FOIL 계산기

(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd 첫째 항 = ac 바깥 항 = ad 안쪽 항 = bc 마지막 항 = bd

a, c

두 이항식의 x 계수이고 각각 하나씩입니다. 둘 다 0이어서는 안 됩니다. x 항이 0인 이항식은 그냥 상수이고 그것을 곱하는 일은 이 방법이 아니기 때문입니다. 둘의 곱이 전개식의 첫 항이 되므로 답의 이차항 계수가 a나 c가 아니라 ac입니다.

b, d

두 상수입니다. 0이어도 되고 음수여도 되며 분수여도 됩니다. 이 둘이 네 곱 가운데 두 개를 정합니다. 바깥 항 ad와 안쪽 항 bc가 더해져 가운데 항이 되고, 둘의 곱 bd가 끝에 남는 상수가 됩니다. 둘 다 음수인 경우가 마지막 항을 다시 양수로 만드는 경우입니다.

첫째 항, 바깥 항, 안쪽 항, 마지막 항

네 개의 곱이고 방법이 이름 붙인 순서 그대로입니다. 첫째 항은 ac, 바깥 항은 ad, 안쪽 항은 bc, 마지막 항은 bd입니다. 전개식의 가운데 항이 바깥 항과 안쪽 항의 합이고, FOIL에서 두 수가 단순히 적히는 것이 아니라 합쳐지는 유일한 자리입니다.

x

두 이항식이 쓰인 문자입니다. 여기서는 값을 가지지 않습니다. 답이 수가 아니라 식이라서 주 결과가 수 열이 아니라 텍스트인 이유가 그것입니다.

두 이항식을 손으로 곱하고 그 결과를 단계별로 확인할 때 이 페이지를 씁니다. 반대 방향, 곧 전개된 이차식을 두 식의 곱으로 되돌리는 일은 인수분해이고 이 페이지는 시도하지 않습니다. 완성제곱 계산기는 같은 식을 반대쪽 끝에서 출발해 제곱 꼴로 묶습니다.

1. (x + 2)(x + 3)

   1. 첫째 항: x × x = x²이므로 곱이 1
   2. 바깥 항: x × 3 = 3x이므로 3
   3. 안쪽 항: 2 × x = 2x이므로 2
   4. 마지막 항: 2 × 3 = 6
   5. 바깥 항과 안쪽 항이 합쳐져 가운데 항: 3x + 2x = 5x
   6. 전개식은 x² + 5x + 6

   가장 흔한 경우이고 네 곱이 모두 양수이면서 서로 다릅니다. 가운데 항이 바깥 항과 안쪽 항을 더해서 나오는데, 읽는 사람이 가장 자주 건너뛰는 단계가 그것입니다. 두 수를 답 옆에 함께 인쇄해 두면 그 단계를 스스로 검산할 수 있습니다.

2. 두 x 계수가 모두 1이 아닐 때

   1. 첫째 항: 2x × 3x = 6x²이므로 이차항 계수가 6
   2. 바깥 항: 2x × 4 = 8x
   3. 안쪽 항: 1 × 3x = 3x
   4. 마지막 항: 1 × 4 = 4
   5. 가운데 항: 8x + 3x = 11x
   6. 전개식은 6x² + 11x + 4

   이차항 계수가 한 수가 아니라 곱이라서 두 이항식 어느 쪽에서도 그대로 읽어 낼 수 없습니다. 방법 자체에서 달라지는 것은 없습니다. 가운데 항은 여전히 바깥 항과 안쪽 항의 합이고, 네 수 가운데 둘이 합쳐지는 유일한 자리입니다.

3. 제곱의 차

   1. 첫째 항: x × x = x²
   2. 바깥 항: x × (-5) = -5x
   3. 안쪽 항: 5 × x = 5x
   4. 마지막 항: 5 × (-5) = -25
   5. 바깥 항과 안쪽 항이 -5x와 +5x라서 정확히 상쇄됨
   6. 가운데 항이 사라졌으므로 전개식은 x² - 25

   가운데 항이 곱이 아니라 합이라는 것을 증명하는 경우입니다. 이름 붙은 네 곱이 모두 0이 아닌데도 전개식에는 항이 둘뿐입니다. 가운데 항을 이룰 두 곱이 크기가 같고 부호가 반대이기 때문입니다. 네 곱을 더하지 않고 그대로 인쇄하는 페이지만 보면 항 하나를 잃어버린 것처럼 보일 자리입니다.

두 이항식의 x 계수는 0이어서는 안 됩니다. 둘 중 하나가 0이면 짝을 이룰 x 항이 없고 그 식은 상수 곱하기 이항식이며 첫째 항 단계가 아무것도 만들지 못하므로, 그 입력은 조용히 상수로 취급하는 대신 이름을 대서 거절합니다. 네 계수의 크기는 100만까지로 제한됩니다. 바깥 항과 안쪽 항이 반올림 전에 더해지고 가장 큰 중간값이 눈으로 검산할 수 있는 범위를 넘어서기 때문입니다. 분수로 나오는 결과는 분모가 1000 이하이면서 나누어떨어질 때 분수로 인쇄되고 그 밖에는 소수 여섯 자리로 인쇄되므로, (x + 1/2)(x + 3)은 0.5가 아니라 1/2로 나옵니다. 이 페이지는 곱합니다. 인수분해하지 않습니다. 전개된 이차식에서 두 이항식으로 되돌아가는 것은 반대쪽 문제이고 이 페이지가 다루지 않습니다. 판별식도 근도 주지 않습니다. 그 물음은 이차방정식 계산기의 몫입니다.

FOIL은 무엇의 약자인가요?

첫째 항, 바깥 항, 안쪽 항, 마지막 항이고, 두 이항식에서 그 순서로 뽑은 네 쌍의 항을 가리킵니다. 두 앞항, 적어 둔 곱의 바깥쪽에 놓인 두 항, 안쪽에 놓인 두 항, 그리고 두 상수입니다. 네 쌍을 곱해서 더하면 전개된 이차식이 나옵니다.

바깥 항과 안쪽 항은 왜 더하나요?

둘 다 x 항을 만들어 내고 같은 종류의 항은 합쳐지기 때문입니다. FOIL에서 빼도 되는 단계는 없습니다. 네 곱이 가능한 짝의 전부이고 결과는 그 합입니다. 바깥 항과 안쪽 항은 합쳐질 수 있는 유일한 두 항이라서 두 이항식의 곱이 네 항이 아니라 세 항이 됩니다.

음의 계수도 되나요?

됩니다. 부호는 자기가 속한 항과 함께 다닙니다. (x + 5)(x - 5)에서 바깥 항은 -5x이고 안쪽 항은 +5x이며, 둘이 상쇄되어 가운데 항이 통째로 사라지고 두 항만 남습니다. 두 상수가 모두 음수인 것은 다른 경우이고, 그때는 마지막 항이 다시 양수가 됩니다.

x 계수가 0이어도 되나요?

이 페이지에서는 안 됩니다. x 계수가 0인 이항식은 사실 그냥 상수이고, 그것을 곱하는 일은 이 방법이 아니라 평범한 산수입니다. 첫째 항 단계가 적어 둘 것을 만들어 내지 못합니다. 그래서 그 입력은 조용히 상수로 취급되지 않고 이름을 대서 거절됩니다.

답에서 항이 빠지는 경우가 있는 이유는 무엇인가요?

그 항의 계수가 0으로 계산되었기 때문입니다. 바깥 항과 안쪽 항이 상쇄되면 x 항이 아예 없어지고, 전개식은 x² + 0x - 25가 아니라 x² - 25로 적힙니다. 빈 항을 빼놓는 것이 이 페이지의 인쇄기가 어디서나 쓰는 규약이고, 이름 붙은 네 곱은 그 항에 무슨 일이 있었는지를 그대로 보여 줍니다.

분수 답이 왜 분수로 인쇄되나요?

분수는 정확하게 남고 소수는 그 표기 가운데 하나일 뿐이기 때문입니다. (x + 1/2)(x + 3)의 x 계수는 7/2이고, 이것을 3.5로 인쇄하면 여기서는 맞지만 다음 단계에서 곱하는 순간 어긋나기 시작합니다. 인쇄기는 분모가 나누어떨어지고 1000 이하일 때 분수를 쓰고, 어쩔 수 없을 때만 소수 여섯 자리로 물러납니다.

• Quadratic Equation — 전개식이 만들어 내는 방정식과, 그 계수들이 들어가는 표준형 — Wolfram MathWorld (United States)
• Completing the Square — 같은 이차식을 반대 방향에서 다루어, 전개된 꼴을 제곱 꼴로 묶기 — Wolfram MathWorld (United States)
• Parabola — 전개된 이차식이 그리는 곡선과, 그 계수를 정확히 잡아야 하는 이유 — Wolfram MathWorld (United States)