ポアソン分布計算

P(X = k) = e^(−λ) · λ^k / k! ここで λ = eventRate × intervalLength、Var(X) = λ

λ

区間のあいだに期待される事象の回数で、発生率に窓の長さを掛けたものです。この分布の唯一のパラメータで、このページのすべてがその関数になっています。だから発生率と区間を1つの数にまとめず、別々に尋ねているのです

k

問い合わせている事象の回数です。0から上の整数で、0も空欄ではなく本物の答えです。λがおよそ0.7を下回るときは、何も起こらないことが最も起こりやすい結果になります

e^(−λ)

回数を掛け合わせる前の、何も起こらないことの重みです。λが大きくなるほど分布全体が縮むのはこのためで、期待される回数が大きいほど、1回も見ない確率は小さくなります

λ^k / k!

kとともに増えてから減る部分で、平均のk乗を回数の階乗で割ったものです。山はk = λのところに来て、分布はその山に重みの大部分を置きます

mean = variance = λ

この分布を見分けられるようにする性質です。回数の平均とその分散が同じ数なので、標準偏差はいつも平均の平方根になります。平均4回なら√4 = 2、平均1,000回なら√1,000 ≈ 31.6です

区間あたりにいくつの事象が来るかを数えていて、その到来が互いに独立であるときに使います。1時間に何件の電話がかかってくるか、布1平方メートルに何個の欠陥があるか、決まった計数窓に何個の粒子が入るか、といった問いです。条件は2つがほぼすべての重みを持ちます。事象はそれが起こりうる機会に対して希少でなければなりません。回数が事実上ほかの何かで頭打ちになるほど高い発生率は、もはやポアソンではありません。そして固まって起きてはいけません。1つの原因から来るまとまった到来は、この分布の形を与えている独立性を壊します。機会の数が決まっていて数えられるなら、代わりに二項分布を使ってください。ポアソンの回数には上限がありませんが、二項の回数は試行回数を超えられないからです。λが大きくなったら正規近似に移ってください。両者はよく一致し、見慣れた標準偏差の帯が読めるようになります。平均が分散に等しいことは、手に入る中で最速の診断でもあります。回数の集合の分散を平均で割って、その比が1から遠ければその過程は過大あるいは過小にばらついていて、このモデルは形が合っていません。

1. 1時間あたり4件で、3件を尋ねる場合

   1. 発生率は1時間あたり4件で、区間は1時間なのでλは4
   2. P(X = 3) = e⁻⁴ × 4³ / 3! = 0.018316 × 64 / 6 = 0.1954なので19.54%
   3. 0から3までの回数を足すと以下が43.35%、3より上の残りが以上で76.19%
   4. 平均はλ = 4で分散も同じなので、標準偏差は√4 = 2

   ここでは2つの累積の行が重なっていますが、誤りではありません。43.35%と76.19%を足すと119.54%になり、100%を超える分はちょうど3件の19.54%です。3件はどちらの行にも入っています。二項の回数のときと同じ注意で、以上を1から以下を引いて求めるよくある誤り、ここでは56.65%と答えてしまうものを捕まえます。平均が4件のときの3件が目立たない値であることにも注意してください。平均より0.5標準偏差下にすぎません。

2. 分布の中心

   1. 3件ではなく4件を尋ねる：P(X = 4) = e⁻⁴ × 4⁴ / 4! = 0.018316 × 256 / 24 = 0.1954
   2. ちょうどの確率は3件と同じ19.54%です。分布の山がk = 4 = λにあり、その両隣の回数が同じ確からしさだからです
   3. 以下が62.88%、以上が56.65%
   4. 平均、分散、標準偏差は変わりません。λだけに依存するからです

   同じ確率の2つの回数は、分布がλを中心にしている最も明快な目に見える印です。平均4件のとき、3件を見ることと4件を見ることは同じくらい起こりやすく、ほかのどの回数もそれより起こりにくくなります。累積の行はここでも対称ではありません。62.88%に対して56.65%で、以下の行はk = 4の全体を含み、以上の行もそれを含みますが、山より下の分布は上より薄いからです。

3. 同じ発生率を3時間に広げた場合

   1. 発生率は1時間あたり4件のままですが、区間が3時間になったのでλ = 4 × 3 = 12
   2. P(X = 3) = e⁻¹² × 12³ / 3! = 0.0000061 × 1,728 / 6 = 0.0018なので0.18%
   3. 以下が0.23%、以上が99.95%
   4. 平均が12で分散も同じなので、標準偏差は√12 = 3.46

   これが2つの入力欄を分けている理由が分かる例です。変わったのは窓の長さだけで、答えは19.54%から0.18%へ動きました。パラメータが2つの積なので両方の欄が必要で、発生率だけを受け取るページは1時間でも1日でも同じ答えを返してしまいます。要約の行も一緒に動きます。12件が期待されるときの3件は平均より2標準偏差を超えて下にあり、だから以上の行がほぼ確実になっています。

4. 1時間あたり1件で、何も起こらない場合

   1. λ = 1なので、ちょうど0件の確率はe⁻¹ = 0.3679で36.79%
   2. 0件以下を尋ねるのは同じ問いなので、その行は同じ数を繰り返します
   3. 0件以上はすべての回数を覆うので、ちょうど100%です。99.99%ではありません
   4. 平均も分散も1で、標準偏差は1

   λが1というのは教科書の出発点で、このページで最も直感に反する数が出てきます。1時間あたり平均1件の過程が、3分の1を超える割合で1件も起こさないのです。以上の行も読む価値があります。ちょうど100%になるのは、0件以上が分布の全体だからで、累積から引いて計算する実装は99.99%を返しかねません。0件も尋ねる価値のある正当な答えで、だから回数の欄は1ではなく0から始まります。

ポアソンのモデルは静かに破れる2つの前提の上に立っていて、どちらも数を信じる前に確かめる価値があります。事象は互いに独立でなければならず、指定した区間の中で発生率が動いてはいけません。独立性は、到来が原因を共有するたびに崩れます。障害のあいだに電話が殺到する、欠陥が布の1反に固まる、事故が悪天候のときに固まる、といった場合です。症状は、実際の回数がこのページの予測より広がることです。空の区間も、非常に混んだ区間も、モデルが許すより多く現れます。動く発生率は逆の方向に破れます。静かな夜と混んだ朝のあるコールセンターには1つの時間あたりの発生率はなく、2つを平均するとどちらも説明しない数が出ます。前提の先にも、説明で片づけずに拒否する限界が2つあります。区間の長さと発生率はそれぞれ妥当な範囲まで入れられますが、その積には上限があります。平均回数が何百万にもなるとパネルの確率がすべて0に丸まってしまい、このページは0の表を印字するより断るほうを選ぶからです。回数そのものは整数でなければなりません。そしてこのページにはポアソン確率の参考表がありません。人が欲しくなる表は平均の値ごとに1行のもので、その平均は入力した発生率と区間で決まるので、印刷された表は上のパネルとは別の問いに答えることになります。

ポアソン分布と二項分布は何が違うのですか

二項分布は決まった回数の試行の中の成功を数えるので、その回数は試行回数を超えられません。ポアソン分布はひとりでに到来する事象を数えるので、上限がなく、入力する試行回数もありません。二項分布は試行回数と1回あたりの確率という2つの入力を必要としますが、このページは発生率と区間を必要とし、その2つが1つの期待回数にまとまります。両者が一致するのは、試行回数が多く1回あたりの確率が小さい狭い場合だけで、だから実際には希少な事象がどちらの言い方でも説明されます。機会に名前を付けられるなら二項分布、事象がただ到来するならポアソン分布です。

ここで平均が分散に等しいのはなぜですか

この等式が例の偶然ではなくモデルの土台そのものだからです。ポアソンの回数では平均と分散が同じ数λなので、標準偏差はいつも平均の平方根になります。モデルが合っているかを試す手早い方法も与えてくれます。観測した回数の集合を取って、その分散を平均で割ってください。比が1よりずっと大きければ回数は独立ではなく固まっており、1よりずっと小さければ偶然よりも均等すぎます。どちらの場合も別の数を入れて直るものではありません。その過程がポアソンではないという意味です。

k回以下とk回以上が補い合わないのはなぜですか

どちらの行もちょうどk回を含むので、足すと同じ結果を2回数えるからです。上の例では3回以下が43.35%、3回以上が76.19%で、足すと119.54%になります。100%を超える分はちょうど3件の19.54%です。二項の回数のときと同じ算術で同じ罠です。以上を1から以下を引いて読むと、尋ねた確率の分だけずれます。本当の補集合が欲しいときはk − 1回以下の数を使ってください。あるいは3つの行をまとめて読み、ちょうどkがそれらの間の隙間を埋めていることを確かめてください。

どういうとき回数が本当にポアソンになるのですか

事象が独立で、区間の中で発生率が一定で、その事象が起こりうる機会に対して希少であるときです。働いているのは独立性の前提で、いちばんよく破れるのもそれです。固まりは要約された数からは見落としやすいからです。毎月同じ不良件数を報告する工場でも、悪い日と静かな日があるかもしれませんし、その固まりはこのページの予測よりばらついた回数として現れます。実際の点検は前の答えにある方法です。回数の集合の分散を平均と比べてください。近ければこのモデルは良い記述で、離れていればどんな発生率を選んでも直りません。

発生率が0のときはどうなりますか

区間のあいだに何も起こりえないので、0回の確率が100%になり、それ以外の回数の確率が0%になります。このページは失敗せずにそれを報告します。発生率が0の場合も区間の長さが0の場合もλが0になり、事象は期待されません。1回以上を尋ねると0%が、1回も起こらないことを尋ねると100%が返ります。これが明示的に扱われていることは知っておく価値があります。式をそのまま書くとk乗されたゼロの因数と、対数から来る負の無限大が含まれていて、素直に評価する実装は明快な答えではなく意味のない結果を出すからです。

このページにポアソン確率の表がないのはなぜですか

そのような表の行はどれも違う平均の値に属し、ここでの平均はあなたが入力した2つの数の積だからです。印刷された表は1つの発生率と1つの区間には正しく、それ以外の組み合わせには誤りなので、パネルとは別の問いに答えることになり、両者が食い違ったときにはパネルのほうが正しいのです。パネルがその表です。3つの確率の行は、指定した平均に対するちょうど・以下・以上の数で、発生率や区間を変えれば計算し直されます。参考表が居場所を得るのは、評価の段階や区分の境界のように、行がどの入力にも依存しないページです。

• 二項分布（Introductory Statistics 2e, §4.3）— 回数が固定され成功確率が一定の独立試行。ポアソンの回数が持ちえない制約そのものです — OpenStax（ライス大学）
• 1.3.6.6.1. Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods：密度、平均と標準偏差の役割、そして平均の大きいポアソンの回数が近づいていく基準の場合としての標準正規分布 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods：回数が分布を持つとはどういうことか、そして割り当てられた結果から確率をどう読むか — National Institute of Standards and Technology (NIST)