標準誤差計算

平均：SE = s / √n　　s = √( Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) )　　比率：s = √(p(1 − p)) × 100

SE

標準誤差——推定値の標準偏差で、このページの主結果です。データではなく推定値についての問いに答えます。標本を繰り返し取ったら、標本平均が母平均から典型的にどれくらい離れるか、です。信頼区間が組み立てられ、検定統計量が割られる数なので、単独で計算する価値があります

s

標本の標準偏差で、分母はn − 1です。平均のモードで標準誤差が導かれるもとであり、割り算を確かめられるように専用の行に印字されます。nではなくn − 1にするのが、これを母集団の広がりの不偏推定にするものです。nを使うと変動が少し過小になり、その過小は標本が最も小さいところでちょうど最大になります

n

標本に入っている観測の数——件数で、これも専用の行に印字されます。平方根の下に現れるので、標準誤差はゆっくり縮みます。データが10倍で標準誤差はおよそ3分の1です。比率のモードでは、これは一覧から導いた件数ではなく標本サイズの欄です。百分率は一覧を伴わないからです

x̄

標本平均で、標準偏差の算術に見える中心を持たせるために印字されます。標準誤差そのものには関与しません。標準誤差は広がりと標本サイズの性質で、データがどこに座るかの性質ではないからです。だからデータ集合はどんな定数を足しても標準誤差は変わりません

p

標本比率で、式の中では小数、パネルでは百分率です。比率のモードでは標準偏差を完全に置き換えます。イエスかノーかの問いでは変動は百分率の関数で、半々のとき最大になり、百分率が0か100に近づくにつれて何も残らないまで縮みます。× 100は結果を百分率点に戻すので、それが来た百分率と並べて読めます

データが手元にあって、推定値の標準誤差が欲しいときに使います。信頼区間を手で組み立てる、報告の中の数を確かめる、結果の幅のどれだけがデータの広がりから来てどれだけが標本サイズから来るかを見る、といった用途です。標準偏差と件数を並べて印字すると、この分業が見えます。データを変えれば標準偏差の行が動き、標本サイズだけを変えれば標準誤差の行が動いて標準偏差は動きません。2つのモードがあるのは、最もよくある2つの推定が違う入力を必要とするからです。平均は標本が要ります。測定がどれくらい広がるかを予測するものは何もないからです。比率は要りません。その広がりが自分の値から決まるからで、調査が標本サイズだけで誤差範囲を引用できるのはそのためです。どちらのモードも、推定がほぼ正規になるだけの標本があるかは確かめません。それはもとの分布がどれくらい歪んでいるかで決まり、比率のモードにはn·pとn·(1 − p)についての、このページが強制しない、より具体的な経験則があります。

1. 既定：標準偏差がおよそ2.14になる8つの数

   1. 件数：8個。平均：(2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5
   2. 5からの偏差の二乗は合計32なので、標本分散は32 / 7 = 4.5714
   3. 標準偏差：√4.5714 = 2.1381
   4. 標準誤差：2.1381 / √8 = 2.1381 / 2.8284 = 0.7559

   数はどれも外れずに5の両側に散らばっており、それがこれを有用な既定にしています。平均はきりのいい数で標準偏差はそうではないので、最後の2行を混同しようがありません。パネルを上から読むのが要点です。2.1381はデータについての事実、0.7559は推定値についての事実で、その間にあるのは√8で割るという1つだけです。標本サイズと百分率の欄はこのモードでは使われないまま残ります。

2. 標準誤差がちょうど1になるように選んだ9つの数

   1. 平均：(3 × 4 + (−3) × 4 + 0) / 9 = 0
   2. 偏差の二乗：9が4つ、9が4つ、そして0で、合計は72
   3. 標本分散：72 / 8 = 9なので、標準偏差は3
   4. 標準誤差：3 / √9 = 3 / 3 = 1

   9個という観測は、n − 1の分母が目に見えて効くほど小さい数です。9で割れば分散は8、標準偏差は2.8284になり、標準誤差は1ではなく0.9428と出ます。これがこの修正の仕事です。小さな標本では観測された広がりが母集団の広がりのわずかな過小推定になり、件数より1つ少ない数で割ることがそれを補正します。n = 9とs = 3の組は信頼区間のページが使うのと同じ組で、その区間は自由度8のt値が2.306なのでちょうど±2.306になります。

3. 比率にはデータの一覧が要らない

   1. 比率を小数で：60% = 0.6
   2. 百分率点での標準偏差：√(0.6 × 0.4) × 100 = 0.4899 × 100 = 48.9898
   3. 標準誤差：48.9898 / √100 = 48.9898 / 10 = 4.899
   4. データの一覧は完全に無視されます。件数の行は代わりに標本サイズの欄を報告します

   データの欄はまだ画面にあり、まだ一覧を保持していますが、答えの中では何もそれを使いません。このモードでは変動は百分率から来て、標本サイズは自分の欄から来ます。標準偏差の行が48.99と読めるのはそのためです。イエスかノーかの問いにしては見慣れない数です。これは0と100で符号化した二値変数の標準偏差で、ここでの唯一の役目は√nで割られることです。同じ構造は標本サイズのページにも現れ、そこでは百分率が分かる前に研究を計画するため、最悪の場合のp = 0.5が使われます。

4. n − 1の分母が最も働く、2つの観測

   1. 平均：5
   2. 偏差の二乗：25と25で、合計は50
   3. 標本分散：50 / 1 = 50なので、標準偏差は√50 = 7.0711
   4. 標準誤差：7.0711 / √2 = 7.0711 / 1.4142 = 5

   観測が2つだと標準偏差は2つの間の距離のちょうど半分になります。n − 1の分母が残す自由度は1つで、式は計算するというより見て取れるものに還元されます。標準誤差はその標準偏差を√2で割ったもので、ここでは5です。これは平均のモードでこのページが受け付ける最小の標本で、2つの数からの推定が実際どれくらい広いかを一度試してみる価値があります。標準誤差はデータの範囲の半分になります。

このページは推定値の標準誤差を報告し、それを区間や検定に変える手前で止まります。この境界は意図的です。区間には臨界値が要り、それは信頼水準と、広がりを標本から推定しなければならなかったかどうかで決まります。検定には比較する2つ目の統計量が要ります。どちらも隣のページにあり、ここでの算術はどちらかへの代わりではなくどちらへの入力でもあります。平均のモードは観測が独立であることを前提にしており、同じ対象への反復測定、対応のある対、学校の中の生徒のような集まったデータでは成り立ちません。3つとも有効な標本サイズは件数より小さく、標準誤差は小さく出ます。また一覧に含めるつもりの観測がすべて入っていることも前提にしています。標準誤差は入力されたものから計算され、外れ値をうっかり落とすと狭くなります。比率のモードには別の注意があります。その式は大標本の近似で、成功または失敗の件数が少ないときに悪く振る舞います。そのため小さめの標本から出た0や100に近い百分率は、この標準誤差より正確な区間に向いています。どちらのモードも推定が偏っているかは判断しません。どんな標準誤差にも検出できないことです。

標準偏差と標準誤差の違いは何か

標準偏差は個々の値が自分の平均からどれくらい離れているかを記述し、標準誤差は標本平均が母平均からどれくらい離れているかを記述します。2つ目は1つ目を√nで割ったもので、その割り算が関係のすべてです。だから両方を印字しています。標準偏差はデータの性質で、より多く集めても変わりません。標準誤差は標本が大きくなるにつれて縮み続けます。パネルでの有用な確認：数を変えれば両方の行が動き、件数だけを変えれば標準偏差はそこに留まり標準誤差は下がります。

nではなくn − 1で割るのはなぜか

広がりを測るときに標本自身の平均を中心に使うからです。その平均は真の母平均よりデータに近く座るので、素朴な平方偏差の平均は体系的に少し小さすぎます。件数より1つ少ない数で割ることがそれを補正します。効果は小さな標本で最大になります。観測2つでは分散が2倍になり、観測100になると1%の調整です。nで割ることは、手元の標本を記述するには誤りではありません。それが来た母集団の広がりを推定するには誤りで、標準誤差はそのためにあるのです。

データなしで比率の標準誤差を計算するにはどうするか

比率は自分の変動を供給するので、一覧は要りません。要るのは標本サイズと百分率だけです。2つの結果を0と100で符号化すると、標準偏差は√(p(1 − p)) × 100となり、半々のときに最大で、百分率がどちらかの端に近づくにつれてゼロに向かって縮みます。100人の60%なら√(0.6 × 0.4) × 100 = 48.9898で、√100で割ると標準誤差は4.899百分率点です。これは誤差範囲のページが使うのと同じ入力の組で、そこでは標準誤差に臨界値を掛けて±を得ます。

データを足すと標準誤差は小さくなるのか

なりますが、標本サイズの平方根に比例してだけです。観測100から400にすると標準誤差は半分になり、もう一度半分にするには1,600が要ります。研究を計画するときに見るべき数が標準誤差である理由であり、非常に大きな標本と単に大きな標本の改善分を過大評価しやすい理由でもあります。一方で標準偏差の行はだいたいそこに留まります。データが増えても母集団そのものが変動を減らすのではなく、その中心の推定がより精密になるだけです。

標準誤差が0とは何を意味するのか

標本の中の観測がすべて同一だったか、比率が0%か100%だったかです。どちらでも式は働く変動を見つけられずゼロを返します。字義どおりに読めば標準誤差ゼロは推定が厳密だと言っていますが、それはデータが支えられない主張です。同一の測定4つの標本は広がりが小さい証拠であって、ゼロである証明ではありません。このページはエラーではなくゼロを返します。算術は正しく、理由は他の行に見えているからですが、ちょうどゼロの標準誤差は、標本が小さすぎるか一様すぎて変動について何も言えないしるしとして扱うべきです。

これは中心極限定理の計算機と同じか

同じ量を違う入力から計算しており、どちらが欲しいかは手元に何があるかで決まります。このページは標本——数の一覧、または百分率と大きさ——を取り、データが手元に来てから使うものです。中心極限定理のページは母標準偏差と標本サイズを取ります。何も集める前に存在する値で、研究を計画するときや標準誤差がnにどう応答するかを出すときに使うものです。2つは間にある推定の段階ちょうどだけ違うので、標本標準偏差がたまたま母集団の値に等しいときはいつでも結果が一致します。

• 1.3.5.6. Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods：標本標準偏差と、標準誤差が組み立てられるもとになるn − 1の分母 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods：統計量の標本分布。その広がりを測るのが標準誤差です — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.5.1. Measures of Location — e-Handbook of Statistical Methods：広がりと並べて印字される標本平均と、2つを一緒に報告する理由 — National Institute of Standards and Technology (NIST)