배각 공식 계산기

sin 2θ = 2 sin θ cos θ cos 2θ = cos²θ − sin²θ tan 2θ = 2 tan θ ÷ (1 − tan²θ)

θ

출발점이 되는 각도이며 도나 라디안으로 넣습니다. 음수일 수 있고 한 바퀴를 넘을 수도 있으며, 페이지가 두 배로 만드는 것은 이 각도이지 그 각이 만들어 내는 수가 아닙니다

2θ

두 배가 된 각도입니다. 도로 먼저 보고되는데, 페이지의 나머지 값이 넣은 각이 아니라 이 각에서 읽히기 때문입니다

sin θ, cos θ

원래 각의 사인과 코사인입니다. 항등식은 둘을 서로 곱하지 어느 한쪽을 두 배로 하지 않으며, 그래서 답이 무엇의 두 배도 아닙니다

각도가 두 배가 될 예정이고 그 결과가 어디에 놓이는지 손으로 항등식을 풀지 않고 알고 싶을 때 이 페이지를 씁니다. 두 번 적용하는 회전, 한 걸음의 두 배씩 나아가는 위상, 두 배의 진동수에서 읽는 파장이나 주기가 모두 여기로 들어옵니다. 아래에 있는 배각 공식이 계산기가 적용하는 것과 같은 세 가지 삼각함수 항등식이므로, 이 페이지는 손 계산을 확인하는 데도 씁니다. 두 배가 된 값을 쥐고 원래 각을 되찾고 싶으면 그것은 반각 공식의 방향이고 이 페이지가 하는 일이 아닙니다. 넣은 각이 아니라 그 두 배에서 세 비율을 원하면 삼각함수 계산기 페이지가 정확히 그 일을 하며, 두 페이지는 둘 다 정의되는 곳에서 일치합니다.

1. 각도 30도, 두 배가 되어 60

   1. 30도의 두 배는 60도이므로 모든 값을 그 자리에서 읽습니다
   2. sin 60은 √3/2이고 약 0.866이며, cos 60은 2분의 1입니다
   3. 탄젠트는 둘의 비인 √3이고 약 1.7321입니다

   페이지가 열릴 때의 각도이고, 이 페이지가 왜 존재하는지 보여 주는 행입니다. 30도의 사인은 0.5이므로 그 두 배는 1이겠지만 60도의 사인은 0.866이고, 앞의 값을 아무리 두 배로 해도 뒤의 값이 나오지 않습니다. 항등식이 0.866이 어디서 오는지 설명합니다. 0.5 곱하기 0.866, 곧 30도의 사인과 코사인의 곱에 2를 곱한 값입니다. 두 배가 된 각은 원래 각보다 두 배 크지만, 비는 그렇지 않습니다.

2. 각도 22.5도, 두 배가 되어 45

   1. 22.5도의 두 배는 45도입니다
   2. 45도에서는 점이 직선 y = x 위에 있으므로 사인과 코사인이 같습니다
   3. 두 값이 같다는 것은 탄젠트가 반올림 없이 정확히 1이라는 뜻입니다

   22.5도는 45도의 절반이고, 그래서 이 행은 반각 공식을 보통 원하는 방향으로 읽은 것입니다. 45도는 세 비율이 정확한 몇 안 되는 각이고 흔한 각도표에는 없으므로, 거기 이르는 길은 외운 값이 아니라 두 배가 된 값입니다. 두 비율이 모두 0.7071로 나오는 것은 그 각에서 두 좌표가 같기 때문이고, 탄젠트는 0.9999가 아니라 정확히 1입니다.

3. 각도 90도, 두 배가 되어 180

   1. 90도의 두 배는 180도이고 반 바퀴입니다
   2. 점이 음의 x축 위에 있으므로 코사인이 -1이고 사인이 0입니다
   3. 탄젠트는 0을 -1로 나눈 값이라서 0입니다

   두 배가 된 각이 극단에 닿는 유일한 행입니다. 코사인이 가질 수 있는 가장 작은 값인 -1입니다. 90도는 삼각함수 계산기 페이지가 거절하는 각인데도 이 페이지에서는 아무것도 실패하지 않습니다. 탄젠트를 90도에서 읽는 것이 아니라 180도에서 읽고, 그 자리에서는 아주 얌전하게 0이기 때문입니다. 읽는 각을 옮기는 것만으로 극점에서 벗어날 수 있습니다.

4. 한 바퀴를 넘는 각도 750도

   1. 750도는 30도에 두 바퀴를 더한 각입니다
   2. 두 배로 만들면 1500도이고, 이는 60도에 네 바퀴를 더한 각입니다
   3. 네 바퀴는 아무것도 바꾸지 않으므로 60도와 같은 값을 읽습니다

   네 열이 30도 행과 똑같고, 그래야 마땅합니다. 750도와 30도는 같은 각이므로 두 배도 같고 그 자리의 세 비율도 같습니다. 큰 각을 특별한 경우로 다루는 곳은 없습니다. 두 배가 된 각은 읽기 전에 범위 안으로 되돌려지고 정수 바퀴는 버려집니다. 100만에서 5도를 뺀 각도 같은 이유로 똑같이 처신합니다.

이 페이지가 하지 않는 일이 셋 있습니다. 첫째, 두 배가 된 각의 탄젠트는 45도와 135도, 그리고 두 배가 직각이나 사분의 삼 회전이 되는 모든 각도에서 거절합니다. 그 각들의 음수 버전과 한 바퀴를 넘는 버전도 포함합니다. 두 배가 된 각의 사인과 코사인은 그 자리에서도 평범한 수인데 거절이 각도 전체를 데리고 갑니다. 둘째, 값은 소수 넷째 자리로 주어지고 대부분이 무리수입니다. 두 배가 된 30도의 정확한 사인은 2분의 √3이고 0.866은 그것이 반올림되어 내려앉은 자리입니다. 코사인은 여기서 사인보다 다루기 나쁩니다. 항등식이 두 제곱을 빼는데 45도 근처에서 둘이 거의 같아져서, 나오는 작은 값이 더 큰 두 수의 차이이기 때문입니다. 셋째, 페이지는 되돌리지 않습니다. 두 배가 된 각의 사인이 0.866이라면 그 두 배가 된 각은 60도일 수도 120도일 수도 있고, 원래 각은 그 둘로 두 배가 되는 무한히 많은 각 가운데 어느 것이든 될 수 있습니다. 비에서 각 하나를 되찾으려면 이 페이지가 내리지 않는 결정이 필요합니다.

두 배가 된 각의 사인은 원래 사인의 두 배인가요?

아닙니다. 이 페이지가 겨냥하는 실수가 바로 그것입니다. 30도의 사인은 0.5이지만 60도의 사인은 1이 아니라 0.866입니다. 각도를 두 배로 하는 것은 그 비를 확대하는 일이 아닙니다. 두 배가 된 각의 사인이 실제로 무엇인지는 원래 각의 사인과 코사인을 곱한 값의 두 배이고, 비 하나를 두 배로 하는 것이 아니라 서로 다른 두 값을 곱하는 것입니다.

45도는 왜 거절하나요?

45도의 두 배가 90도이고 90도의 탄젠트는 값이 없기 때문입니다. 90도의 사인과 코사인은 1과 0으로 멀쩡하지만, 이 페이지는 탄젠트까지 함께 보고하며, 일부만 답하면서 전체인 것처럼 내놓는 것은 아무것도 내놓지 않는 것보다 나쁩니다. 같은 거절이 270도로 두 배가 되는 135도와, 그 둘에서 반 바퀴 떨어진 모든 각에 적용됩니다.

배각 공식 세 가지는 무엇인가요?

두 배가 된 각의 사인은 원래 각의 사인과 코사인을 곱한 값의 두 배입니다. 두 배가 된 각의 코사인은 코사인의 제곱에서 사인의 제곱을 뺀 값이고, 1 빼기 사인의 제곱의 두 배나 코사인의 제곱의 두 배 빼기 1로도 적을 수 있습니다. 셋은 같은 수이고, 이미 가지고 있는 비에 맞는 꼴을 쓰면 됩니다. 두 배가 된 각의 탄젠트는 원래 탄젠트의 두 배를 1 빼기 그 탄젠트의 제곱으로 나눈 값입니다.

22.5도는 왜 알아 둘 만한가요?

그 두 배가 45도이고 45도는 비가 정확한 몇 안 되는 각이기 때문입니다. 사인과 코사인이 각각 2분의 √2이고 탄젠트가 정확히 1입니다. 22.5도는 어느 표준 각도표에도 없지만 정확한 각의 절반이므로, 배각 공식을 거꾸로 읽어 도달할 수 있습니다. 그 거꾸로 읽기가 바로 반각 공식입니다.

각도가 음수이거나 한 바퀴보다 클 수 있나요?

됩니다. 둘 다 같은 방식으로 처리합니다. 각도를 두 배로 만든 뒤 결과를 범위 안으로 되돌리므로, 750도는 30도와 똑같이 읽히고 -30도는 330도와 똑같이 읽힙니다. 정수 바퀴는 두 배가 된 각이 가리키는 곳을 바꾸지 않으므로 버려집니다. 다만 보고되는 값은 언제나 0도에서 한 바퀴 사이입니다.

각도를 라디안으로 넣을 수 있나요?

됩니다. 입력칸 옆에 단위 선택기가 있고, 두 배가 된 각은 어느 쪽이든 도로 보고됩니다. 출력이 도로 선언되어 있기 때문입니다. 파이의 3분의 1 라디안과 60도는 같은 각이고 같은 네 수를 줍니다. 늘 그렇듯 비교하려는 자료가 어느 단위를 전제하는지 확인하십시오. 출판된 표는 대개 도를 뜻합니다.

• Double-Angle Formulas — 이 페이지가 적용하는 세 항등식, 그리고 덧셈 공식에서 어떻게 따라오는지 — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Addition Formulas — 배각 공식이 특수한 경우인 항등식들, 모든 것을 외우게 하지 않고 끌어내며 — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — 사인과 코사인과 탄젠트의 정의, 그리고 각각이 값을 가지지 못하는 자리 — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — 직각삼각형의 비를 처음부터 — Math is Fun (United Kingdom)