코사인 법칙 계산기

a² = b² + c² - 2bc·cos A cos A = (b² + c² - a²) ÷ 2bc A = arccos((b² + c² - a²) ÷ 2bc)

a, b, c

삼각형의 세 변이며, 셋이 같은 단위이기만 하면 어떤 단위든 됩니다. 변 a는 각 A 건너편에 있는 변이고 나머지 둘도 같은 방식입니다

A

변 a 건너편에 있는 각이며, 이 형태의 법칙이 되찾아 주는 각입니다. 나머지 두 각은 글자를 돌려 같은 공식에 넣어 얻습니다

cos A

그 각의 코사인이고, 세 변이 직접 주는 것이 이것입니다. 여기서 각을 되찾는 것은 별도의 단계이며, 그 단계가 값을 0도와 180도 사이에 놓습니다

2bc

그 각에서 만나는 두 변의 곱의 두 배입니다. 피타고라스 정리에는 없는 보정항이고, 어떤 각도 직각이 아닐 때 이 법칙이 통하게 만드는 것이 이것입니다

세 변으로 각도를 구하고 싶을 때 이 페이지를 씁니다. 경계를 따라 잰 토지, 세 길이로 잘린 브래킷, 지도 위에서 변은 걸어서 잴 수 있지만 모퉁이는 조준할 수 없는 삼각형이 모두 여기입니다. 두 삼각형 페이지 가운데 각 없이 시작할 수 있는 유일한 쪽이고, 사인 법칙이 전혀 도움이 되지 않는 자리가 바로 거기입니다. 무엇을 만들기 전에 세 길이가 삼각형을 이루는지 알아내는 가장 빠른 길이기도 합니다. 넣어 보면 각 세 개가 돌아오거나, 어느 변이 너무 긴지 알려 주는 메시지가 돌아옵니다. 두 변과 그 사이의 각을 알고 있으면 그것은 SAS이고 삼각형 페이지의 몫이며, 같은 정리를 반대쪽 끝에서 다룹니다. 각이 아니라 넓이를 원하면 세 변은 헤론의 공식이 필요로 하는 전부이기도 합니다. 변 하나와 각 둘을 가지고 있거나 두 변과 그 사이에 있지 않은 각을 가지고 있으면 사인 법칙 페이지를 쓰면 됩니다.

1. 3 대 4 대 5 삼각형, 한 각이 정확히 직각인 경우

   1. 길이가 5인 변 건너편의 각을 잡는다
   2. 나머지 두 변의 제곱을 더하면 9 더하기 16이라서 25이다
   3. 보정항은 2 곱하기 3 곱하기 4 곱하기 그 각의 코사인이고, 식 전체를 25로 놓으면 코사인이 0이 되므로 각은 90도이다
   4. 나머지 두 각은 글자를 돌려 같은 공식에 넣어 얻고, 36.87과 53.13이 나온다

   페이지가 열릴 때의 값이고, 모든 독자가 전에 만나 본 삼각형입니다. 코사인 법칙과 피타고라스 정리가 일치하는 경우입니다. 직각의 코사인이 0이라서 보정항이 사라지고 공식이 정리로 접히기 때문입니다. 두 예각은 이 페이지를 믿어도 되는 이유를 보여 주는 짝입니다. 둘을 더하면 정확히 90이 되고, 셋째 각은 반올림 없이 깔끔한 90입니다.

2. 정삼각형, 반올림해 버릴 것이 없는 경우

   1. 세 변이 모두 같으므로 세 각도 모두 같다
   2. 세 각을 더하면 180도이다
   3. 180을 3으로 나누면 정확히 60이라서, 모든 값이 소수 자리를 잃지 않고 60

   세 변이 같으면 세 각도 같고, 그것들이 평각을 이루어야 하므로 각각 정확히 60도입니다. 아래 표에서 세 값이 모두 정확하고 그중 어느 것도 0이 아닌 유일한 행입니다. 공식을 확인하는 데도 쓸모가 있습니다. 여기서 보정항은 2 곱하기 5 곱하기 5 곱하기 60도의 코사인이라서 25이고, 25 더하기 25 빼기 25는 25이므로 셋째 변의 제곱입니다. 공식이 스스로와 맞아떨어집니다.

3. 둔각 삼각형, 변 2, 3, 4

   1. 가장 긴 변 건너편의 각을 잡는다. 둔각이 될 수 있는 각이다
   2. 나머지 두 변의 제곱을 더하면 4 더하기 9라서 13이다
   3. 가장 긴 변의 제곱인 16을 빼면 -3이 남는다
   4. 나머지 두 변의 곱의 두 배인 12로 나누면 코사인이 -0.25가 된다
   5. 코사인이 -0.25인 각도는 104.48도이고, 나머지 둘은 28.96과 46.57로 따라온다

   가장 긴 변 건너편의 각이 둔각이고, 그것은 우연이 아니라 규칙입니다. 가장 긴 변이 가장 큰 각을 마주 보고, 한 변이 나머지 둘의 제곱의 합의 제곱근보다 길어지면 그것을 마주 보는 각이 직각을 넘습니다. 여기서는 4가 13의 제곱근보다 길어서 건너편 각이 104.48도입니다. 세 값의 합도 눈여겨보십시오. 180.01로 평각을 0.01 넘습니다. 각각 따로 반올림했기 때문입니다. 아래 한계 문단이 바로 이것에 관한 이야기입니다.

4. 겨우 들어맞는 세 변, 3, 4와 7

   1. 3 더하기 4는 7이고, 가장 긴 변의 길이와 정확히 같다
   2. 보정항이 극단에 닿고, 가장 긴 변 건너편 각의 코사인이 -1로 나온다
   3. 코사인이 -1인 각도는 180도이고, 나머지 둘은 0으로 무너진다

   7은 정확히 3 더하기 4라서 삼각형에 남은 여지가 없습니다. 두 짧은 변이 가장 긴 변을 따라 납작하게 눕고 도형은 모퉁이가 그 위로 무너진 직선이 됩니다. 삼각 부등식이 허용하는 경계이고, 진짜 극한이라서 거절되지 않고 인쇄됩니다. 각은 정말로 0, 0, 180으로 갑니다. 짧은 변 하나를 조금이라도 밀어 올리면 진짜 삼각형이 나타나고, 변이 벌어질수록 양의 각이 자랍니다. 반대로 밀어 내리면 그런 변을 가지는 삼각형이 없다고 페이지가 보고합니다.

분명히 말해 둘 한계가 셋 있습니다. 세 각은 세 변에서 각각 독립적으로 계산되고 각각 소수 둘째 자리로 반올림되므로, 합이 정확히 평각이 아니라 180.01이나 179.99가 되는 일이 자주 있습니다. 2 대 3 대 4 삼각형이 위의 세 번째 예에서 보듯 0.01만큼 어긋납니다. 대안은 두 각만 계산하고 셋째를 빼서 얻는 것이고 그러면 합이 언제나 정확히 180이 되지만, 반대쪽 끝에서 대칭이 깨집니다. 두 변이 3이고 밑변이 3.3인 이등변삼각형은 밑각이 둘 다 56.63도인데, 그 방법은 이미 반올림된 두 값에서 빼내므로 56.63과 56.64로 인쇄합니다. 0.01도의 어긋남이 더 작은 거짓말이라고 판단했습니다. 둘째, 변은 삼각 부등식을 만족해야 합니다. 모든 변이 나머지 둘의 합보다 짧아야 합니다. 이 페이지는 그것을 어기는 입력을 거절하고, 한 변이 나머지 둘의 합과 정확히 같은 경계는 받아들여 각이 0, 0, 180도인 납작한 삼각형을 냅니다. 셋째, 이 페이지는 변의 길이도 넓이도 인쇄하지 않습니다. 변이 빠진 것이 아니라 여러분이 입력한 세 수이고 삼각형은 그것으로 완전히 정해지므로 더 보고할 것이 없습니다. 넓이를 원한다면 같은 세 수의 다른 출력입니다.

코사인 법칙은 어디에 쓰나요?

피타고라스 정리가 하지 못하는 두 가지 일에 씁니다. 첫째, 삼각형의 세 변을 알고 그 각을 원할 때이고 이 페이지가 하는 일입니다. 그 정리는 이미 한 각이 직각일 때만 각을 내놓고, 여분의 보정항이 다른 모든 삼각형에서 통하게 만듭니다. 둘째, 두 변과 그 사이의 각을 알고 셋째 변을 원할 때이고 옆의 삼각형 페이지가 그렇게 씁니다. 두 방향은 같은 식을 양쪽 끝에서 읽은 것입니다.

세 각의 합이 180이 아니라 180.01이 되는 이유는 무엇인가요?

각각의 각을 세 변에서 따로 계산한 뒤 소수 둘째 자리로 반올림하고, 서로 다른 세 번의 반올림이 상쇄되리라는 보장이 없기 때문입니다. 버그도 아니고 삼각형이 불가능하다는 뜻도 아닙니다. 인쇄된 값이 각각 진짜 각의 0.01도 안쪽이라는 뜻입니다. 대안인 두 각을 계산해 180에서 빼는 방법은 합이 정확히 맞지만, 두 각을 반올림한 뒤 빼내므로 밑각이 둘 다 56.63도인 이등변삼각형이 56.63과 56.64로 나옵니다. 다른 방향으로 더 나쁜 거짓말입니다.

아무 세 길이나 삼각형을 이루나요?

아닙니다. 각 변이 나머지 둘을 합친 것보다 짧아야 하고, 그것이 삼각 부등식입니다. 두 모퉁리 사이의 가장 짧은 길은 둘을 곧바로 잇는 변이므로, 셋째 모퉁이를 거쳐 가면 더 짧아질 수 없습니다. 한 변이 나머지 둘의 합보다 길면 이 페이지는 불가능한 각을 돌려주는 대신 입력을 거절합니다. 정확히 같으면 삼각형이 납작해져 각이 0, 0, 180으로 나오고, 그것은 실수가 아니라 진짜 경계라서 페이지가 받아들입니다.

이 페이지는 왜 세 각만 주고 변의 길이는 주지 않나요?

세 변이 입력이기 때문입니다. 세 변이 주어진 삼각형은 완전히 정해집니다. 밀고 돌리는 것을 빼면 모양이 하나뿐입니다. 그러니 변을 다시 인쇄하는 것은 방금 입력한 것을 되풀이하는 셈입니다. 페이지가 더해 주는 것은 보이지 않던 부분, 곧 모퉁리가 어디에 있는지이고 그것이 세 각입니다. 같은 세 수는 넓이도 주고, 그것은 별도의 도구입니다.

삼각형에 둔각이 있는지 어떻게 알 수 있나요?

가장 긴 변을 보면 됩니다. 그 제곱이 나머지 둘의 제곱의 합보다 크면 마주 보는 각이 둔각이고, 둘이 같으면 그 각이 정확히 직각이며, 더 작으면 세 각이 모두 예각입니다. 위 예의 2 대 3 대 4 삼각형이 둔각인 경우이고, 16 대 13입니다. 둔각이 되는 것은 언제나 가장 큰 각입니다. 가장 긴 변이 가장 큰 각을 마주 보기 때문입니다.

사인 법칙 대신 언제 이것을 쓰나요?

세 변을 알거나 두 변과 그 사이의 각을 알 때 이쪽을 씁니다. 한 변과 그 건너편 각을 다른 조각 하나와 함께 알 때는 사인 법칙을 씁니다. 변과 사인의 비가 필요로 하는 정보가 그것이기 때문입니다. 두 페이지가 겹치는 경우는 두 변과 그 사이에 있지 않은 한 각이고, 거기서는 사인 법칙이 더 나은 도구입니다. 삼각형이 서로 다른 두 모양을 가질 수 있는 경우이기도 하고, 이 페이지는 그 걱정을 할 필요가 없는 쪽입니다.

• Law of Cosines — 삼각형의 세 변과 한 각의 코사인 사이의 관계, 그리고 피타고라스 정리로 줄어드는 방식 — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — 삼각 부등식, 가장 긴 변이 가장 큰 각을 마주 본다는 규칙, 그리고 퇴화한 경우 — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — 각의 사인과 코사인과 탄젠트, 그 값의 범위, 코사인에서 각을 되찾으면 0도와 180도 사이가 나오는 이유 — Wolfram MathWorld (United States)
• The Law of Cosines — 이 정리를 처음부터 끌어내리고, SAS와 SSS 두 경우를 나눠서 — Math is Fun (United Kingdom)