반각 공식 계산기

sin(θ/2) = √((1 − cos θ) / 2) cos(θ/2) = √((1 + cos θ) / 2) tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)

θ

출발점이 되는 각도이며 도나 라디안으로 넣습니다. 음수일 수 있고 한 바퀴를 넘을 수도 있으며, 무엇이든 절반으로 만들기 전에 범위 안으로 들어옵니다

θ/2

절반 각이고 언제나 0도에서 반 바퀴 사이로 보고됩니다. 페이지의 나머지 수는 넣은 각이 아니라 이 자리에서 읽힙니다

cos θ

원래 각의 코사인입니다. 사인과 코사인의 반각 공식이 필요로 하는 유일한 입력이고, 두 근호가 모두 이것으로 만들어지므로 어색한 각에서도 값이 정확할 수 있습니다

sin θ

원래 각의 사인이고 탄젠트의 두 분수 꼴이 씁니다. 나누는 수이므로 0이어서는 안 되며, 사인이 0인 각은 절반이 직각에 닿는 각과 정확히 같습니다

각도가 절반이 될 예정이고 그 절반에서의 세 비율을 손으로 항등식을 풀지 않고 알고 싶을 때 이 페이지를 씁니다. 구동 진동수의 절반에서 움직이는 진동자, 두 거울면 사이의 각, 중심각의 절반에서 보이는 현, 한 바퀴나 사분의 일 회전의 절반인 걸음이 모두 여기로 들어옵니다. 아래에 있는 반각 공식이 계산기가 적용하는 것과 같은 세 가지 삼각함수 항등식이므로, 이 페이지는 손 계산을 확인하는 데도 씁니다. 넣은 각이 아니라 θ/2의 사인과 코사인과 탄젠트를 한 번에 보고 싶을 때 특히 그렇습니다. 남은 몫은 이웃 페이지들이 덮습니다. 각도가 아니라 그 절반을 쥐고 있으면 배각 공식이 반대 방향으로 가고, 두 페이지는 둘 다 정의되는 곳에서 일치합니다. 넣은 각에서 세 비율을 원하고 절반으로 만들지 않을 생각이면 삼각함수 계산기 페이지가 그 자리에서 읽습니다.

1. 각도 30도, 절반이 되어 15

   1. 30도의 절반은 15도이므로 모든 값을 그 자리에서 읽습니다
   2. 사인의 항등식: 30도의 코사인이 0.866이므로 1에서 빼면 0.134이고, 그 절반은 0.067이며 제곱근이 0.2588입니다
   3. 코사인은 같은 근호 안을 더한 것입니다. 1 더하기 0.866은 1.866이고 그 절반은 0.933이며 제곱근이 0.9659입니다
   4. 탄젠트는 둘의 비인 0.2588 나누기 0.9659라서 0.2679이고, 분수 꼴도 맞습니다. 0.134 나누기 0.5는 0.268입니다

   페이지가 열릴 때의 각도이고, 이 페이지가 겨냥하는 실수를 보여 주는 행입니다. 30도의 사인은 0.5이므로 그 절반은 0.25이겠지만 15도의 사인은 0.2588로 절반보다 조금 큽니다. 두 값이 그럴듯하게 가까워서 틀린 답이 맞아 보이고, 그래서 이 페이지가 옳은 쪽을 인쇄합니다. 원래 각의 코사인이 2분의 √3으로 정확한데도 절반 각은 무리수로 나왔다는 점도 눈여겨보십시오. 각을 절반으로 만들면 각도표 위가 아니라 각도표 밖으로 나가게 됩니다.

2. 각도 90도, 절반이 되어 45

   1. 90도의 절반은 45도입니다
   2. 90도의 코사인이 0이므로 두 항등식이 모두 2분의 1의 제곱근으로 줄어들고, 그 값이 0.7071입니다
   3. 근호 안이 같기 때문에 두 근이 같은 수가 됩니다. 1 빼기 0과 1 더하기 0입니다
   4. 두 값이 같다는 것은 탄젠트가 반올림 없이 정확히 1이라는 뜻입니다

   유명한 각이 유명하지 않은 각에서 나오는 유일한 행입니다. 45도는 세 비율을 정확히 적을 수 있는 몇 안 되는 각이고, 사인과 코사인이 각각 2분의 √2이며 탄젠트가 1입니다. 거기 이르는 길은 외운 각도표가 아니라 절반 각이고, 이 행이 그 길입니다. 사인과 코사인이 같은 수가 되는 행이기도 한데, 그런 일은 45도와 225도에서만 일어납니다.

3. 각도 400도, 40도와 같은 각

   1. 400도는 40도에 한 바퀴를 더한 각입니다
   2. 한 바퀴는 각이 가리키는 곳을 바꾸지 않으므로 40도에서 읽습니다
   3. 40도의 절반은 20도이므로 세 비율이 20도의 값인 0.342와 0.9397과 0.364입니다

   같은 입력칸에 40도를 넣으면 네 수가 모두 똑같이 나오고, 그것이 이 행의 요점입니다. 정리하기 전에 절반으로 만들면 여기서는 200도가, 거기서는 20도가 나와서 같은 질문에 두 가지 답이 생기므로, 순서는 반대쪽으로 고정되어 있습니다. 750도도 마찬가지이고 그 절반은 15도 각의 값이 됩니다.

4. 각도 -30도, 절반이 되어 165

   1. -30도는 330도이고 한 바퀴에서 사분의 일을 남긴 자리입니다
   2. 330도의 절반은 165도입니다
   3. 165도는 제2사분면에 있으므로 사인이 양수이고 코사인이 음수입니다
   4. 그러므로 탄젠트가 음수이고 -0.2679입니다

   사람을 가장 많이 걸려 넘어뜨리는 행입니다. 음의 각은 음의 절반으로 가지 않는데, 각이 먼저 범위 안으로 들어오기 때문입니다. 음의 각의 절반은 원의 위쪽 절반에 있는 각입니다. 여기의 사인은 30도 행과 같은 0.2588이고 그것은 우연이 아닙니다. 15도와 165도는 세로축을 기준으로 접은 자리라서 사인을 공유하고 코사인은 부호가 반대입니다. 탄젠트는 코사인을 따라 부호가 뒤집힙니다.

이 페이지가 하지 않는 일이 셋 있습니다. 첫째, 탄젠트는 180도와 540도, -180도, 그리고 그 각들이 나타내는 모든 각도에서 거절합니다. 각각의 절반이 직각이고 그 자리에서 탄젠트가 값이 없기 때문입니다. 절반의 사인과 코사인은 1과 0으로 평범한 수인데도 거절이 온전한 읽기를 데리고 갑니다. 둘째, 세 비율은 소수 넷째 자리로 보고되고 대부분이 무리수입니다. 인쇄되는 절반 각은 사정이 다른데, 정수 도를 절반으로 나누면 아무리 나빠도 0.5도가 되고 소수 둘째 자리면 그것을 정확히 담기에 충분합니다. 셋째, 페이지는 거꾸로 돌아가지 않습니다. 각도의 절반은 그것에서 한 바퀴 떨어진 모든 각과 공유되므로, 20도라는 값은 원래 각이 40도였는지 400도였는지 아니면 그 사이의 무한히 많은 각 가운데 하나였는지만 알려 줍니다. 195도의 절반이면 원래 각이 입력칸이 받는 범위 밖에 있게 되어 그 방향에는 여기서 답이 아예 없습니다.

절반 각의 사인은 원래 각의 사인의 절반인가요?

아닙니다. 이 페이지가 겨냥하는 실수가 바로 그것입니다. 30도의 사인은 0.5이므로 그 절반은 0.25이지만, 15도의 사인은 0.2588입니다. 둘이 그럴듯하게 가까워서 틀린 답이 합리적으로 보이고, 그래서 이 페이지가 옳은 값과 그 과정을 함께 인쇄합니다. 절반 각의 사인이 실제로 무엇인지는 1에서 원래 각의 코사인을 뺀 값을 2로 나눈 것의 제곱근이고, 사인의 분수가 아니라 코사인의 근입니다.

반각 공식 세 가지는 무엇인가요?

절반 각의 사인은 1에서 원래 각의 코사인을 뺀 값을 2로 나눈 것의 제곱근입니다. 절반 각의 코사인은 같은 근호 안을 빼기 대신 더한 것입니다. 절반 각의 탄젠트는 1 빼기 코사인을 사인으로 나눈 값, 사인을 1 더하기 코사인으로 나눈 값, 또는 1 빼기 코사인을 1 더하기 코사인으로 나눈 것의 제곱근으로 적을 수 있고, 셋이 같은 수를 줍니다. 보통은 제곱근을 아예 피하는 분수 꼴을 씁니다.

음의 각이 왜 음의 각으로 절반이 되지 않나요?

각이 절반으로 만들어지기 전에 먼저 범위 안으로 들어오기 때문입니다. -30도는 330도이고 330도의 절반은 165도입니다. 먼저 절반으로 만들면 -15도가 나오는데 그것도 실재하는 각이지만, 출력이 보고하는 범위에 있지 않고 두 거울상 각 가운데 어느 쪽을 뜻하는지에 대해 페이지의 나머지와 어긋납니다. 읽히는 값은 언제나 원의 위쪽 절반에 있는 각입니다.

180도는 왜 거절하나요?

180도의 절반이 90도이고 90도의 탄젠트는 값이 없기 때문입니다. 90도의 사인과 코사인은 1과 0으로 멀쩡하지만, 페이지는 탄젠트까지 함께 보고하며, 일부만 답하면서 전체인 것처럼 내놓는 것은 아무것도 내놓지 않는 것보다 나쁩니다. 같은 거절이 540도와 -180도, 곧 180도와 같은 각과 거기서 한 바퀴 떨어진 모든 각에 적용됩니다.

배각 공식과 무엇이 다른가요?

같은 세 관계를 반대 방향으로 읽은 것입니다. 배각 공식은 각도에서 출발해 그 두 배에서의 사인과 코사인과 탄젠트를 주고, 반각 공식은 각도에서 출발해 그 절반에서의 세 비율을 줍니다. 중요한 차이는 반올림이 어디로 가는가입니다. 두 배로 만드는 것은 정수 도를 유지하므로 30도의 두 배는 정확히 60도이고, 절반으로 만드는 것은 자주 각도표 밖으로 나가므로 30도의 절반인 15도의 비는 무리수입니다.

각도를 라디안으로 넣을 수 있나요?

됩니다. 입력칸 옆에 단위 선택기가 있고, 절반 각은 어느 쪽이든 도로 보고됩니다. 출력이 도로 선언되어 있기 때문입니다. 파이의 6분의 1 라디안과 30도는 같은 각이고 같은 네 수를 줍니다. 다만 그 단위는 직접 넣는 각에 적용되고 절반에는 적용되지 않으며, 절반은 언제나 도로 보입니다.

• Half-Angle Formulas — 이 페이지가 적용하는 세 항등식, 그리고 절반을 원의 위쪽 절반에 붙잡아 두어 해결하는 부호 문제 — Wolfram MathWorld (United States)
• Double-Angle Formulas — 같은 관계를 반대 방향으로 읽은 것, 그리고 이 항등식들을 보통 처음 만나는 페이지 — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — 사인과 코사인과 탄젠트의 정의, 그리고 각각이 값을 가지지 못하는 자리 — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — 직각삼각형의 비를 처음부터 — Math is Fun (United Kingdom)