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CalcMax

Zスコア計算

計算結果

1.00標準偏差1つ以内

z値（標準得点）

平均からの距離
10.00

z値は、ある値が平均から標準偏差いくつ分だけ上または下にあるかを表します。これが値を別々の尺度の上で比べられるものにします。試験の点数、測定値、実験機器の読みが、この尺度に載せれば1つの数になります。値と、それが属する集団の平均とその集団の標準偏差を入力してください。この計算ツールは平均を引き、標準偏差で割り、z値と、平均からのそのままの距離を一緒に表示します。そのうえで、そのz値がどの帯に入るかも、普通から、珍しい、外れ値候補まで示します。

4つの帯と、その大きさのz値が意味するもの

|z|の範囲読み方
|z| ≤ 1よくある値です。正規分布の値のおよそ68%が平均からこのくらい近くに入ります。
1 < |z| ≤ 2まだ普通です。正規分布のおよそ95%が2標準偏差の中に入るので、真ん中寄りでない値のほとんどはここに来ます。
2 < |z| ≤ 3珍しい値です。正規分布のおよそ5%がここまで外にあり、さらに外はおよそ0.3%だけです。測定そのものを一度見直す価値があります。
|z| > 3正規分布の下ではまれで、外れ値の候補になります。信じる前に測定を確かめてください。下の注意にある小標本の但し書きも参照してください。

帯は経験則、つまり68-95-99.7の規則を、曲線の下の面積ではなくz値の範囲として書き直したものです。使う前に2つ注意があります。百分率は正規分布の性質です。z値はどんな形のデータにも定義されますが、上の割合が述べているのは正規分布だけなので、裾の長いデータセットは、少しも珍しくない値に大きなz値を与えます。もう1つ、境界は上側が閉じています。平均からちょうど標準偏差3つ分の値は第3の帯の内側として数えられます。この規則は3つを超える値についてのものだからです。計算ツールも同じ境界を使うので、結果のバッジとこの表が食い違うことはありません。

公式

z = (x − μ) ÷ σ

x
位置を知りたい値です。尺度の上に載せたい測定値、点数、読みのことです
μ
その値が属する集団の平均です。この引き算が、絶対値を真ん中からの距離に変えます
σ
同じ集団の標準偏差です。これで割ることが、答えを尺度をまたいで比べられるものにします。z値1.5は、データが点数でもミリメートルでも同じ意味になります。0より大きくなければなりません
x − μ
平均からの距離で、もとの単位のまま絶対値として単独で印字されます。尺度を変える前に、隔たりをそのまま読めるようにするためです
z
z値です。値が平均より下なら負、上なら正になります。符号が向きを、大きさがその値の珍しさを運びます

別々の尺度から来た値を比べるときに使います。この尺度が存在する理由がそれです。平均75のクラスで85点を取ることと、平均90のクラスで85点を取ることは同じ成果ではなく、z値はそれを直接言います。1つの読みを参照集団に対して位置づける標準的な方法でもあり、多くの外れ値の規則の最初の一歩です。生のデータしか手元にない場合は、先に標準偏差のページで平均と標準偏差を出してから戻ってきてください。このページが推定してくれることはありません。帯のラベルの意味にも気をつけてください。その裏にある百分率は経験則、68-95-99.7の規則から来ており、それが述べているのは正規分布です。どんな値にもz値はありますが、1標準偏差の中に値の68%が入るのは正規分布だけです。

計算例

  1. クラスの平均より1標準偏差上

    1. 平均からの距離：85 − 75 = 10点
    2. 標準偏差で割る：10 ÷ 10 = 1
    3. z値は1で、85は75より上なので正

    ちょうど1のz値は第1の帯に入り、第2の帯には入りません。経験則は1標準偏差の中に入る値の割合についての記述なので、境界は内側として数えられ、68%はそこに付いている数です。10点という距離とz値1は同じ事実で、1つは試験の単位、もう1つは散らばりの単位です。割り算が買ってくるのはまさにそれです。

  2. ちょうど標準偏差3つ分

    1. 距離：105 − 75 = 30
    2. 割る：30 ÷ 10 = 3
    3. 帯は3で終わるほうです。この規則は標準偏差3つを超える値についてのものだからです

    ここが最も重要な境界で、最も間違えられる境界でもあります。平均からちょうど標準偏差3つ分であることは、3つを超えていることとは違います。0.3%という数は超えている場合のものです。実際には細かすぎる区別で、本物の測定がちょうどそこに乗ることはまれですが、帯と帯の違いはそこにあり、下の表がそれぞれの境界がどこにあるかを書き出しています。

  3. 平均より下で、符号が反転する

    1. 距離：65 − 75 = −10なので、値は平均より10点下です
    2. 割る：−10 ÷ 10 = −1
    3. z値は負です。大きさは最初の例と同じで、値が平均から同じ距離にあるからです

    符号が向きで、大きさが大きさです。平均より10点下の値と10点上の値のz値は−1と+1で、同じくらい珍しいものです。だから帯はzの絶対値から選ばれ、パネルは距離を正の数として報告します。2つを並べて読んでください。符号がどちら側かを、距離がどれだけ離れているかを言います。

適用限界

z値は、与えた平均と標準偏差と同じだけしか良くありません。このページは両方とも与えられたものとして受け取り、確かめる手段を持たないので、間違った列から写した平均は、何の異変も見せずにすべての答えを間違ったものにします。帯の裏にある百分率は正規分布を述べており、現実のデータはしばしばそうではありません。データが偏っているなら、大きなz値は、その値が外れ値だというより、分布が長い裾を持っているというだけかもしれません。知っておく価値のある小さな標本の罠もあります。NISTの外れ値の検出は、n個の値からなる標本で取り得る最大のz値が高々(n − 1) ÷ √nだと指摘しています。ですから11個くらいより少ないとz値は3にまったく届かず、標準偏差3つを線にした経験則は決して鳴りません。最後に、標準偏差は0より大きくなければなりません。すべての値が同一の集団には、比べる相手になる散らばりがなく、このページは答えではなく失敗を報告します。

よくある質問

z値の求め方は何ですか
z = (x − μ) ÷ σ、つまり値から平均を引き、標準偏差で割ります。平均75、標準偏差10に対して85点なら、(85 − 75) ÷ 10 = 1です。引き算が値を0を中心にした尺度に載せ、割り算がそれを散らばりの単位に読み替えます。これが2つの違う尺度を比べられるものにする操作です。
私の値は平均から標準偏差何個分ですか
それがまさにz値が報告するもので、大きさが標準偏差の個数、符号が値が平均のどちら側かを言います。z値が2.5なら平均より2.5標準偏差上、−0.4なら4割だけ下です。パネルはそのままの距離も印字するので、尺度を変えた数と並べて、もとの単位での隔たりを読めます。
高いz値とはどのくらいですか
正規分布の下では、値のおよそ68%が1標準偏差の中に、95%が2つの中に、99.7%が3つの中に入ります。これが経験則です。ですからz値が2を超えると珍しく、3を超えるとまれで、標準偏差3つが外れ値候補のいつもの線になります。この数を判定ではなく読みとして扱ってください。述べているのは正規分布で、偏った分布ならごく普通の値に大きなz値が出ます。
パーセンタイルとの違いは何ですか
別のもので、ただし関係はあります。z値は標準偏差を単位とした距離、パーセンタイルは並べた値のリストの中での位置です。片方をもう片方に変えるには分布の形が要ります。正規分布ならz値1.645が95パーセンタイルに来ますが、その対応が成り立つのは正規分布だけです。z値のほうはそれ自体では何の仮定も要らず、ここで報告してパーセンタイルを報告しないのはそのためです。
標準偏差が0だとどうなりますか
割る相手がないので、このページは数ではなく失敗を報告します。標準偏差が0というのは集団のすべての値が同一ということで、どの値も平均から離れておらず、問いに答えがありません。無限大やエラーを結果として印字するのは、そう言うより悪いことです。ここでの0除算は意味のある読みを生まず、このページはそれを伝えるほうを選びます。
正規分布でなくてもどんなデータセットにも使えますか
z値そのものは使えます。平均を引いて標準偏差で割れば、データの形が何であれ有効な相対位置の尺度になります。気をつけが要るのは帯のラベルのほうです。68-95-99.7という百分率は正規分布の性質で、裾の長いデータセットは、その分布にとって少しも珍しくない値に3をはるかに超えるz値を与えます。帯はその値を見直すきっかけとして使い、判定として使わないでください。

参考文献

関連する計算ツール

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