 되나요?

제곱 항이 사라져서 식이 직선이 되고 완성할 제곱이 없기 때문입니다. 꼭짓점을 찾으려고 2a로 나누는 일도 0으로 나누는 것이 되고, 직선의 꼭짓점은 같은 뜻으로 잘 정의된 점이 아닙니다. 이 페이지는 말이 되지 않는 형태를 만들어 내는 대신 입력을 거부하고 어느 칸인지 밝힙니다.

• Completing the Square — 대수적 절차, 근의 공식을 유도할 때의 쓰임, 그리고 그 결과로 얻는 꼭짓점 형태 — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadratic Equation — 이 페이지의 식이 속한 방정식, 그리고 이 페이지가 계산하지 않는 근이 나오는 자리 — Wolfram MathWorld (United States)
• Parabola — 식이 그리는 곡선, 그 꼭짓점이 이 페이지가 보고하는 점 — Wolfram MathWorld (United States)