信頼区間計算

平均：x̄ ± t(α/2, n − 1) · s / √n　　比率：p̂ ± z(α/2) · √( p̂ (1 − p̂) / n )

x̄

標本平均——測定したその数で、単位はデータの単位です。区間はこれを中心に組み立てられるので、これが動けば範囲全体が動きます

s

標本標準偏差で、観測の、自分たちの平均のまわりの広がりです。σではなくsなのは、手元にあるのが標本だけだからです。これを標本サイズの平方根で割ったものが標準誤差になります

n

標本に入っている観測の数で、少なくとも2です。計算には2回入ります。標準誤差の中と、t分位点の自由度n − 1を通じてもう一度です

t(α/2, n − 1)

平均のための臨界値で、自由度n − 1のt分布上で両裾にそれぞれαの半分を残す点です。常に正規の臨界値より少し大きく、小さな標本ではずっと大きくなります。sが既知ではなく推定されたことの代価をt分布が払っているのです

p̂

標本比率で、百分率として入力します。比率の計算は全体が百分率点のまま進むので、境界も誤差範囲も標準誤差も、入力した数と同じ物差しに載ります

z(α/2)

比率のための臨界値で、信頼水準95%なら1.9600、そしてどの標本サイズでも同じ値です。比率はtではなく正規分布に対して判断されるからです。比率の行には2回現れ、1回は根号の外に、もう1回は内側に現れます

標本があり、そこから出た推定がどれくらい精密かを言いたいときに使います。少数の測定値から求めた平均や、調査から求めた割合です。これは1つの数を正直に報告する方法です。観測100個の平均50と、観測5個の平均50は別の主張で、その違いが区間です。標本サイズが標準誤差の分母に座っているからです。残りは2つの設定で決まります。量が測定値——長さ、時間、点数——なら平均の枝を、総数の中の人数なら比率の枝を選び、百分率として入力します。次に信頼水準を選びます。95%が慣例で、用意した3つの水準で公表されている数値のほとんどを覆えます。この区間がしないことも押さえてください。真の値がどこかを言うのではなく、今後の観測のどれだけが中に入るかも言いません。データについての記述ではなく、推定の手順についての記述です。

1. 100個の測定値から求めた平均

   1. 標準誤差：12 / √100 = 12 / 10 = 1.2
   2. 自由度：n − 1 = 99。95%信頼で臨界値は1.9842になります
   3. 誤差範囲：1.9842 × 1.2 = 2.3811
   4. 境界：50 − 2.3811 = 47.6189、50 + 2.3811 = 52.3811

   ここで注目すべき数は臨界値のほうです。おなじみの1.96ではなく1.9842です。この開きは、同じ100個の観測から広がりを推定したことに対してt分布が請求する分で、標本が大きくなるほど縮みます。n = 1,000ではほとんど消えてしまいます。比率の欄が60を保持したまま何もしていないことにも注目してください。2つの入力グループはどちらも常に画面にあり、どちらを使うかは上の選択が決めます。

2. 1,000人を対象にした調査から求めた比率

   1. 標本比率50%は小数で0.5、1 − p̂も同じく0.5です
   2. 標準誤差：√( 0.5 × 0.5 / 1,000 ) = 0.015811。これは1.5811パーセントポイントです
   3. 臨界値：95%信頼で1.96。どの標本サイズでも同じです
   4. 誤差範囲：1.96 × 1.5811 = 3.099パーセントポイント。境界は46.901%と53.099%になります

   この例の数はすべて百分率点であって、比率ではありません。標準誤差は0.0158ではなく1.58ポイントです。これが比率に対してこのページが使う物差しの約束で、ここの標準誤差が最初の例のものより大きく見えるのはそのためです。測っているものが違うのです。測定値ではなく割合です。1,000人前後の調査の誤差範囲はおよそ3ポイントという、よく聞く主張も同じ計算から出ています。

3. 同じ100個の観測を99%信頼で報告する

   1. 標準誤差は12 / √100 = 1.2のまま変わりません。標本について何も変わっていないからです
   2. 動くのは臨界値だけです。1.9842ではなく2.6264になります
   3. 誤差範囲：2.6264 × 1.2 = 3.1517
   4. 境界：50 ± 3.1517、つまり46.8483から53.1517です

   これを最初の例と比べると、信頼水準が何を買うのかがちょうど切り出せます。同じデータ、同じ標準誤差で、区間は32%広くなります。水準を上げても何も分かってはいません。標本の中の情報は変わらず、それについての主張だけが変わったのです。95%が慣例である理由もそこにあり、断りなく99%の区間を引用するのは、慎重というより誤解を招く行為になります。

どちらの枝も、観測が互いに独立であることを前提にしています。同じ計器から取った500の読みや、20の教室から集めた500人の生徒は、算術が思うより少ない情報しか運んでおらず、区間は本来より狭く出ます。どちらも推定値が真の値のまわりでおよそ対称であることも前提にしています。平均の枝は標本がほぼ正規であるか、t分布が大目に見てくれるほどnが大きいことに寄りかかり、比率の枝は2つの中でより脆いほうです。0%や100%の近くではこの式はそもそも正しくありません。だからこのページはその2つの値を返さずに拒否します。そうまでして狭い区間を自信ありげに返すべき比率ではないからです。有限母集団の補正はここではされません。標本が小さな母集団の大きな割合を占めるなら、標本サイズのページが補正を適用し、ここが示すより少ない人数を求めます。

信頼区間は結局何を意味するのか

95%の設定なら、真の値を標本の95%で捉える手順が作った範囲です。この範囲が真の値を含む確率が95%という意味ではありません。真の値は固定されていて分からないので、この区別は重要です。今計算した境界の内側か外側かのどちらかで、そこに確率は付きません。この数が記述しているのは方法の信頼性です。実務では、区間の中央に近い値ほど端に近い値よりもっともらしく、区間の外の値はデータとある程度張り合う、という読み方をします。これがp値のページの仮説検定への橋になります。

平均がtで比率がzなのはなぜか

平均では中心だけでなく広がりも推定しているのに対し、比率ではそうではないからです。平均の標準誤差はs / √nで、s自体が同じ標本から計算されるので、区間はその余分な不確かさを見込まなければなりません。t分布がしているのはまさにそれで、n = 100での臨界値が1.96ではなく1.9842なのはそのためです。比率にはその2つ目の推定がありません。推定値の広がりはp̂(1 − p̂)を通じて比率自身から決まるので、正規分布がどの標本サイズでも当てはまります。2つの入力グループは常に画面に出ており、計算がどちらを読むかは上の選択が決めます。

誤差範囲と標準誤差の違いは何か

標準誤差は不確かさの1単位で、誤差範囲は区間が何単位まで手を伸ばすかです。誤差範囲は標準誤差に臨界値を掛けたものなので、大標本の95%信頼では標準誤差のおよそ2倍（1.96倍）、99%ではおよそ2.5倍（2.5758倍）になります。どちらの行も印字しているのは、2段構えの構造が見えるようにするためです。区間を狭くしたいなら攻めるべきは標準誤差の行です。データをさらに集めることに反応するのはそれだけだからです。臨界値が動くのは信頼水準を変えたときだけです。

区間が0%を下回ったり100%を超えたりすることはあるのか

ありますし、このページは黙って切り詰めずにそのまま印字します。50%、標本2では境界は−19.3%と119.3%になりますが、これは不具合ではありません。観測2個では比率についての情報が本当にほとんどなく、そう述べる区間のほうが、比率が取り得る範囲に押し込めたものより正直です。「この標本では何も有用な推定ができない」と読んで、データを集め直してください。このページが拒否するのは、比率としてちょうど0%か100%を入力した場合です。その2点では式が幅0の広がりで割ることになり、幅0の区間を返します。その方法が支えられない確実性の主張です。

臨界値の表はどこにあるのか

このページにはありません。それは意図的です。臨界値の表がここで使われる用途はすべて済んでいます。水準を選べば、その水準が含意する1つの値が専用の行に印字されます。表を作るなら信頼水準を1つに固定せざるを得ず、99%に切り替えた読者は上のパネルと矛盾する表を見ることになります。ページが自分自身と食い違う失敗の型です。t分布にはさらに問題があり、臨界値が水準だけでなく自由度にも依存するので、表ではなく格子が要ることになります。水準と自由度を入力として取る専用の臨界値のページが、その調べ物の場所です。

• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods：このページが標準誤差に掛ける臨界値の出所であり、それらが後に残す裾の面積の出所です — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6：標準誤差が組み立てられるもとになる標準偏差と、標本から推定した広がりそれ自体が分布を持つ推定値である理由 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e：確率の推定値としての相対度数。標本比率を母比率の代わりに立てられるようにするのがこの手順です — OpenStax, Rice University