사인 법칙 계산기

a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C sin B = b · sin A ÷ a C = 180° - A - B c = a · sin C ÷ sin A

a와 A

알고 있는 변과 그 건너편에 있는 각입니다. 이 둘이 삼각형 전체의 비를 정하는 한 쌍이고, 이 법칙을 쓰려면 둘 가운데 하나는 반드시 있어야 합니다

b

알고 있는 두 번째 변입니다. 조각들이 삼각형을 몇 개 허용하는지를 정하는 변이고, 모호한 경우 전체가 이 길이와 변 a의 비교에 달려 있습니다

B

변 b 건너편에 있는 각입니다. 비의 아크사인을 취하면 언제나 0도와 90도 사이의 예각이 나오고, 둔각 짝도 평각 안에 들어갈 때 그것을 쓰는 두 번째 삼각형이 생깁니다

C와 c

세 번째 각과 세 번째 변이며, 둘 다 B가 정해진 뒤에 얻어집니다. 각은 평각에서 나머지 둘을 빼서, 변은 같은 공유 비에서 얻습니다

사인 법칙 공식은 어떤 삼각형에서나 성립하지만 이 페이지가 받는 입력은 SSA 하나뿐이므로, 두 변과 그 사이에 있지 않은 각을 알고 있을 때, 곧 두 방위각과 만 건너 거리, 측량 노선의 두 구간에서 각이 먼 쪽 끝에 있는 경우에 이 페이지를 써서 나머지를 얻습니다. 코사인 법칙이 편하게 받지 못하는 유일한 각과 변의 모양이고, 답이 측정값이 아니라 선택이 될 수 있는 유일한 모양이기도 합니다. 그래서 이 페이지가 해의 개수를 앞세웁니다. 조각들이 삼각형을 두 개 허용하면, 어느 쪽에 서 있는지 정하기 전에 변뿐 아니라 각도 보십시오. 두 지형지를 조준하는 측량자는 눈앞의 모퉁이가 뾰족한지 둔한지 대개 알고 있고, 그 사실 하나가 삼각형을 고릅니다. 세 변을 알고 있거나 두 변과 그 사이의 각을 알고 있으면 코사인 법칙 페이지가 맞는 도구이고 그쪽에는 모호함이 전혀 없습니다. 직각삼각형의 한 변만 필요하면 직각삼각형 페이지가 둘 중 어느 쪽보다도 짧습니다. 모호한 경우, 곧 삼각형이 두 개 나오는 경우가 이 페이지에만 있는 이유도 여기 있습니다.

1. 두 변과 넓게 벌어진 각, 6, 30도, 8

   1. 공유 비는 변 a 나누기 각 A의 사인이고, 6 나누기 0.5라서 12이다
   2. 각 B의 사인은 변 b를 그 비로 나눈 값이고, 8 나누기 12라서 0.6667이다
   3. 사인이 0.6667인 각도는 41.81도이고, 그 보각인 138.19도도 사인이 같아서 둘 다 후보다
   4. 각 C는 평각에서 남은 몫이다. 180 빼기 30 빼기 41.81은 108.19
   5. 변 c는 같은 비에서 나온다. 12 곱하기 108.19도의 사인은 11.4

   페이지가 열릴 때의 값이고, 모호한 경우의 교과서적인 그림입니다. 둘째 변이 첫째 변보다 길어서 수선의 어느 쪽으로도 휘어져 도형을 닫을 수 있습니다. 네 개의 값은 예각 B로 세운 삼각형, 곧 둘째 변이 밑변 쪽으로 기운 삼각형을 설명합니다. 다른 삼각형은 41.81도의 둔각 짝인 138.19를 쓰고 아래 표의 마지막 열에 있으며, 그 셋째 각은 여기 인쇄된 108.19가 아니라 11.81도로 좁습니다. 둘 다 같은 세 조각에 대한 올바른 답입니다.

2. 같은 각에 더 짧은 둘째 변, 8, 30도, 6

   1. 공유 비는 8 나누기 30도의 사인이라서 16이다
   2. 각 B의 사인은 6 나누기 16이라서 0.375이다
   3. 사인이 0.375인 각도는 22.02도이고, 그 보각 157.98도는 각 A와 함께 평각을 넘어서므로 예각 쪽만 살아남는다
   4. 각 C는 180 빼기 30 빼기 22.02라서 127.98
   5. 변 c는 16 곱하기 127.98도의 사인이라서 12.61

   두 변을 맞바꾸면 모호함이 사라집니다. 6이 8보다 짧아서 둘째 자리가 더는 도형을 닫지 못하고 삼각형이 하나만 남습니다. 다른 수들은 성질이 그대로인데 개수만 둘에서 하나로 떨어지고, 그것이 개수를 앞세워 인쇄하는 이유입니다. 같은 세 종류의 입력이 두 길이를 견주는 방식만으로 다른 답을 냅니다. 살아남은 삼각형은 C가 127.98도인 둔각 쪽입니다. 둘째 변이 짧으면 도형을 더 멀리 뻗어 닫아야 하기 때문입니다.

3. 경계에 놓인 경우, 5, 30도, 10

   1. 공유 비는 5 나누기 30도의 사인이라서 10이다
   2. 각 B의 사인은 10 나누기 10이라서 정확히 1이다
   3. 사인이 1이면 각도는 90도로 고정되고 두 번째 선택지가 없다. 0도와 180도 사이에 같은 사인을 가지는 다른 각도가 없기 때문이다
   4. 각 C는 180 빼기 30 빼기 90이라서 60이고, 변 c는 10 곱하기 60도의 사인이라서 8.66

   둘째 변이 정확히 한 번만 닿을 만큼 깁니다. 셋째 변에 수직으로 내려앉고 삼각형은 B가 정확히 90도인 직각삼각형이 됩니다. 삼각형이 없는 쪽과 둘인 쪽을 가르는 선이고, 아래에서 이 선을 넘어갈 때 무슨 일이 일어나는지 볼 만합니다. 변이 이보다 아주 조금만 길어지면 두 해가 함께 나타나서 하나는 90도를 조금 넘고 다른 하나는 조금 못 미치다가, 변이 자라면서 벌어집니다. 정확히 이 값에서는 하나이고, 그 사인이 반올림 없이 정확히 1로 나옵니다.

4. 찾아낸 것이 아니라 주어진 90도

   1. 공유 비는 10 나누기 90도의 사인이라서 10 자신이다
   2. 각 B의 사인은 6 나누기 10이라서 0.6이고, 36.87도를 준다
   3. 각 C는 180 빼기 90 빼기 36.87이라서 53.13
   4. 변 c는 10 곱하기 53.13도의 사인이라서 8

   여기서는 직각이 계산이 찾아낸 것이 아니라 처음부터 넣어 준 조각이고, 공유 비는 빗변 나누기 1, 곧 빗변 자신이 됩니다. 거기서 사인 법칙이 두 예각을 곧바로 주고 셋째 변은 정확히 8로 나옵니다. 이 삼각형이 3 대 4 대 5 삼각형을 두 배로 키운 것 말고는 아무것도 아니기 때문에 수가 깔끔합니다. 페이지 전체를 확인하는 데 쓸모 있는 자리이기도 합니다. 직각을 마주 보는 변이 셋 중 가장 길 때에는 무엇이든 피타고라스 정리와 맞아떨어져야 하고, 여기서는 그렇게 됩니다.

분명히 말해 둘 한계가 셋 있습니다. 첫째, 패널은 삼각형을 하나만 인쇄합니다. 개수가 2일 때 아래 네 값은 예각 B로 세운 삼각형의 것이고, 둔각 짝은 패널이 아니라 참고 표의 마지막 열에 있습니다. 패널에는 답을 놓을 자리가 하나뿐이고 둘을 나란히 보여 줄 방법이 없어서, 작은 각을 인쇄하고 다른 쪽을 가리키는 쪽을 골랐습니다. 둘째, 무엇이든 풀기 전에 조각들이 말이 되어야 합니다. 주어진 각은 0도와 180도 사이에 있어야 하고, 둘째 변이 셋째 변에 닿기에 너무 짧으면 삼각형이 없으며 이 페이지는 만들어 내는 대신 없다고 보고합니다. 정확히 0도이거나 정확히 평각인 경우는 근삿값으로 대신하지 않고 거절합니다. 각이 0인 삼각형은 풀어낼 모양 자체가 없기 때문입니다. 셋째, 값은 소수 둘째 자리까지 주어지는데 아주 큰 삼각형에서는 그것이 의미를 잃습니다. 변이 수억 센티미터쯤 되면 배정도 수가 소수 둘째 자리를 감당하지 못하므로, 그만큼 커진 도형에서는 인쇄된 변 길이의 소수를 참고용으로만 봐야 합니다. 각은 정확하게 남습니다. 0.01도는 삼각형의 크기가 어떻든 여전히 0.01도이기 때문입니다.

사인 법칙의 모호한 경우란 무엇인가요?

두 변과 그 사이에 있지 않은 한 각이 삼각형 하나가 아니라 서로 다른 둘을 허용하는 상황입니다. 주어진 각은 한 변의 방향을 정하지만 다른 변이 어느 쪽으로 휘어질지는 정하지 않아서, 둘째 변이 뒤로 기울어 일찍 닫히거나 앞으로 기울어 늦게 닫힙니다. 한 삼각형은 작고 다른 쪽은 큰데, 앞의 것이 예각이던 자리에 뒤의 것은 둔각이 옵니다. 둘 다 같은 세 조각을 씁니다. 이 페이지는 가능성을 먼저 세고 예각 쪽을 풀어 내는데, 둘째 자리가 존재하는지 자체가 두 길이를 견주는 방식에 달려 있기 때문입니다.

삼각형이 하나인지 둘인지 어떻게 알 수 있나요?

둘째 변을 첫째 변과 견주면 됩니다. 둘째 변에 주어진 각의 사인을 곱해 첫째 변으로 나눠 보십시오. 그 수가 1을 넘으면 삼각형이 아예 없습니다. 사인이 1보다 큰 각도가 없기 때문입니다. 1보다 작으면 예각이 나오고, 그 둔각 짝과 주어진 각을 더해서 180도 안에 들어가면 두 번째 삼각형이 있습니다. 페이지가 그 비교를 대신 해 주고 해의 개수를 큰 글씨로 인쇄합니다.

두 삼각형 가운데 어느 것을 보여 주나요?

작은 쪽 각 B로 세운 삼각형이고, 셋째 각이 더 큰 쪽입니다. 패널이 개수와 함께 그 삼각형의 네 값을 인쇄하고, B의 둔각 짝은 옆의 참고 표 마지막 열에 나오므로 둘 다 페이지 위에 있습니다. 하나만 보여 주는 이유는 결과 패널에 답을 놓을 자리가 하나뿐이기 때문입니다. 이름 붙일 자리도 없이 숫자 네 개짜리 묶음을 두 벌 인쇄하는 것은 하나를 인쇄하고 다른 하나의 이름을 알려 주는 것보다 나쁩니다.

각이 0도이거나 180도일 때 페이지가 거절하는 이유는 무엇인가요?

각이 0인 삼각형은 삼각형이 아니기 때문입니다. 그것은 위에 점 하나가 찍힌 선분이고, 0인 각을 마주 보는 변도 0이어야 합니다. 그 두 값은 도형이 더는 존재하지 않는 경계에 있고, 답으로 0인 각과 0인 변을 돌려주어 해처럼 보이게 하는 것보다 없다고 말하는 편이 정직합니다. 그 사이의 각은 괜찮습니다. 양 끝에 아주 가까운 각도 포함됩니다. 삼각형이 아주 길고 가늘어질 뿐 여전히 진짜 삼각형입니다.

사인 법칙을 써야 하나요, 코사인 법칙을 써야 하나요?

한 변과 그 건너편 각을 함께 알고 다른 조각이 하나 더 있으면 사인 법칙을, 세 변을 알거나 두 변과 그 사이의 각을 알면 코사인 법칙을 씁니다. 갈림길이 되는 경우는 두 변과 그 사이에 있지 않은 한 각입니다. 그것이 이 페이지의 모양이고, 코사인 법칙이 이차방정식을 풀어야 해서 어색하게 받는 모양입니다. 모호함을 짊어지는 모양이기도 해서 이 페이지가 큰 글씨를 해의 개수에 씁니다.

인쇄된 변 길이가 왜 소수 둘째 자리까지만 정확한가요?

페이지가 소수 둘째 자리로 반올림하기 때문이고, 보통 크기의 삼각형에서는 배정도 수가 감당하는 범위 안에 넉넉히 들어옵니다. 아주 큰 삼각형에서는 그렇지 않습니다. 변이 수억쯤 되면 소수가 다가가기도 전에 수의 정밀도가 바닥나서, 그런 값의 마지막 자리는 측정된 것이 아니라 따라온 것입니다. 각에는 이 문제가 없습니다. 0.01도는 삼각형이 아무리 커도 0.01도로 남습니다.

• Law of Sines — 한 변과 그 대각의 사인의 공유 비, 그리고 이 관계가 삼각형 두 개를 허용하는 조건 — Wolfram MathWorld (United States)
• Law of Cosines — 세 변을 위한 짝이 되는 관계, 그리고 이 페이지가 받지 못하는 삼각형의 모양 — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — 삼각형 부등식, 가장 긴 변이 가장 큰 각을 마주 본다는 규칙, 그리고 조각만으로 삼각형이 정해지지 않는 경우 — Wolfram MathWorld (United States)
• The Law of Sines — 이 정리를 처음부터 끌어내리고, 모호한 경우와 해의 개수가 길이에서 따라 나오는 방식까지 — Math is Fun (United Kingdom)