順列計算

P(n, r) = n! / (n − r)! = nPr C(n, r) = n! / (r! (n − r)!) P(n, r) = C(n, r) · r!

n

取り出すもとになる母集団の大きさで、異なるものが何個あるかです。上限は1,000。この上限は考え方ではなく算術のほうの限界で、数はnとともに増え、ある地点を越えると正確な値がこのページで正確に表せる整数の範囲に収まらなくなります

r

取り出す個数です。重複を許さない間はnを超えられません。存在する数より多くの異なるものを取ることはできないからです。重複を許すとrはもっと大きくてよく、このページがまだ正確に計算できる累乗の大きさだけが制限になります

n!

nの階乗で、nから1まで1つずつ下がるすべての整数を掛けたものです。すべてを順番に取る場合の数にあたり、式の (n − r)! で割る部分が取り除いている項でもあります

P(n, r)

並べ方の数です。1つ目の位置にn通り、2つ目にn − 1通り、とr個の位置まで続きます。その積がn! / (n − r)!です

C(n, r)

順序を無視した数で、2行目として報告されます。並べ方の数をr!で割ったもので、r!は選んだ1組を並べられる通りの数です。2行の違いはそれだけです

allowRepetition

このページが2つの設定のどちらにいるかです。重複を許すと数はnのr乗になります。r回の選択のそれぞれが、もう一度母集団全体から選べるからです。順序を無視した行はマルチセットの数に切り替わります

位置に区別があるときに使います。競走の表彰台、配られた最初の3枚の順序、パスワード、ナンバープレート、座席表など、2つの項目を入れ替えると別の結果になる一覧です。結果が集合であるときは、組み合わせの行か、この2ページのもう一方を使ってください。そのとき同じr個の2つの並べ方は同じ答えになり、r!で割ることがまさにその補正です。選んだものをまた選べるときは重複をオンにします。4桁のPINが10⁴通りあるのは、各桁が10個の集合全体から選ばれるからで、異なる球を引く宝くじの抽選はそうではありません。そして1行目が目当てのときも2行目を読んでください。2つの数がそろってこそ、順序がなぜものを言うのかが最も明快に述べられます。両者は1つの因数しか違いません。

1. 10個から3枠、順序を数える場合

   1. 1枠目は10通り、2枠目は残り9通り、3枠目は8通り
   2. 掛けると10 × 9 × 8 = 720通りの並べ方
   3. 順序を無視すると3! = 6で割って120組
   4. 720 / 120 = 6で、これはちょうど3!です

   2行はこのページの要点を1行にしたものです。同じ10個、同じ3枠で、順序を数えると720、数えないと120になり、その比は3!、つまり選んだ3つを並べ替える通りの数です。順列と組み合わせが食い違って見えたときは、片方をもう片方で割るのが点検になります。比が階乗でなければ、算術ではなく設定のほうに問題があります。

2. 8人の走者から表彰台の3枠

   1. 勝者は8通り、2着は7通り、3着は6通り
   2. 8 × 7 × 6 = 336通りの表彰台の埋め方
   3. 順序を無視すると、同じ3人はどの順でも1組なので336 / 6 = 56
   4. 掛け算を逆にしても同じ：8!/(8−3)! = 40,320/120 = 336

   これがこの区別の日常的な形です。競走の結果が順列なのは、銀メダルが金メダルとは違うものだからで、通過者グループが組み合わせなのは、3人が誰であれ同じ3人だからです。同じ数の組が、組み合わせのページでは2行を入れ替えた形で現れることにも注意してください。それは重複ではなく、この対が意図どおりに働いている姿です。

3. 5枚のカードを順に配る場合

   1. 1枚目は52通り、2枚目は51通り、と進んで5枚目は48通り
   2. 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311,875,200通りの順序つきの配り方
   3. 5枚の手札は順序を無視するので5! = 120で割る
   4. 311,875,200 / 120 = 2,598,960。ポーカーの5枚手札でよく知られた数です

   2,598,960はポーカーの確率で必ず引用される数なので、他のどこかで見たことのある数とこのページを突き合わせられる例になっています。順序の因数がとてつもなく大きくなる最も明快な場合でもあります。同じ5枚を別の順で配るのは別の順序つきの配り方ですが同じ手札で、2つの数の間の因数は6ではなく120です。ここではどちらの数も正確で、丸めはありません。

4. 数字の重複を許す3桁のコード

   1. 重複を許すと、3つの位置がそれぞれ10個の数字から独立に選ばれる
   2. 10 × 10 × 10 = 1,000通りのコード
   3. 順序を無視した行はもう1,000 / 6ではありません。777のようなコードの並べ替えがすべて異なるわけではないからです
   4. これはマルチセットの数になり、C(10 + 3 − 1, 3) = C(12, 3) = 220

   ここで面白いのは2行目のほうです。異なるものであれば順序を無視した数は並べ方の数をr!で割っただけですが、重複を許すとその割り算は補正しすぎになります。777の異なる並べ方は6通りではなく1通りしかないからです。だからこのページは割る代わりに別の式に切り替えます。220は10個の数字から作れる3桁のマルチセットの数で、重複の切り替えが1行目だけでなく両方の行を変える理由がここにあります。

説明で片づけずに実際に拒否する境界が2つあり、数に驚く前にどちらも知っておく価値があります。重複を許さない間、rはnを超えられません。異なる3個しかない母集団から4個取るのは、起こりにくい結果ではなく実行できない要求で、このページは0を返す代わりにそう告げます。0は他の場面では正当な数なので、答えとして読まれてしまうからです。母集団の大きさは1,000で頭打ちです。そして実際に効いてくるのは2つ目の限界のほうで、並べ方の数はきわめて速く増える積であり、このページは科学的表記の近似ではなく正確な整数を報告します。真の値が正確に表せなくなった地点から先は、このページは末尾の数桁が誤った整数を印字するのではなく答えを拒否します。もっともらしく見える誤った数は、ここでは明快な拒否よりはるかに悪いからです。誤った数は、それに依存する何かに写されてしまうからです。重複の枝にはもっと小さな算術の限界もあり、そこでは数が累乗なので、非常に大きな指数が同じように桁あふれします。意味についても2点あります。ここにあるのはどちらの行も確率ではありません。どちらも同じ確からしさの並べ方の数で、数を確率に変えるには場合の数の総数で割る必要があり、それはこのページの数の組ではなく手順のほうで決まります。そしてこのページには階乗、二項係数、パスカルの三角形の参考表がありません。理由は下の5番目の質問に書いてあります。

順列と組み合わせは何が違うのですか

順列は並べ方を数え、組み合わせは集合を数えます。選んだ2つを入れ替えると、順列では別の結果になり、組み合わせではなりません。このページは両方を報告するので、関係が主張ではなく目に見えます。並べ方の数はいつも2つのうち大きいほうで、それをrの階乗で割るともう一方の行になります。実際に尋ねるべきことは、位置が意味を持つかどうかです。競走の結果や順に配るカードのように3番目の枠が2番目と違うなら並べ方の数が要りますし、選んだ3つが入れ替え可能なら集合の数が要ります。

2つの行がちょうどrの階乗だけ違うのはなぜですか

選んだr個の集合はいつもr!通りの順に並べられ、並べ方の数はその1つ1つを別の結果として数えるからです。r = 3とすると、どんな3つも6通りに並べられるので、1つの集合が6つの並べ方に対応し、並べ方の数は集合の数の6倍になります。これは計算を手早く点検する最短の道でもあります。2つの行を割ると答えが階乗になるはずです。ならなければ、ずれは算術ではなく設定のほうにあり、たいていは母集団の大きさか重複の設定が、説明しようとしている状況と合っていません。

同じものを2回選ぶのが別の結果になるのはいつですか

その状況がそもそも2回選ぶことを許すときです。それが重複の設定が切り替えるもので、1行目だけでなく両方の行を変えます。4桁のPINは各桁を10個すべてから選び直すので、0000もほかの重複も普通の結果で、数は10⁴通りです。宝くじの抽選は球を筒から取り出すので、同じ数は2回現れえず、数は下降する積になります。重複を許すと集合の数は並べ方の数をr!で割ったものではなくなります。777のような選び方の異なる並べ方は6通りではなく1通りしかないからで、このページはその行にマルチセットの数を使います。

母集団より多くのものを取ろうとすると、このページが拒否するのはなぜですか

重複を許さない間、rがnより大きいことは実行できない手順を表すからです。異なる3個しか使えないのに4個目の異なるものが存在しません。このページは0を返す代わりに問題を報告します。0は他の設定では正当な数で、答えとして読まれてしまうからです。重複をオンにすれば同じ要求がまったく普通になります。3個を5回、重複を許して取るのは3⁵ = 243通りの並べ方です。だからこの制限はrそのものではなく、2つの設定の組み合わせに掛かっているのです。

この2ページにパスカルの三角形や階乗の表がないのはなぜですか

ここに表を置いても、あなたが入力した2つの数を見られないからです。人が欲しくなる表、つまり階乗、二項係数、パスカルの三角形の行は、小さな固定値のための一覧です。それをページに載せると、上のパネルとは別の問いに答えることになり、いま見ている行と目に見えて食い違うこともあって、それは表がないより悪いのです。パネルがその表です。n、r、重複の設定を変えれば両方の行が計算し直されます。この2ページは、片方だけが表を出してもう片方が出さないのではなく、ほかの数え上げの道具と同じ判断に達しています。両者は同じ問いの2つの向きだからです。

母集団が大きいと答えが出なくなるのはなぜですか

並べ方の数が長い整数の並びの積で、このページが正確に表せる最大の整数を、ほとんどの人の予想よりずっと早く越えるからです。19の階乗はすでにその先にあり、それでも18桁という見た目は警報には見えません。その先ではこのページは、末尾の数桁が誤った数を印字するのではなく答えを拒否します。正確な数では桁そのものが値だからです。誤った整数はまったく普通に見え、それに依存する計算に写されてしまいます。母集団の上限1,000は同じ懸念に対する別のもっと緩い歯止めで、算術をまだ試す価値がある大きさで入力を止めます。

• Permutation — 順序づけられたリストの要素の並べ替えと、与えられた大きさの集合に対するその数 — Wolfram MathWorld (United States)
• Combination — 集合から順序を無視して選ぶ通りの数。二項係数とも呼ばれ、n choose kと読みます — Wolfram MathWorld (United States)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods：確率の度数としての読み方。等確率の並べ方の数がどうやって確率になるか — National Institute of Standards and Technology (NIST)