パーセンタイル計算

位置 = (n − 1) × p（pはパーセンタイルを小数で表した値）。答えはその位置の値で、隣り合う2つの観測値の間を線形補間して求めます

xᵢ

データセットの中の1つの値です。パーセンタイルは大きさではなく位置を使うので、極端な観測値が1つあっても隣の値が少し動くだけで、平均のように答えを引きずることはできません

n

リストの値の個数で、ここでは最大200です。取り得る最大の位置を決めます。100パーセンタイルでは位置がn − 1になり、それが並べ替えたリストの最後の値です

p

指定したパーセンタイルを小数で表したもので、90なら0.9になります。0から100までの値なら何でもよく、小数も使えます。97.5パーセンタイルも50パーセンタイルと同じように正当です

位置

並べ替えたリストのどこを見るかで、0から数えます：(n − 1) × p。8つの値なら90パーセンタイルは位置6.3に来ます。7番目の値から8番目の値へ向かって10分の3進んだところです

Y₍ₖ₎とY₍ₖ₊₁₎

その位置の両側にある2つの観測値です。結果の隣に印字される2つの数で、答えは必ずこの間に来ます。位置が整数のときは、どちらか一方そのものになります

大きさではなく立ち位置が問いになっているとき、つまり1つの測定値が分布全体とどう比べられるかを知りたいときにパーセンタイルを使います。成長曲線、試験の点数、遅延の予算、所得の十分位、臨床の基準範囲はどれもパーセンタイルで、中央値もまた然りです。中央値は50パーセンタイルにすぎません。正当性を説明する必要のあるしきい値にも向いています。「通常のトラフィックの95パーセンタイルを超えたら警報を出す」は、再計算して監査できる規則です。混同しやすい点が2つあります。第一に、パーセンタイルは百分率ではありません。90パーセンタイルを取ることは正答率90%を意味せず、その集団の90%が自分以下だったという意味です。第二に、パーセンタイル順位とパーセンタイル値は向きが逆です。このページが答えるのは「順位pにあるのはどの値か」であって、「この値はどの順位か」ではありません。2つが逆の関係になるのは、名指しした値がたまたまデータ点の1つであるときだけです。ここで使う流儀はハイドマン・ファン7型で、Rの分位関数とNumPyの分位のlinear法の既定です。ほかにも流儀はあり、OpenStaxの入門書はi = k/100 × (n + 1)を使い、少し調べればいくつも式が出てくると明言しています。ですから同じリストでもソフトウェアによって少し違うパーセンタイルが印字され、どちらも間違いではありません。

1. 8つの値の90パーセンタイル：7.6

   1. 並べ替えると2、4、4、4、5、5、7、9。8個なのでn − 1 = 7
   2. 位置：7 × 0.90 = 6.3（0から数える）
   3. 位置6.3は、位置6にある値7と、位置7にある値9の間にあります
   4. 7から9へ10分の3進んだ値：7 + 0.3 × (9 − 7) = 7.6

   7.6は8つの数の中にはありませんが、それが普通です。パーセンタイルはデータの目盛り上の位置であって、データの一員ではないからです。補間はつまずきやすい段なので、隣り合う2つの値を答えの隣に印字しています。7と9が見えていれば、7.6が30%の地点であることが誰にでも分かり、それが位置6.3の意味そのものです。

2. 位置がちょうど値に乗る場合：1から5の25パーセンタイル

   1. 並べ替えると1、2、3、4、5。5個なのでn − 1 = 4
   2. 位置：4 × 0.25 = 1で、整数
   3. 位置1にあるのは値2で、補間するものは何もありません
   4. 隣り合う2つの値はどちらも2で、答えは2

   位置が整数のときは2つの隣が1つに重なり、2行に同じ数が印字されます。補間が起きなかったというパネルの言い方です。これは流儀が一致する場合で、流通しているどの式でもここは2を返し、食い違いは必ずその間に出ます。

3. 値が1つだけの場合：どのパーセンタイルもその値

   1. 並べ替えると42。1個なのでn − 1 = 0
   2. 位置：0 × 0.90 = 0
   3. 唯一の値が位置0にあるので、0から100までのどのパーセンタイルでもそれが返ります
   4. 答え：42

   値が1つだと補間するものも、パーセンタイルを取る相手もないので、このツールは拒否せずどのパーセンタイルに対してもその値を返します。両端に特別扱いが要らないことにも注目してください。0パーセンタイルは最小値、100パーセンタイルは最大値で、どちらも同じ位置の式が自然に導きます。

パーセンタイルは値がどう散っているかについては何も言いませんし、その意味は後ろにあるリスト次第です。10個の値なら90パーセンタイルは2つの値の間の補間で、もう少し数が増えればほとんど動きません。答えは流儀に依存し、いくつも流通しています。このページはハイドマン・ファン7型を使い、これはRとNumPyの既定ですが、別の式を使う教科書もあるので、よそで計算したパーセンタイルが少し違うのは正当なことです。このページは向きが1つだけで、パーセンタイルを値に変えます。逆の問い、この値はどのパーセンタイルに来るかは別の計算で、ここでは提供していません。それを求めるには専用のページが要ります。パーセンタイルは百分率でもありません。90パーセンタイルにいることは集団についての記述であって、100点満点で90点という話ではありません。リストは200個までで、桁の間にコンマを入れた入力は推測せずに拒否します。数字の間のコンマは多くの国では小数点、別の国では桁区切りを意味するからです。コンマを外して書くか、小数で書き直してください。すべては打ち込まれたとおりの数から計算し、補間の前に丸めは行いません。

パーセンタイルの求め方を教えてください

リストを並べ替えてから、位置(n − 1) × pを求めます。nは値の個数、pはパーセンタイルを小数で表したものです。8つの値の90パーセンタイルなら位置は7 × 0.9 = 6.3なので、答えは7番目の値から8番目の値へ10分の3進んだところにあります。位置が整数なら値の上に乗るので、補間するものは何もありません。個数、隣り合う2つの値、答えはすべて上に印字されるので、1回で計算を確かめられます。

90パーセンタイルとは実際には何を意味しますか

値の90%がそれ以下に、およそ10%がそれ以上にあるという意味です。正答率の話ではなく順位の話で、試験で90パーセンタイルを取ることは、問題の90%に正しく答えられたという意味ではありません。この混同はよくあるので、OpenStaxの統計の教科書でも明示的に注意が促されています。試験の点数の90パーセンタイルとは、その点数と同じかそれ以下の点数が90%あるという意味です。

別の計算ツールでは少し違うパーセンタイルが出るのはなぜですか

流通している式が1つではないからで、食い違いはデータ点の間でだけ起き、データ点の上では起きません。このページはハイドマン・ファン7型、つまりRの分位関数とNumPyの分位の既定を使っており、位置は(n − 1) × pで線形補間します。OpenStaxの入門書は代わりにi = k/100 × (n + 1)を使い、少し調べればいくつもの式が出てくると明言しています。どちらも間違いではありません。パーセンタイルは流儀であり、ここでは使った2つの値が印字されるので、どの組を使ったかが正確に分かります。

結果の下にある2つの数は何ですか

答えを補間した元になった2つの観測値で、指定した位置のすぐ下と上の値です。これが画面にあると、結果はもう黒い箱ではありません。7.6の隣に7と9があれば、10分の3だけ進んだ位置だと目に見えます。指定したパーセンタイルがちょうどデータ点に乗るときは位置が整数になり、補間するものはなく、2行に同じ値が印字されます。

0パーセンタイルと100パーセンタイルは何ですか

リストの最小値と最大値で、特別扱いは要りません。位置の式にp = 0を入れると0、つまり最初の値になり、p = 100を入れるとn − 1、つまり最後の値になります。0より下や100より上のパーセンタイルは入力欄が受け付けず、丸め込まずに拒否します。900のような打ち間違いは、黙って最大値として答えられるのではなく、報告されます。

値のパーセンタイル順位を代わりに求められますか

このページではできません。向きが1つだけで、パーセンタイルを値に変える作りだからです。逆の問い、ある値がどのパーセンタイルに来るかは別の式を持つ別の計算で、1つのツールで両方やると結果を条件によって出し分けることになりますが、この結果パネルは意図的にそれができません。順位が要るときは、自分の値を並べ替えたリストと手で見比べるか、よく使う4つの区切りについては四分位数のページを使ってください。

• Measures of the Location of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.3：四分位数とパーセンタイルを定義し、90パーセンタイルは90点のことではないと注意を促し、第kパーセンタイルの式がいくつも流通していると述べている節 — OpenStax（ライス大学）
• quantile — R stats package reference：9種類の分位型を説明しており、既定である7型がここで使っている流儀です — The R Project for Statistical Computing
• numpy.quantile — NumPy reference：linear法の既定が、このページと同じ補間規則です — NumPy
• GB/T 3358.1-2009, Statistics — Vocabulary and symbols, Part 1：パーセンタイルとその他の位置の尺度を定めた、統計の用語と記号に関する中国の国家規格。規格の記録ページには、オンライン全文の提供がない旨が記されています — State Administration for Market Regulation, China