본문으로 건너뛰기
CalcMax

꼭짓점형 계산기

범위: -1,000,000 – 1,000,000

범위: -1,000,000 – 1,000,000

범위: -1,000,000 – 1,000,000

계산 결과

y = 2(x - 1)² - 1

표준형

꼭짓점 x
1.000000
꼭짓점 y
-1.000000

이차함수의 표준형은 y = a(x - h)² + k이고, 이것을 쓰는 이유는 포물선의 꼭짓점이 그 안에 그대로 앉아 있기 때문입니다. 점 (h, k)를 계산 없이 바로 읽어 낼 수 있습니다. 일반형 ax² + bx + c의 세 계수를 넣으면 같은 곡선이 다른 방식으로 적혀 나오고, 꼭짓점이 옆에 두 수로 보고됩니다. 조심할 것은 괄호 안의 부호 하나입니다. (x - 3)은 꼭짓점을 x = 3에 두고, (x + 3)은 x = -3에 둡니다. 대칭축은 꼭짓점을 지나는 세로선이고, 그 선을 기준으로 포물선이 거울상으로 겹칩니다. 이 페이지가 다루는 것은 그래프를 읽는 일입니다. 꼭짓점이 어디서 방향을 바꾸는지, 어느 쪽으로 열리는지, 얼마나 좁은지입니다. 계수를 반으로 쪼개고 제곱을 채워 넣는 계산 절차 자체를 설명하는 페이지는 따로 있습니다.

이차함수 여덟 개와 각각의 표준형

abc표준형
1-65y = (x - 3)² - 4
165y = (x + 3)² - 4
10-9y = x² - 9
-104y = -x² + 4
2-41y = 2(x - 1)² - 1
121y = (x + 1)²
-243y = -2(x - 1)² + 5
0.530.5y = (1/2)(x + 3)² - 4

모든 줄이 일반형으로 적힌 이차식과, 그것과 같은 곡선인 표준형입니다. 위의 입력 폼에 답하는 것과 같은 코드가 계산합니다. 줄들은 답이 가질 수 있는 모양을 훑도록 골랐습니다. 보통의 위로 열린 곡선, 그 거울상, 괄호가 접히는 y축 위의 꼭짓점, 최고차항의 계수가 -1인 아래로 열린 곡선, 계수가 2인 것, x축 위에 앉은 꼭짓점, 계수가 -1이 아닌 아래로 열린 곡선, 그리고 계수가 분수라서 괄호를 둘러야 하는 것. 마지막 열을 위에서 아래로 읽으면 두 좌표가 따로 움직이는 것이 보입니다. 괄호 안의 수는 부호가 뒤집힌 꼭짓점의 x이고, 밖의 수는 그대로의 꼭짓점의 y입니다.

공식

y = ax² + bx + c → h = -b / (2a) → k = c - b² / (4a) → y = a(x - h)² + k

a
늘어난 정도와 방향입니다. 일반형에 있는 것과 같은 수이고 표준형이 그것을 바꾸지 않으며, 이제 괄호 앞에 앉아 있습니다. 양수면 위로 열리고 음수면 아래로 열리며, 크기가 포물선이 얼마나 좁은지를 정합니다. |a|가 1보다 크면 x²보다 좁고, 1보다 작으면 넓습니다
h
꼭짓점의 x 좌표이고, 괄호가 그것을 중심으로 만들어집니다. 괄호 안으로 들어갈 때 부호가 뒤집힙니다. 꼭짓점이 x = -3이면 (x + 3)으로 적습니다. 대칭축이기도 해서, 곡선의 가장 높거나 가장 낮은 점이 세로선 x = h 위에 앉습니다
k
꼭짓점의 y 좌표입니다. 곡선이 거기서 갖는 값이고, 그래서 위로 열릴 때는 곡선이 내려가는 가장 작은 값, 아래로 열릴 때는 가장 큰 값입니다. 제곱이 나머지를 설명하고 남은 것이며, k = 0은 꼭짓점이 정확히 x축에 떨어지는 특별한 경우입니다
x, y
완성된 방정식의 두 변수입니다. 이 식을 만족하는 짝은 모두 곡선 위에 있으므로, 표준형은 포물선을 온전히 설명합니다. 일반형과 같은 설명이고, 다만 흥미로운 점을 읽을 수 있는 자리에 놓았을 뿐입니다

일반형으로 적힌 이차식이 있고 알고 싶은 것이 곡선이 방향을 바꾸는 자리일 때 씁니다. 이익의 최댓값, 비용의 최솟값, 던진 공의 꼭대기 같은 것들입니다. 그래프를 그려야 할 때도 씁니다. 꼭짓점에 열리는 방향만 알면 모양의 대부분이 정해지기 때문입니다. 꼭짓점을 먼저 알고 일반형을 원할 때 거꾸로 읽는 데도 쓰입니다. 모든 이차함수에 이런 꼴이 하나씩 있고, 세 계수만 있으면 찾을 수 있습니다.

계산 예시

  1. y = 2x² - 4x + 1 — 최고차항의 계수가 1이 아닌 경우

    1. 꼭짓점의 x: h = -b / (2a) = 4 / 4 = 1
    2. 꼭짓점의 y: k = c - b² / (4a) = 1 - 16 / 8 = 1 - 2 = -1
    3. 괄호가 h = 1을 중심으로 만들어지므로 (x - 1)이 됩니다
    4. 최고차항의 계수 2가 괄호 앞에 놓입니다: y = 2(x - 1)² - 1

    검산은 다시 전개해 보는 것입니다. 2(x - 1)² = 2x² - 4x + 2이고 -1을 더하면 2x² - 4x + 1로 돌아오는데, 그것이 출발점입니다. 이것이 이 변환이 다른 곡선이 아니라 다시 적기인 이유입니다. 같은 포물선을 계수가 아니라 방향을 바꾸는 점으로 설명한 것입니다. 앞의 2는 실제로 일을 하고 있고 사라지지 않습니다. 최고차항의 계수가 1일 때만 괄호가 혼자 남습니다.

  2. y = -x² + 4 — 아래로 열리고 x 항이 아예 없는 경우

    1. 꼭짓점의 x: h = -0 / (2 × -1) = 0
    2. 꼭짓점의 y: k = 4 - 0 = 4
    3. h = 0이면 괄호가 (x - 0)이 될 자리라서 그냥 x²으로 접힙니다
    4. 최고차항의 계수 -1은 빼기 부호 하나로 적습니다: y = -x² + 4

    표준형과 일반형이 같은 문자열이 되는 경우이고, 그게 요점입니다. b가 0이면 꼭짓점이 이미 y축 위에 있어서 옮길 것도 채울 것도 없었습니다. 답을 변화가 아니라 설명으로 읽으십시오. 곡선이 아래로 열리고 (0, 4)에서 방향을 바꾸는데, 그 점은 원점보다 네 단위 위에 있습니다.

  3. y = 0.5x² + 3x + 0.5 — 최고차항의 계수가 분수인 경우

    1. 꼭짓점의 x: h = -3 / (2 × 0.5) = -3
    2. 꼭짓점의 y: k = 0.5 - 9 / 2 = 0.5 - 4.5 = -4
    3. 괄호가 h = -3을 중심으로 만들어지므로 (x + 3)이 됩니다. 부호가 뒤집힙니다
    4. 1/2은 분수로 인쇄하고 괄호를 두릅니다. 1/2(x + 3)²은 1을 2(x + 3)²으로 나눈 것으로 읽히기 때문입니다: y = (1/2)(x + 3)² - 4

    전개해서 확인됩니다. (1/2)(x + 3)² = 0.5x² + 3x + 4.5이고, 4.5 - 4가 상수를 0.5로 되돌립니다. 분수가 나타나는 것은 계수가 분수였기 때문이지 무엇을 근사했기 때문이 아닙니다. 1/2은 0.5와 같은 수이면서 정확하고, 인쇄된 꼴은 사람이 손으로 적는 방식입니다.

한계

최고차항의 계수는 0일 수 없습니다. a = 0이면 채울 제곱이 없고 보고할 꼭짓점도 없습니다. 그래프가 직선이기 때문입니다. 페이지는 답을 지어내는 대신 그 입력을 거절합니다. 계수는 어느 방향으로든 백만으로 제한되고, 아주 작은 a와 아주 큰 b의 조합도 거절합니다. 꼭짓점이 수로서 뜻을 갖는 범위를 넘어 밀려나기 때문입니다. 이 페이지는 식을 인쇄할 뿐 풀지는 않습니다. 근이 얼마인지, 곡선이 x축과 어디서 만나는지, 다른 x에서 y가 얼마인지는 알려 주지 않습니다. 근은 연결된 근의 공식 계산기가 하고, 표준형을 다시 전개하는 일은 FOIL 계산기가 합니다. 수는 분모가 읽을 만큼 작으면 분수로, 그 밖에는 소수 여섯 자리로 인쇄되므로 꼭짓점이 3분의 1인 경우 0.333333으로 나옵니다. 단위는 어디에도 없습니다. 이차식의 계수는 측정값이 아니라 수이기 때문입니다.

자주 묻는 질문

꼭짓점형과 표준형은 같은 것인가요?
같은 것을 가리키는 두 이름입니다. y = a(x - h)² + k이고, 이차함수를 꼭짓점이 그대로 보이게 적는 방식입니다. 포물선이 방향을 바꾸는 점이 (h, k)이고, 두 좌표를 아무 계산 없이 식에서 읽어 낼 수 있습니다. 일반형 ax² + bx + c도 같은 곡선을 설명합니다. 둘은 서로 자리를 바꾼 것이고, a는 양쪽에서 같은 수입니다.
꼭짓점을 구하는 계산기와는 무엇이 다른가요?
계산은 같은 식으로 하고 꼭짓점도 똑같이 나옵니다. 두 페이지가 정말 같은 세 계수를 받기 때문입니다. 다른 것은 돌려주는 것입니다. 꼭짓점을 구하는 쪽은 다시 적은 표현식 a(x - h)² + k를 인쇄하고 거기까지 가는 방법을 설명하며, 이 페이지는 포물선의 방정식 y = a(x - h)² + k를 인쇄하고 그래프를 읽는 일을 다룹니다. 어디서 방향을 바꾸는지, 어느 쪽으로 열리는지, 얼마나 넓은지입니다.
포물선이 위로 열리는지 아래로 열리는지는 어떻게 아나요?
괄호 앞에 있는 수 a의 부호로 압니다. 양수면 위로 열려서 꼭짓점이 곡선의 가장 낮은 점이고 k가 최솟값입니다. 음수면 아래로 열려서 꼭짓점이 가장 높은 점이고 k가 최댓값입니다. 페이지가 판정을 인쇄하지 않는 것은 a의 부호가 출력 중에 없기 때문인데, 그래도 식의 괄호 앞에 그대로 있습니다.
대칭축은 어디에 있나요?
x = h이고, 꼭짓점을 지나는 세로선입니다. 괄호 안에 나타나는 그 h와 같은 값입니다. 포물선이 그 선을 기준으로 거울상이라서 꼭짓점이 방향 전환점이 됩니다. 왼쪽에 있는 모든 것이 오른쪽 무언가의 반사입니다. 두 근이 있는 경우 두 근이 그 선에서 같은 거리만큼 떨어져 있고, 그래서 두 근의 평균이 h라는 것도 같은 사실입니다.
식에 분수가 나오는 이유는 무엇인가요?
정확한 값이 분수였기 때문입니다. 몇 자리 안에 끝나고 분모가 작은 소수는 분수로 인쇄합니다. 0.5는 1/2, 0.25는 1/4입니다. 손으로 적을 때의 방식이고, 1/2은 0.5의 근삿값이 아니라 정확한 값이기 때문입니다. 그보다 긴 값은 소수 여섯 자리로 반올림한 채 남으므로 꼭짓점이 3분의 1이면 0.333333으로 나옵니다.
답에서 마지막 항이 빠지는 경우가 있는 이유는 무엇인가요?
꼭짓점의 y가 0이고, 식에 아무것도 더하지 않으면 언제나 0인 항만 붙기 때문입니다. 곡선이 x축을 지나지 않고 스치기만 할 때, 곧 꼭짓점이 축 위에 앉아 있을 때 정확히 그렇게 됩니다. 그때 이차식은 완전제곱입니다. 그래서 y = (x + 1)²은 잘린 것이 아니라 완전한 표준형입니다.

참고 문헌

관련 계산기

완전제곱식 계산기제곱 꼴로 고쳐 꼭짓점 좌표를 구합니다.근의 공식 계산기이차방정식의 근을 복소수까지 구합니다.FOIL 계산기FOIL 법칙으로 두 이항식의 곱을 전개합니다.