正規分布計算

z = (value − mean) / standardDeviation → 以下 = Φ(z)、以上 = 1 − Φ(z)、以内 = 2Φ(|z|) − 1

value

問い合わせている測定値で、いくつかの平均ではなく1つの観測です。それが照らし合わされる分布の平均と標準偏差と比べられます

mean

正規分布の中心で、μと書きます。パネルの確率はすべてこれを基準に述べられるので、広がりが1のときは平均0にすると値そのものがzスコアになります

standardDeviation

分布の広がりで、σと書きます。0より大きくなければなりません。距離を測る単位であり、だから1つのz表がどんな大きさの分布にも使えるのです

z

値が平均から標準偏差いくつ分離れているかです。平均より上なら正、下なら負、値が平均そのものなら0になります

Φ

標準正規分布の累積分布関数で、与えられたzより左にある曲線の割合です。初等関数では閉じた形に書けないので、表を引くのではなく計算します

生の数ではなく位置が問いになるときに使います。その測定値が、それを生んだ過程にとってどれくらい珍しいか、集団のどれだけがしきい値より上に来るか、中心の合った過程が規格の窓のどれだけを覆うか、といった問いです。正規分布表への標準的な入口でもあります。まずzスコアに換算することが、1つの表をすべての分布に使えるようにします。zスコアそのものが目的で確率が要らないときは、隣のzスコア計算機に任せてください。面積が必要なときはこちらを使います。zスコアだけでは値がどれだけ外れているかは分かっても、それと一緒に曲線のどれだけが外にあるかは分からないからです。

1. 平均より1標準偏差上の場合

   1. 平均を引く：115 − 100 = 15
   2. 標準偏差で割る：15 / 15 = 1なので、zスコアは1
   3. 正規曲線でz = 1より下の割合はおよそ84.13%で、上には15.87%が残ります
   4. 平均の左右1標準偏差の中の割合はおよそ68.27%で、2つの片側の数はそれぞれの端に残ったものです

   3つの数は同じ事実を3通りに言ったもので、真ん中のものが誤読されがちです。下が84.13%というのは、平均より1標準偏差上の値が分布のおよそ6分の5を上回るということで、それでも15.87%が上に残っています。以内は2つの片側確率の合計ではないことにも注意してください。真ん中の帯だけなので、値が平均の近くにあるときはいつも3つの中で最も小さく、値が裾へ離れるほど100%に近づきます。

2. 値がちょうど平均にある場合

   1. 平均を引く：100 − 100 = 0
   2. どんな正の広がりで割っても0なので、zスコアは0
   3. 正規曲線は対称なので、ちょうど半分が平均より下、半分が上にあります
   4. 平均のまわりの幅0の帯は分布をまったく含まないので、以内は0%です

   以内が0%というのは、何か小さな値を丸めたものではありません。厳密に0で、帯の幅が本当に何もない唯一の場合です。だからこの例は、帯の向きについて最もきれいな点検になります。以内は値までの距離を左右に測るので、平均のところでは距離がまったくありません。パネルの残りが頼っている対称性が見える例でもあり、2つの片側確率がちょうど半分に分かれます。

3. 上側の裾のずっと先にある値の場合

   1. 平均を引く：200 − 100 = 100
   2. 標準偏差で割る：100 / 15 ≈ 6.67で、平均より6.67標準偏差上
   3. z = 6.67より上の割合はおよそ1.3 × 10⁻¹¹で、数百億に1つ
   4. 小数第2位ではその割合は0.00%になり、下の割合が100.00%になります

   上の0.00%は、このページで唯一不具合に見えてそうでない数です。本当の割合はおよそ千億分の1.3で、百分率の小数第2位では印字できません。そこから2つのことが従います。0.00%は不可能ではなく「表示されている精度より小さい」と読むこと、そしてパネルは印字された桁より多くの情報を持っていることです。裾はそれ専用の経路で計算されているので、この場合は下側から引いたときに出る0.01や0.02ではなく、きれいな0になります。以内が100%に達していることにも注意してください。左右6.67標準偏差まで届く帯は、いまや曲線のほぼ全体を覆っています。

4. 平均より1標準偏差下の場合

   1. 平均を引く：85 − 100 = −15
   2. 標準偏差で割る：−15 / 15 = −1なので、zスコアは負
   3. z = −1より下の割合はおよそ15.87%で、上の割合はおよそ84.13%
   4. 1標準偏差の中の帯は、z = +1と同じ68.27%。帯が対称だからです

   これを最初の例と比べるのが、符号が何をして何をしないかを見る最短の道です。2つの片側確率は入れ替わり、以内の数はまったく動きません。以内は平均からの距離を左右に測るので、値がどちら側にあるかを区別できないからです。分布のどれだけが中心の近くにあるかという問いでは、これこそが望ましい性質であり、パネルが帯だけでなく片側の数も印字する理由でもあります。

ここにある数はすべて正規分布の性質で、あなたのデータの性質ではありません。zスコアはどんな形の値の集合からも計算できますが、確率が上のとおりになるのは分布が本当に正規であるときだけです。裾が長い分布や偏った分布では、ずっと外にある値が正規曲線の言うよりよく現れ、まず傷むのは裾の見積もりです。平均と標準偏差があっても分布が正規になるわけではなく、正規かどうかを教えることもできません。さらに2つの注意があります。非常に小さな確率は小数第2位では印字できないので、裾のずっと先の値は、真実が小さな正の数であるところに0.00%と表示します。そして入力した値は、既知の平均と広がりに対して読まれる1つの観測として扱われるので、平均や標準偏差の不確かさは勘定に入りません。それらが小さな標本から推定されたときには、これが効いてきます。

確率がすでにあるのに、zスコアは何を足すのですか

4つの数のうち、分布をまたいで通用するのはこれだけだからです。確率は入力した特定の曲線に縛られますが、zスコアが1というのは、どの正規分布でも中心から同じ距離を意味します。広がり15の試験の点数でも、0.01ミリ単位で測る機械部品でも、任意の単位の測定でも同じです。1つのz表がどこでも使えるのはそのためです。まずzスコアに換算し、それから標準曲線から面積を読みます。

とても大きな値で、上の確率が0.00%と出るのはなぜですか

百分率の小数第2位では、その数が本当はどれだけ小さいかを印字できないからです。平均より6.67標準偏差上の値では、その上に曲線のおよそ1.3 × 10⁻¹¹、つまり数百億に1つが残っています。これは実在する正の割合で、ただ表示されている精度よりずっと小さいだけです。0.00%は不可能ではなく「この表示で示せるより小さい」と読んでください。パネルはその裾を、下側の裾から引くのではなく専用の経路で計算します。だから引き算なら出る小さな非ゼロの値ではなく、きれいな0になるのです。

これは経験則と同じものですか

同じで、このページの表はその法則を百分率ではなく距離として書いたものです。経験則は、正規分布のおよそ68%が平均の1標準偏差以内に、およそ95%が2以内に、およそ99.7%が3以内に入ると述べます。それぞれを中心からの距離に置き換えたものが、この表の行そのものです。1つだけ違うところがあります。経験則はふつう丸めた3つの百分率として引用されますが、ここでの割合は計算機が使うのと同じ累積関数から計算されるので、境界にちょうど乗る値もどちらからも一貫した答えになります。経験則でシグマという言い方をしますが、それはこのページの表にあるとおり、平均からの距離の範囲のことです。

標準偏差が0だとどうなりますか

答えずに拒否します。広がり0で割ることは、たまたま確率が1になることではありません。広がりがまったくない分布を表していて、そこではどの観測も平均であり、中心からの距離という考え方自体が意味を失います。パネルは、もっともらしく見える0%や100%を返す代わりにエラーを報告します。負の広がりも同じ理由で拒否されます。標準偏差は距離なので負にはなれず、黙って絶対値を使うとデータの誤りを隠してしまうからです。

正規でないデータにも使えますか

zスコアはどんな値の集合からも計算できます。平均と標準偏差はどんなデータにも存在するからです。仮定を必要とするのは確率のほうです。それは正規曲線の下の面積で、偏った分布や裾の長い分布はそれに一致しません。ずれはまず裾に出ます。大きな距離より先の本当の割合は、正規曲線の主張より大きいことがふつうなので、経験則の3標準偏差より先の0.3%は、あなたの測定についての約束ではなく正規モデルの性質として扱うべきです。

値が標本平均ではなく1つの観測として扱われるのはなぜですか

3つの確率がまさにそれだからです。1つの値の下、上、そしてまわりの分布の割合です。標本平均を同じ平均と広がりに対して読むのは別の計算で、そこで必要な広がりは個々の観測の広がりではなく平均の標準誤差です。両者は標本の大きさの平方根の分だけ違い、片方を他方の代わりに使うと、もっともらしく見えて誤った答えが出ます。あなたの値がそれ自体平均であるなら、標準誤差を標準偏差として入れてください。

• 1.3.6.6.1. Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods：確率密度、平均と標準偏差の役割、そして基準となる場合としての標準正規分布 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods：このページのすべての確率の裏にある累積関数と、それを読むz表 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 標準正規分布（Introductory Statistics 2e, §6.1）— 標準化された値としてのzスコアと、正規分布表が記録している面積 — OpenStax（ライス大学）
• 正規分布の利用（Introductory Statistics 2e, §6.2）— 正規曲線から確率を読むこと。このページが下側と上側として報告する余事象を含みます — OpenStax（ライス大学）