점기울기형 계산기

y − y₁ = m(x − x₁) 기울기-절편 꼴: y = mx + (y₁ − m·x₁)

m

기울기, 직선이 얼마나 가파르게 오르내리는지를 부호 있는 수로 나타낸 것입니다. 오른쪽 괄호 앞의 계수이고, 식을 정리하면 x의 계수가 됩니다. 기울기가 0이면 수평인 직선이 되는데, 그때 이 계산기는 아무것도 곱하지 않은 괄호 대신 그냥 0을 적습니다

x₁, y₁

알고 있는 그 한 점입니다. 여기서는 하나면 충분합니다. 기울기가 방향을 정하고 점이 위치를 정하며, 둘이 합쳐져 직선이 하나로 정해집니다. 아래첨자는 목록의 번호가 아니라 공식이 쓰는 이름입니다. 이 페이지에는 두 번째 점이 없습니다

y절편

직선이 y축과 만나는 곳이며, 식을 정리하고 남은 상수입니다. 같은 세 입력에서 나옵니다. 직선이 주어진 점을 지나므로 x가 0일 때의 높이는, 그 점에 이르기까지 기울기가 만들어 냈을 상승분을 그 점의 높이에서 되돌린 값입니다

x, y

식이 묶어 주는 두 변수입니다. 어느 쪽에도 값이 정해지지 않습니다. 답이 직선 위의 모든 점에 한꺼번에 적용되는 규칙이라서, 주된 읽기가 숫자 하나가 아니라 글인 것입니다

가파름과 지나는 점 하나를 알 때 직선을 식으로 적을 때 씁니다. 비율과 시작값에서, 알려진 위치에서의 접선의 기울기에서, 또는 두 점 사이의 기울기를 먼저 구해 놓은 뒤에 씁니다. 두 점에서 기울기로 가는 반대 방향은 기울기 페이지의 일이고, 완성된 식으로 직선 위 더 먼 곳의 값을 예측하는 것은 보간 페이지의 일입니다.

1. 기울기 2가 (1, 3)을 지나는 경우

   1. 기울기와 점을 틀에 넣습니다: y − y₁ = m(x − x₁)
   2. 왼쪽은 y − 3이 되고 괄호는 (x − 1)이 됩니다
   3. 점-기울기 꼴은 y - 3 = 2(x - 1)입니다
   4. 괄호를 전개합니다: 2(x − 1) = 2x − 2
   5. −3을 옮깁니다: y = 2x − 2 + 3 = 2x + 1
   6. 기울기-절편 꼴은 y = 2x + 1이고 y절편은 1입니다

   기본값이고, 입력과 맞춰 읽어야 하는 경우입니다. 괄호 안의 두 수는 입력한 좌표 그대로이며, 뺄셈 때문에 부호만 뒤집혀 있습니다. 점-기울기 꼴을 쓰는 이유가 그것입니다. 주어진 점을 상수 속에 접어 넣지 않고 읽을 수 있게 남겨 둡니다.

2. 기울기 −1, 괄호를 남겨야 하는 경우

   1. 틀에 넣으면 y − 5 = m(x − 2)입니다
   2. 기울기 −1은 계수 1을 생략하는 것과 같은 이유로 −1 대신 빼기 부호만 적습니다
   3. 괄호는 남습니다. −x − 2로 적으면 다른 직선이 됩니다
   4. 점-기울기 꼴은 y - 5 = -(x - 2)입니다
   5. 전개합니다: −(x − 2) = −x + 2이고 y = −x + 2 + 5입니다
   6. 기울기-절편 꼴은 y = -x + 7이고 y절편은 7입니다

   가장 자주 틀리는 줄입니다. 기울기 1과 기울기 −1은 둘 다 눈에 보이는 숫자 없이 적히지만, 빼기 부호는 괄호 밖에 남아야 합니다. 괄호를 떼면 −(x − 2)가 −x − 2가 되는데, 그렇게 되면 겉보기에는 멀쩡한 식 안에서 부호 하나가 조용히 틀린 셈이 됩니다.

3. 분수 기울기

   1. 기울기 0.5는 소수로 적지 않고 정확한 분수 1/2로 남깁니다
   2. 틀에 넣으면 y − 1 = (1/2)(x − 4)입니다
   3. 분수에 괄호를 붙입니다. 1/2(x − 4)는 1을 괄호의 두 배로 나눈 것으로 읽히기 때문입니다
   4. 기울기-절편 꼴에서도 같은 괄호가 반복됩니다: y = (1/2)x − 1
   5. y절편은 −1입니다

   관례 두 가지를 한꺼번에 정하는 경우입니다. 분수는 정확하게 남겨서 식이 근삿값이 아니라 식으로 남게 하고, 분수 계수에는 괄호를 붙여 변수가 아니라 괄호에 붙어 있게 합니다. 두 관례 모두 같은 종류의 수를 다루는 다른 대수 페이지가 쓰는 것과 같습니다.

기울기와 두 좌표 모두 크기가 백만으로 제한됩니다. 분수로 들어온 입력은 분모가 나누어떨어지고 1000 이하일 때 분수로, 그 밖에는 소수 여섯 자리로 인쇄됩니다. 그래서 0.5는 1/2로 나오고, 순환 소수가 길게 이어지는 소수는 반올림으로 물러섭니다. 기울기와 좌표는 소수로만 받습니다. 분수를 글자로 적어 넣는 것은 받지 않으므로 1/3은 그것이 반올림되는 소수로 입력해야 합니다. 수직인 직선은 이 꼴로 적을 수 없습니다. 기울기가 정의되지 않고 어떤 m도 그것을 만들어 내지 못하므로, 주어진 점을 지나는 수직인 직선은 이 페이지가 설명할 수 있는 직선이 아닙니다. 이 페이지가 하지 않는 일은 두 점에서 기울기를 대신 구해 주는 것과, 직선이 x축과 만나는 곳을 알려 주는 것입니다.

점기울기형이란 무엇인가요?

직선 위의 알고 있는 한 점을 눈에 보이게 남겨 두는 일차방정식의 표기법입니다. y에서 그 점의 높이를 뺀 것이, 기울기 곱하기 x에서 그 점의 위치를 뺀 것과 같습니다. 어떤 점과 어떤 기울기든 이렇게 적을 수 있고, 식을 다시 읽으면 어떤 점과 어떤 기울기가 그것을 만들었는지 알 수 있습니다.

기울기-절편 꼴이 더 간단한데 왜 쓸모가 있나요?

알고 있는 것에서 곧바로 만들어지기 때문입니다. 기울기-절편 꼴은 그래프를 그리기에 더 깔끔하지만 거기까지 가려면 전개해서 동류항을 정리해야 하고, 계산 실수 하나가 상수 안에 숨어들게 됩니다. 점기울기형은 주어진 수를 넣은 자리에 그대로 붙들고 있어서 한눈에 검산할 수 있습니다.

y절편은 무엇을 알려 주나요?

직선이 y축과 만나는 곳, 곧 x가 0일 때의 높이입니다. 같은 세 입력에서 따라 나옵니다. 알고 있는 점에서 출발해, 축에서 거기까지 오는 동안 기울기가 만들었을 상승분을 되돌리면 됩니다. 알고 있는 점이 이미 축 위에 있다면 절편은 그 점의 높이 그대로입니다.

기울기 1은 왜 숫자 없이 적나요?

계수 1을 다른 어디서나 생략하는 것과 같은 이유입니다. 1(x − 2)라고 적으면 정보를 나르지 않는 기호가 하나 붙습니다. 기울기 −1은 빼기 부호를 남기되 숫자는 여전히 생략하고, 괄호를 반드시 남겨야 하는 자리가 바로 그곳입니다. 빼기 부호는 괄호 밖에 속하고, 괄호를 떼면 직선이 달라집니다.

분수 기울기에 왜 괄호를 붙이나요?

분수가 x가 아니라 괄호에 붙어 있게 하기 위해서입니다. 괄호 없이 1/2(x − 4)라고 적으면 1을 괄호의 두 배로 나눈 것으로 읽히는데, 그것은 다른 식입니다. (1/2)(x − 4)로 묶으면 곱셈의 순서가 분명해집니다.

수직인 직선도 이렇게 적을 수 있나요?

적을 수 없습니다. 수직인 직선에는 기울기가 없습니다. 높이의 변화는 실제로 있는데 가로의 변화가 0이기 때문입니다. 그래서 그것을 만들어 내는 m이 존재하지 않고, 점기울기형으로는 설명할 수 없습니다. 그런 직선은 x가 상수와 같다는 꼴로 적으며, 그 꼴은 이 페이지가 다루는 범위 밖입니다.

• Point-Slope Form — 이 페이지가 출발하는 배열이며, 기울기와 점 하나로 충분한 이유 — Wolfram MathWorld (United States)
• Linear Equation — 두 출력이 모두 특수한 경우인 일반형이며, 답을 정리해 넣을 수 있는 표준형 — Wolfram MathWorld (United States)
• Slope — 직선의 방향을 정하는 수이며, 수직인 직선에서는 값 자체가 없는 양 — Wolfram MathWorld (United States)