期待値計算

E[X] = Σ pᵢ xᵢ Var(X) = Σ pᵢ (xᵢ − E[X])² σ = √Var(X)

xᵢ

1つの結果、つまり一覧のi番目の値です。負でもよく、小数でもかまいません。一覧はセミコロン、カンマ、空白で区切った数の並びで、最大200個です

pᵢ

その結果の確率で、0から100までの百分率として入力します。2つの一覧は並べて読まれるので、3番目の確率は3番目の結果に対応し、長さが同じでなければなりません

E[X]

期待値です。各結果にそれぞれの確率を掛けて足し合わせたものです。パネルが最初に報告する重み付き平均で、このページでほかの数が測られる基準になる唯一の数です

Var(X)

分散です。各結果について期待値からの差を2乗し、その結果の確率で重み付けします。2乗するので、1つだけ大きく外れた結果がこれを支配することがあります

σ

標準偏差で、分散の平方根です。結果そのものと同じ単位に戻るので、広がりがどれくらいかを知りたいときに読むべき数になります

Σ

一覧のすべての結果にわたって足し合わせます。二重に数えられるものも、落とされるものもありません。確率の合計が100%であることが、一覧全体を可能性の完全な記述にしています

結果が並べられるほど少なく、それぞれに確率を言えるときに使います。払い出し表のあるゲーム、決まった額を払って既知の割合の製品で保険金が出る保証、3つのシナリオがある判断などです。数のほうが可能性ではなく観測値であるときは、代わりに算術平均を使ってください。測定値の並びに必要なのは平均であって期待値ではなく、件数で割ることはどの値も同じ確からしさだと仮定することだからです。このページはその仮定を、明示的な確率で置き換えるものです。結果が式で書ける規則に従うようになったら、代わりに分布を使ってください。決まった回数の試行での成功回数にはそれ自身の平均があり、ポアソンの回数は平均が分散に等しいので、回数とその確率をすべて打ち込む必要はありません。長い目というのは、これらの数がすべて意味を持つ枠のことです。期待値は何度も繰り返したときに平均が収束していく先であって、次の1回の予測ではありません。

1. 確率が等しくない5つの結果

   1. 各結果に確率を小数にして掛ける：5 × 0.10 = 0.5、10 × 0.20 = 2、20 × 0.30 = 6、40 × 0.25 = 10、100 × 0.15 = 15
   2. 5つの積を足す：0.5 + 2 + 6 + 10 + 15 = 33.5。これが期待値
   3. 分散は、各結果から33.5を引いて2乗し、重み付けする：0.10 × 812.25 + 0.20 × 552.25 + 0.30 × 182.25 + 0.25 × 42.25 + 0.15 × 4422.25 = 920.25
   4. 920.25の平方根は30.3356で、これが標準偏差

   確率は百分率として入力します。ここでいちばん間違えやすいのはそれだけです。10を10パーセントではなく分数として読むと33.5ではなく3.35になり、間違った答えはどこも間違って見えません。広がりのほうももう一度見る価値があります。期待値33.5に対して標準偏差30.34ということは、15%という低い確率ながら100という結果がほとんどを担っているということで、分散920.25も同じことを2乗の単位で言っています。

2. 公平なサイコロ：出せない値が答えになる場合

   1. 6つの結果がそれぞれ16.67%で、最後の1つだけ16.65%なのは、6つを足してちょうど100にするため
   2. それぞれの積は1 × 0.1667から6 × 0.1667までで、足すと3.4995
   3. 分散は3.4995からの差を2乗したものの平均で、2.916
   4. 2.916の平方根は1.7076

   期待値が不可能に見えるときに思い出すべき例です。3.5は六面サイコロの正しい答えで、どの面にもそれは出ません。期待値は分布全体の性質であって、1回の振りの予測ではありません。標準偏差がその値を発揮する最もきれいな場合でもあります。1.7076は出目と同じ単位で測られているので、「振りは平均して3.5からおよそ1.7離れる」はそのまま使える文ですが、分散2.916は出目の2乗の単位です。

3. 保険金の支払いと、負の期待値

   1. 2つの結果：何も起きないか、起きて5,000の損になるか（−5,000と書きます）
   2. 重み付けする：0 × 0.97 + (−5,000) × 0.03 = −150
   3. 分散は0.97 × (0 + 150)² + 0.03 × (−5,000 + 150)² = 727,500
   4. その平方根は852.9361

   負の期待値は誤りでも、計算を避ける理由でもありません。それは実際の問いへの答えで、人がこのページに持ってくる最も多いものの1つです。この事象が3%の確率で5,000の損をもたらすなら、期間あたり平均で150かかるということになり、150を超える保険料は、そのリスクを自分で負わないことの値段です。852.94という標準偏差が単独ではほとんど何も教えないことにも注意してください。同じまれな3%の枝に支配されているので、結果が面白い形で散らばっているというより、損が大きく珍しいということを言い直しているだけです。

4. 重み付き平均が単純平均と違う理由

   1. 4つの結果を足すと160なので、単純平均は40
   2. 重み付けすると：10 × 0.40 + 20 × 0.30 + 30 × 0.20 + 100 × 0.10 = 4 + 6 + 6 + 10 = 26
   3. 分散は0.40 × 256 + 0.30 × 36 + 0.20 × 16 + 0.10 × 5476 = 664
   4. その平方根は25.7682

   2つの数は3分の1以上違いますが、その理由は完全に確率の側にあります。大きな結果100は重みの10%しか担わず、小さな結果10と20が2つ合わせて70%を担っています。誰かが平均を、それが重み付きかどうか言わずに引用するとき、この言葉の裏に隠れているのがこの隔たりです。確率0が空欄ではなく意味のある入力である理由でもあります。その結果は一覧の中で場所を占めたまま何も寄与せず、それが「不可能」と「問われていない」の違いです。

このページについて誤読しやすい点が3つあり、どれも算術ではなく入力についてです。確率は合計が100%でなければならず、このページはそれを勝手に直しません。40と50の組み合わせを黙って44.4と55.6に拡大すると、まったく普通に見える数が出ますが、それはあなたが問いていない問いへの答えです。許容は1件あたり最後の桁の半分なので、33.33を3つ並べた99.99は受け付けられ、40と50の組は受け付けられません。2つの一覧は長さが同じでなければなりません。並べて読むからです。確率が1つ足りないのは0ではなくずれであり、このページは間違った数どうしを黙って組にする代わりにそう告げます。入力の先にも限界があります。期待値は繰り返しの長い目で見た話なので、1回きりのことについては役に立つことを何も言いません。またまれな極端な結果に支配されることがあり、そのことは1つの数からは見えません。そのためには隣の標準偏差か分散を読んでください。入力した確率が本当の確率であることも前提にしています。ここにあるのは与えられた数に対する算術で、当て推量の確率の上に建てた精密な期待値は、別の問いへの精密な答えです。最後に、このページにはよくある期待値の表がありません。そのような表は入力した結果と確率を見られず、上のパネルと食い違う表は表がないより悪いからです。

期待値は結局何を教えてくれるのですか

同じ状況を何度も繰り返して結果を平均したらどうなるか、各結果をその起こりやすさで重み付けして教えてくれます。払い出し表のあるゲームなら損益分岐の値段にあたり、1回あたりの期待値が−150なら、遊ぶのに公正な値段は150で、それより安ければあなたに有利です。教えてくれないのは次に何が起きるかです。1回の試行が生むのは一覧のうちの1つの結果で、平均そのものは決して出ません。だから期待値が正であっても、何回か遊べば毎回負けるということは十分ありえます。

期待値が、決して出ない数になることはありますか

あります。むしろ普通です。公平なサイコロの6つの面はそれぞれ16.67%で、期待値は3.5、サイコロにはない面です。理由は、期待値が一覧全体の重み付き平均であって、一覧の一員ではないからです。それは分布の釣り合い点で、釣り合い点は重みの間の空いたところに来ることがあります。宝くじでも同じことが起き、期待値はどの券も生み出せない小さな負の数になります。

確率の合計が100%でなければならないのはなぜですか

同じ可能性の集合を記述する2つの一覧は、そのすべてを数え上げていなければならないからです。確率の合計が90%なら、一覧から結果が1つ抜けているか、確率のどれかが誤っているかで、このページにはどちらかを見分ける手立てがありません。だから推測せずに合計を報告します。あなたの数を100%に拡大することは意図的にしていません。40と50をその合計で割ると44.4と55.6になり、あなたが問いていない問いへの答えが出ますが、パネルにはそれが起きたことを示すものが何もありません。許容は1件あたり最後の桁の半分なので、33.33と打った3つの等分は合計99.99で受け付けられます。

算術平均とは何が違いますか

算術平均は値の個数で割りますが、それはどの値も同じ確からしさだと仮定することと同じです。期待値はその仮定を、自分で選んだ確率で置き換えるので、確率10%の値は確率100%の値の10分の1しか結果を引っ張りません。両者が一致するのは確率がすべて等しいときだけです。4つの結果がそれぞれ25%なら、どちらのやり方でも同じ数になります。食い違うときは違いが完全に重みの側にあります。だから平均が重み付きかどうかを言わずに引用されたら、一度尋ねてみる価値があります。

期待値が負であるとはどういう意味ですか

負ける側の結果が、大きさか起こりやすさの点で残りを上回っているという意味で、同じ判断を繰り返すと平均で損になります。負けると言っているのと同じではありません。5,000の損が3%、何もないのが97%なら期待値は−150で、ほとんどの期間は何もかかりません。負の数が言っているのは、そのリスクが平均でいくらかかるかで、これは保険料や値段、保険の見積もりと比べるべき数です。この計算が最もよく役に立つ場面であり、そこでの負の答えは失敗ではなく結果です。

このページに期待値の表がないのはなぜですか

答えが、入力した2つの一覧に完全に依存し、参考表はそれを見られないからです。人が欲しくなる表は、サイコロ、宝くじ、ルーレットの賭けといった見慣れた場合の短い一覧ですが、どれもそれぞれの結果と確率を持っているので、印刷された行はパネルとは別の問いに答えることになり、ときに公の場で両者が食い違います。パネルがその表です。結果と確率を変えれば同じ3つの行が計算し直されます。固定された表が本当に役に立つのは、評価の段階や区分の境界のように、表が入力に依存しないページです。

• データの中心の尺度（Introductory Statistics 2e, §2.5）— 平均が値の並びの釣り合い点であること、そして1つの極端な値がそれをどう動かすか。期待値が一覧のどの結果からも遠くに位置できる理由 — OpenStax（ライス大学）
• データの広がりの尺度（Introductory Statistics 2e, §2.7）— 分散は偏差の2乗の平均であること。このページがそれを等しく数える代わりに確率で重み付けする量 — OpenStax（ライス大学）
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods：結果が分布を持つとはどういうことか、そして割り当てられた結果から確率をどう読むか — National Institute of Standards and Technology (NIST)