経験則計算

1シグマ：mean ± 1σ · 2シグマ：mean ± 2σ · 3シグマ：mean ± 3σ · kσ ごとの割合 = 2Φ(k) − 1（Φは標準正規分布関数）

mean

分布の中心です。6つの端点はこれを軸に対称なので、動かすと範囲の組全体が滑り、3つの割合はどれも変わりません

standardDeviation

分布の広がり具合であり、法則を数える単位でもあります。1シグマ、2シグマ、3シグマがこれにあたります。正でなければなりません。標準偏差が0の正規分布は1点そのもので、法則の言うことが何もなくなります

kσ

標準偏差の個数で、1、2、3のいずれかです。範囲に入る割合はkだけに依存します。平均と標準偏差が何であっても、3つの割合がどの結果でも同じなのはそのためです

2Φ(k) − 1

−kσから+kσまでの正確な割合です。経験則はこれを読みやすさのために68 / 95 / 99.7に丸めますが、このページは丸める前の値を印字します。丸めた値はその略記にあたります

平均と標準偏差を、実際に指させる範囲に変えるために使います。経験則はふつう割合についての文として出会い、特定の測定値には当てはめにくいものです。「130を超えるものは2標準偏差より外れている」という同じ内容の言い方なら、そのまま使えます。標準偏差そのものの手軽な点検にもなります。平均の左右1標準偏差が、データの68%を含みようのない範囲になる場合、たとえば厳しい上限を越えてしまう場合や、データが目に見えて偏っている場合には、そのデータに正規モデルは適していません。この点検は無料です。このページは全体を通じて正規分布を前提にしており、あなたのデータに分布を当てはめることもしなければ、その前提が成り立つかどうかを教えることもありません。

1. 平均100・標準偏差15の場合

   1. 100の左右1標準偏差は100 − 15 = 85から100 + 15 = 115まで
   2. 2標準偏差は100 − 30 = 70から100 + 30 = 130まで
   3. 3標準偏差は100 − 45 = 55から100 + 45 = 145まで
   4. 割合は平均も標準偏差も使っていません。1σの中が68.27%、2σの中が95.45%、3σの中が99.73%です

   3つの割合はこのページのどの例でも同じで、それはこの例の偶然ではなく法則の中身そのものです。正規分布は中心と広がりの2つの数で完全に記述され、中心からk標準偏差の中に入る割合はkだけで決まります。だから平均と標準偏差は端点を動かし、割合には触れません。もし結果が、平均を動かすと変わる割合を示したら、その割合は間違った量から計算されています。3つを同じ並びに印字しているのは、それが見えるようにするためです。

2. 標準正規分布：平均0・標準偏差1

   1. 0の左右1標準偏差は−1から1まで
   2. 2標準偏差は−2から2、3標準偏差は−3から3まで
   3. 割合は68.27%、95.45%、99.73%のまま変わりません

   平均が0で標準偏差が1のとき、端点は標準偏差の個数そのものになります。だからこの形が覚えておく価値のある経験則です。−1、−2、−3とその正の側の数はzスコアで、ほかのすべての正規分布はこれを引き伸ばしてずらしたものです。割合が入力に依存できない理由もここに見えます。ここでは端点が文字通りkの値であり、その隣の割合は平均100のときと同じなのです。

3. 標準偏差が小さい場合：平均500・標準偏差0.5

   1. 1標準偏差は0.5なので、最初の範囲は499.5から500.5まで
   2. 2標準偏差は499から501、3標準偏差は498.5から501.5まで
   3. 割合はやはり68.27%、95.45%、99.73%です

   法則は標準偏差がきりのよい数であることにも大きいことにも縛られていません。そして分布が狭いときこそ、範囲が一目で読めなくなります。機械加工した部品の公差はふつうこの形で書かれ、目標値と、それよりずっと小さな広がりを持ちます。役に立つ出力は割合の行ではなく端点の行のほうです。99.7の範囲がほとんどすべてを覆うのは、分布が本当に正規であるときに限るという注意でもあります。ここでは3標準偏差は絶対値として小さな区間で、裾の重い実際の過程ならその外側に0.27%よりはるかに多くが来ます。

4. 平均が負の場合：−2.5と標準偏差1.25

   1. −2.5の左右1標準偏差は−3.75から−1.25まで
   2. 2標準偏差は−5から0までで、上端はちょうど0に乗ります
   3. 3標準偏差は−6.25から1.25までで、0をまたぎます
   4. 割合は68.27%、95.45%、99.73%のまま変わりません

   平均が0より下であることは普通のことです。気温の平年差、対数収益率、2つの測定値の差などがそうで、しかも範囲が0をまたぐ例なので、符号を間違えた実装でも正の例ではすべて正しく見えてしまいます。ここで2標準偏差の上端がちょうど0に乗るのは、誤った答えを意図的なものに見せてしまう種類の偶然です。だからこの例は偶然に任せずテストとして固定してあります。標準偏差はどの場合も正のままです。それは座標ではなく幅であり、符号を持つのは平均だけです。

この法則は正規分布のもので、それ以外の何ものでもありません。68%がデータ一般についての事実であるかのように繰り返されることがよくありますが、それは1つの特定の曲線の性質です。形の違う分布は1、2、3標準偏差で違う割合を持ち、偏った分布では平均の左右で割合が大きく違うこともあります。つまりこのページは正規性を検証するのではなく前提しており、ここでの結果はその前提と同じだけしか意味を持ちません。さらに3つの限界があります。標準偏差は正でなければなりません。0では分布が1点に潰れ、平均から0以内に入る割合がいくつかという問いには役に立つ答えがありません。そこでこのページはどちらかを黙って選ぶのではなく、入力を拒否します。3つの割合は正規分布関数の正確な値なので、ふつう経験則が引用される68、95、99.7とは小数第2位で違います。このページは名前に合わせて丸めません。丸めのほうが略記であり、印字された数がそれが指しているものだからです。そしてこのページはあなたのデータに分布を当てはめることも、当てはまるかどうかを検定することもしません。平均と標準偏差を与えられたものとして受け取り、そこから従うものを報告します。

法則は68%と言っているのに、このページが68.27%と出すのはなぜですか

名前にある68は丸めた数で、68.27%はその丸める前の値だからです。経験則は3つの数を覚えるための工夫で、およそ68%、95%、99.7%が多くの人の頭に保持できる形です。正規分布の平均の1、2、3標準偏差の中に入る正確な割合は68.27%、95.45%、99.73%で、このページは引用ではなくそれを計算しています。これらの数の上に計算を積むのなら、積むべきは丸める前のほうです。丸めた数を入力に使うと、その丸めに誰もたどり着けない形でずれた答えが出ます。

平均や標準偏差を変えると割合は変わりますか

変わりません。それがこの法則の中身そのものです。正規分布は中心と広がりの2つの数で決まり、中心からk標準偏差の中に入る割合はkだけで決まります。だから平均を変えると6つの端点が数直線上を滑り、標準偏差を変えるとそれらが伸び縮みしますが、3つの割合はまったくその場にとどまります。もし結果が、入力と一緒に動く割合を示したら、その割合は標準偏差の個数ではなく端点から計算されています。それはデータの性質ではなく誤りです。

この範囲は結局何を教えてくれるのですか。確率なのですか

確率です。分布の割合として読んでください。ある量が本当に入力した平均と標準偏差の正規分布に従うなら、そこから1つ引いた値が1シグマの範囲に入る確率は68.27%です。この範囲は標準偏差を、測定している単位に翻訳してくれるので、その文を特定の数に当てはめられます。ただしあなたの手元の標本についての文ではありません。分布がその確率の68%をある範囲に収めていても、目の前のデータがそこに入る割合は違うことがあります。このページはデータを持っていません。あるのは入力した2つのパラメータだけです。

正規分布が正しいモデルかどうかはどうすれば分かりますか

このページには分かりません。データを一度も見ないからです。代わりに与えてくれるのは、モデルのもっともらしさの手軽な点検です。平均の左右1標準偏差が、値のおよそ3分の2を含みようのない範囲になる場合、たとえば厳しい下限や上限を越えてしまう場合、値が0より下に行けない回数である場合、分布が目に見えて偏っている場合には、正規性の前提が実際に害をなしていて、このページの割合はデータが従っていない曲線を説明していることになります。この問いにきちんと答えるにはヒストグラムか正規確率プロットがふつうの方法で、ここでの算術はその答えの下流にあるもので、代わりにはなりません。

標準偏差が0ではいけないのはなぜですか

標準偏差が0の正規分布は1点に潰れていて、そこで法則は意味を失うからです。どの値も平均にちょうど乗るので、1、2、3標準偏差の幅の範囲はどれも幅が0になり、それらが分布のどのくらいの割合を含むかという問いには、擁護できる答えが2つあります。すべてが平均にあるのだから全部だ、という答えと、区間に広がりがないのだから0だ、という答えで、どちらかを選ぶ手立てがありません。このページはどちらかを黙って選ぶ代わりに、入力を拒否して標準偏差は正でなければならないと伝えます。実際の計算で標準偏差が0になったときは、本物の分布ではなく、観測が1つしかないかデータ入力に問題があることがほとんどです。

zスコアから確率を出す計算機と同じものですか

同じ1つの正規分布への2つの入口です。zスコアの計算機は値を入れるとそれがどこに落ちるか、その下にどのくらいの確率があるかを教えます。このページは平均と標準偏差を入れると、3つの標準範囲とそれぞれが覆う割合を並べます。違うのは問いの向きで、片方は測定値から始まり、もう片方は法則そのものから始まります。入力はわざと同じで、平均と標準偏差が同じ2つの欄にあります。2つのページを行き来しても打ち直さずに済むようにするためで、土台の分布について2つが食い違うことはありません。同じ計算をしているからです。

• 68-95-99.7 Rule — およそ68%、95%、99.7%として述べられた法則、より正確な確率、そしてこの法則が任意の分布についての一般的な主張ではなく正規分布に固有のものであるという注意 — Wolfram MathWorld (United States)
• 標準正規分布（Introductory Statistics 2e, §6.1）— 正規分布に従う変数について述べた経験則：平均の1標準偏差以内におよそ68%、2以内に95%、3以内に99.7% — OpenStax（ライス大学）
• 1.3.6.6.1. Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods：正規分布とそのパラメータ、そしてこのページの3つの割合が計算されるもとになる累積分布関数 — National Institute of Standards and Technology (NIST)