熱膨張計算

ΔL = α · L · ΔT and, for an isotropic solid, ΔV / V = 3 · α · ΔT

α

線膨張係数。100万分の1毎度（ppm/K）で表す物質定数で、既知の温度変化の下で棒が伸びるのを眺めて測ります。声に出して言えば小さな数です。アルミニウムの23.1×10⁻⁶は、1メートルのアルミニウムが1ケルビンあたり23.1マイクロメートル伸びるという意味で、だから日常の中で何かが膨張して見えることはありません。係数は普通の物質の間で30倍以上開いています。約1.5×10⁻⁶のインバー——この効果に免疫を持つように設計された合金で、それを必要とした振り子棒や精密機器に使われました——から、硬質塩化ビニルなどプラスチックの55×10⁻⁶以上までです。したがって仕事のほとんどは正しい行を選ぶことで、そのあとの算数は掛け算1回です。

L

始めの温度での長さ（選んだ単位ではミリメートル）。元の長さであって、最終的な長さでも平均でもありません。この区別は、測った最終長さから係数を逆算しようとしたときに初めて姿を現します。手計算が驚くほど頻繁に静かに狂うのはそこです。ここでの基本単位がミリメートルなのは、答えが読める形に保たれる単位だからです。1メートルのアルミニウムを40 K温めると0.924 mm伸びますが、これを0.000924 mと印字しても誰の役にも立ちません。0は合法な入力です——長さのない棒は膨張しません——が、負の値はそうではないので、この欄の下界は0で閉じてあり、その先の検査がそれ未満を拒みます。

ΔT

温度変化（ケルビン、または摂氏——どちらも同じ大きさで、ここでは温度ではなく変化なので、どちらで入れても正しい）。負の値は普通で、冷えることを意味します。40 K冷えた鋼は縮み、膨張量は負で出てきます。算数がそう言うべきとおりの形です。±500 Kという範囲は液体窒素から熔炉までを覆い、数十度の単位で仕事をしている読者には十分すぎるほど広く開いています。現実の例はほとんどそこに住んでいます。

ΔL

長さの変化（mm）。膨張後の長さと並べて印字するので、変化の量と、それを足した結果の両方が一度に見えます。絶対値としては小さな数で、そこがまさに罠です。0.9 mmは取るに足らないように聞こえますが、棒の行き場がなくなった瞬間にそうではなくなります。拘束された棒は「膨張しない」わけにはいきません——膨張は応力に変わり、弾性率が大きいので力は少しも小さくありません。鉄道のレールが隙間を空けて張ってある理由であり、長い橋が連続した床版ではなく片端にフィンガージョイントを持つ理由です。このページが返すのは自由に膨張できる場合の長さ変化で、膨張を妨げたときに現れる応力は2つ目の計算です。本当の被害はそちらに住んでいます。

3 · α · ΔT

体積の側で、体積ではなくひずみ（%）として示します。同じ測定からただで出てくるのがその形だからです。3つの次元がそれぞれα · ΔTだけ伸びるので、立方体の体積はおよそ3 · α · ΔTだけ増えます。この3倍には注意が2つ付きます。等方的な物質——金属、ガラス、一様とみなせるプラスチック——では成り立ちますが、木材（繊維に沿う方向と直交する方向で伸び方が違います）、積層複合材、単結晶では成り立ちません。そしてこれは微小ひずみの近似です。正確な係数は(1 + α·ΔT)³ − 1で、この大きさでは何桁も一致しますが、問題になるほど大きな温度変化では一致しません。

何かの両端を剛な架構に固定する前に使ってください。レールを敷くとき、配管をアンカー間に渡すとき、きつい寸法でガラスをはめるとき、アルミ部品を鋼にボルト留めするとき、橋の床版の隙間を決めるときです。同じ問いの日常版にも使います——熱い湯をかけると金属のふたが外れる、あるいは温めるまで瓶が開かない、というのは、ふたのほうが係数が大きいか質量が小さいために先に膨らむからです。答えるのは自由で拘束のない膨張についてだけです。部品が両端で拘束されているなら、このページが教えるのは「なりたがっている長さ」で、より役に立つ数——代わりに生じる応力——は物質の弾性率から出るもので、ここからは出ません。伸縮継手や配管のループ、長穴、すべり支承は、材料に行き場を与えるための作りです。

1. 既定の値：1 mのアルミニウムが40 K温まる

   1. ΔL = α · L · ΔT = 23.1×10⁻⁶ · 1,000 mm · 40 K
   2. 23.1×10⁻⁶ · 1,000 = 0.0231 mm/K
   3. 0.0231 · 40 = 0.924 mm
   4. 膨張後の長さ：1,000 + 0.924 = 1,000.924 mm
   5. 体積ひずみ：3 · 23.1×10⁻⁶ · 40 = 0.2772%

   1メートルに対して1ミリ弱、晴れた午後が作れる程度の温度変化です——このページがある理由であり、結果を3桁まで印字している理由でもあります。ひずみの行は同じ結果を裏側から見たものです。体積の0.28 %は小さな数ですが、0ではありません。3方向すべてを拘束された部品はそれを受け止められません。パネルが係数をそのまま返してもいることに注目してください。あの行は選んだ材質そのもので、残りを信用する前にドロップダウンを確かめるために出ています。

2. 定番の場合：25 mの炭素鋼レールが60 Kの日差しを受ける

   1. ΔL = 12×10⁻⁶ · 25,000 mm · 60 K
   2. 12×10⁻⁶ · 25,000 = 0.3 mm/K
   3. 0.3 · 60 = 18 mm
   4. 膨張後の長さ：25,000 + 18 = 25,018 mm

   1本のレールに18ミリ、冬の夜から夏の午後まででこれだけです。レールの隙間をどれだけ取るかを決めているのがこの数で、軌道が連続した溶接の帯ではなく隙間を空けて敷かれる理由であり、現代の連続溶接軌道が張力を管理して引き伸ばし定着される理由でもあります。同じ18 mmが、1か所の座屈ではなくレール全体に散った扱いやすい応力になるからです。鋼が膨張するかどうかという話ではありません。いつも膨張します。

3. 冷却、そして負の答え：ステンレス鋼が40 K冷える

   1. ΔL = 17.3×10⁻⁶ · 500 mm · (−40 K)
   2. 17.3×10⁻⁶ · 500 = 0.00865 mm/K
   3. 0.00865 · (−40) = −0.346 mm
   4. 膨張後の長さ：500 − 0.346 = 499.654 mm

   変わるのは温度変化の符号だけで、計算機は収縮を負の膨張として、より短くなった最終長さとして報告します。これは正直な約束ごとで、部品を組み付けるときにはこちらを保つべきものです。液体窒素で縮めたステンレスのスリーブは、室温では入らなかった軸にすべり込みますし、そのときの長さは削り出した500 mmではなく上の499.654 mmです。どちらの行も印字するのはどちらも要るからです。はめあいには収縮量、組立図には最終長さが要ります。

4. 表の端：鋳鉄100 mが+500 K

   1. ΔL = 10.8×10⁻⁶ · 100,000 mm · 500 K
   2. 10.8×10⁻⁶ · 100,000 = 1.08 mm/K
   3. 1.08 · 500 = 540 mm
   4. 膨張後の長さ：100,000 + 540 = 100,540 mm
   5. 体積ひずみ：3 · 10.8×10⁻⁶ · 500 = 1.62%

   100メートルに対して半メートル、常温から熔炉までという変化でこれです。鋳鉄の係数が低いことは、それがエンジンブロックや機械のベッドの材料だった理由です——普通の金属の中では一番動きません——そしてこの例は、この効果が無視できなくなる目盛りを示すためにあります。540 mmは公差ではなく、設計上の特徴です。この欄の上限がこれだけ広い理由も分かります。冷えた状態から熱い状態まで行く100 mの配管を本当に持っている読者を、このページは拒むより答えたいのです。

体積の行は、物質がどの方向にも同じように膨張することを前提にしています。金属とガラスでは成り立ちますが、木材、単結晶、積層複合材では成り立ちません。それらでは軸ごとに自分の係数が要り、3倍という数字は何の意味も持ちません。係数そのものは20 °Cあたりの基準温度で示された値で、αは温度とともにゆっくり上がるので、500 Kの振れに対する答えは、その温度での測定ではなく室温の測定からの外挿です。便覧の値も一致しません。アルミニウムは下の資料の一方で23×10⁻⁶、もう一方で25×10⁻⁶で、数 %の違いがあります。どの答えでも3桁目は飾り、1桁目が本当の情報だと思ってください。このページが返すのは自由に膨張できる場合の長さ変化で、両端を押さえられたときに何が起きるかには触れていません。同じ膨張が妨げられると、大きさE·α·ΔTの応力になります。鋼で60 Kなら100メガパスカルを軽く超え、レールを座屈させ、溶接を割るのに十分です。そのどれも上の数には表れません。時間についても何も言いません。厚い鋳物はむらに温まるので、膨張は一様な長さの変化ではなく勾配と反りとして現れます。そして変化が材料の軟化点より下で起きることも前提にしています。ガラス転移の近くにあるプラスチックや、融点の近くにあるものは、1つの係数で記述できる範囲の外です。

熱膨張の式は何ですか

ΔL = α · L · ΔT——長さの変化は、物質の線膨張係数×元の長さ×温度変化に等しい、という式です。どの方向にも同じように膨張する固体では、体積は割合で3倍増えるので、体積ひずみは3 · α · ΔTになります。同じ関係に、余分な物理ではなく次元が3つあることから来る係数が付いただけです。このページは両方を表示し、2つ目は体積ではなくひずみ（%）として報告します。係数から直接出てくるのがその形だからです。

鋼は1度あたりどれだけ膨張しますか

およそ12×10⁻⁶毎ケルビンなので、1メートルの鋼は1度あたり0.012 mm——12マイクロメートル、紙1枚の厚さの8分の1ほど——伸びます（紙はおよそ0.1 mmです）。冬の夜と夏の午後の間の60 Kで、25 mのレールは18 mm伸びます。レールの隙間がある理由であり、連続溶接軌道がただ敷くのではなく張力を入れて定着されなければならない理由です。アルミニウムは23×10⁻⁶でおよそ2倍、硬質塩化ビニルは55×10⁻⁶で鋼の4倍以上あり、同じ距離の配管でもプラスチックのほうが支持間隔も伸縮ループの余裕も多く要るのはそのためです。

体積の変化が長さの変化の3倍なのはなぜですか

固体は3つの方向に同時に伸びるからです。それぞれの次元がα·ΔTの割合だけ伸びるので、立方体の体積は(1 + α·ΔT)³ − 1だけ増え、この程度の小さな数では、誰も必要としない桁まで3·α·ΔTと一致します。ただしこの3倍は等方性の帰結です。どの軸に沿っても同じように膨張することを前提にしています。木材はそうではありません（繊維に直交する方向のほうがずっと大きく動きます）し、単結晶も積層複合材も違います。それらでは、このページの体積の行は正しい答えの近似ではなく、別の問いへの答えです。

入力する長さは元の長さですか、最終的な長さですか

元の長さ——温まる前、始めの温度での長さです。これは見た目より重要です。測った最終長さから係数を逆算するには元の長さで割る必要があり、代わりに最終長さを使うとα·ΔT程度の相対誤差が入ります。鋼では無視できますが、大きな温度変化を受けるプラスチックでは無視できません。このページは変化と新しい長さの両方を印字するので、どちらがどちらか分かります。変化はいつでも、入力した値に対する変化です。

伸縮継手はどこで効いてきますか

膨張を自由にさせておけないときに作るものです。両端を押さえられた部品は、なりたがっている長さのままではいません。膨張が妨げられて応力に変わり、その大きさは物質の弾性率×α·ΔTの程度になります。鋼で60 Kなら100メガパスカルを軽く超え、レールを座屈させ、配管をたわませ、溶接を割るのに十分です。伸縮継手、ループ、長穴、すべり支承はどれも、材料に行き場を与える方法です。このページの計算は、どちらにせよどこかで支払わされるからです。

表によって係数が違うのはなぜですか

係数が完全に一定でも、完全に合意されてもいないからです。αは温度で変わるので、20 °Cで示された値と0〜100 °Cで平均した値は同じ物質でも別の数になりますし、便覧は同じ名前の下で違う合金を載せています。下の資料の一方でアルミニウムは23×10⁻⁶、もう一方では25×10⁻⁶ですし、「ステンレス鋼」はおよそ10から18×10⁻⁶まで幅のある一族を指します。ほとんどの用途では違いは数 %で、判断は変わりません。それが効くとき——精密機器、長い配管、きついはめあい——は、別の表を選ぶ理由ではなく、実際のロットを測る理由です。

• 固体と液体の熱膨張（College Physics 2e, §13.2）— 係数の定義つきの ΔL = αLΔT、体積に対する β ≈ 3α の関係、そして身近な金属の係数の表 — OpenStax (Rice University)
• Linear thermal expansion coefficients of materials — このページの表が参照している便覧値（鋳鉄、黄銅、ステンレス鋼、PVCを含む） — The Engineering ToolBox