誤差範囲計算

誤差範囲：ME = z* × SE　　SE = s / √n　　SE = √(p(1 − p) / n)

ME

誤差範囲——信頼区間の幅の半分で、推定値の単位で表されます。幅ではなく半幅なのは、区間が推定値 ± MEと書かれるからです。同じ数が片側で引かれ、反対側で足されます。単位は推定値に従います。比率なら百分率点、平均ならデータを測った単位です

z*

臨界値で、このモードではいつもおなじみの1.96ではなく自由度n − 1で取ったt値です。調査がふつう持つ標本サイズの前では違いは小さいのですが、0ではなく、誤差範囲が最も大きくなるところで最大になります。n = 2ではt値は12.7062なので、標準偏差4の2人の標本は誤差範囲35.94になります

s

標本標準偏差で、平均モードでだけ使われます。調査ではこれが前もって分かっていることはまれで、だから世論調査は比率を報告します。はい・いいえの問いでは、ばらつきが百分率そのものから決まり、別に推定しなければならないものが何もないからです

p

標本比率で、比率モードでだけ使われ、式では分数、パネルでは百分率として書かれます。幅への寄与は50%で最大になります。半分が賛成で半分が反対というのが二択の問いが持ちうる最も不確かな状態で、調査の誤差範囲がその調査自身の値ではなくp = 0.5での最悪の場合として引用されることが多いのはそのためです

n

標本サイズで、√nとして現れます。この平方根が、標本を2倍にしても誤差範囲が半分にならない理由です。1.41でしか割らないので、誤差範囲を半分にするには4倍の標本が要ります。また、研究者が自分で動かせる唯一の因数でもあります。pはデータから来て、信頼水準は答えをどれくらい慎重にすべきかについての表明だからです

すでにデータを集めていて、報告する数のうちどれだけが雑音なのかを知りたいときに使います。あるいは、他の人が報告した数を読んでいて、それが何からできているかを見たいときです。最も役に立つ2つはどちらも主結果ではなくパネルの側にあります。臨界値は、tとzのどちらが使われたか、つまり分析者が広がりの推定を見込んだかどうかを明かします。標準誤差は平方根の法則を見えるようにします。標本を4倍にするとこちらは半分になるのです。研究を解釈するのではなく計画するなら、標本サイズのページのほうが良い道具です。問いを裏返して、許容できると決めた誤差に対して何件の回答が必要かを尋ねるからです。調査結果を読むときは、誤差範囲が覆うのは標本誤差だけだと覚えておいてください。誰が答えたか、質問が誘導的だったか、母集団の全員が選ばれうる抽出手順だったかについては何も言いません。そうした問題はnとともに小さくなりませんし、大きな標本と小さな誤差範囲は、偏った調査が権威らしく見えるようになるまさにその経路です。

1. 既定値：100個の観測から推定した平均

   1. 標準誤差：s / √n = 12 / 10 = 1.2
   2. 臨界値：自由度99のt値で1.9842。1.9600ではありません
   3. 誤差範囲：1.9842 × 1.2 = 2.3811
   4. 推定値そのものは入力ではないので、答えは区間ではなく半幅になります

   読む価値があるのは臨界値の行です。手計算がたいていそこで狂うからです。100個の観測は大きな標本で、1.9842ではなく1.96に手を伸ばすと答えが1.2%変わります。ここでは小さく、n = 2では巨大です。同じ置き換えが35.9ポイントを5.5に変えてしまいます。不確かさを6分の1に過小評価することです。このページが臨界値を印字するのは、まさにこの段階を掛け算の中に隠さず確かめられるようにするためです。

2. 1,000件の回答から求めた比率

   1. 比率を分数で：50% = 0.5
   2. 百分率点での標準誤差：√(0.5 × 0.5 / 1,000) × 100 = 1.5811
   3. 臨界値：正規の値1.9600。比率モードはzを使うからです
   4. 誤差範囲：1.96 × 1.5811 = 3.099パーセントポイント

   新聞が引用する形の数で、3つの細部を分けておく価値があります。臨界値はここでは1.9600で、上の平均の例は1.9842を使いました。比率のばらつきはpだけで完全に決まり、自由度を必要としないからです。標準偏差の欄はパネルにありながら使われていません。このモードではばらつきが百分率から来て、別の推定からは来ません。そしてp = 50%は最悪の場合なので、この数は一般化できます。その調査のどの問いも、これより大きい誤差範囲を持ちません。

3. 9個の観測で誤差範囲がちょうど臨界値になる

   1. 標準誤差：3 / √9 = 1。ちょうどです
   2. 自由度8での臨界値：2.306
   3. 誤差範囲：2.306 × 1 = 2.306
   4. 3つの行のうち2つが同じ数を印字しますが、これはこの入力の選び方の偶然で、規則ではありません

   この偶然は一度見ておく価値があります。後で関係だと取り違えないためです。標準誤差がちょうど1になったので掛け算が何もしなくなり、臨界値がそのまま答えとして見えます。観測9個と標準偏差3は自然な小標本の設定で、これは信頼区間のページがn = 9で出すのと同じt値です。2つのページは計算全体を共有し、ずらすために標本平均を渡したかどうかだけが違います。

4. 同じデータを95%ではなく99%で読む

   1. 標準誤差は1.2のまま。データについて何も動いていません
   2. 99%・自由度99での臨界値：2.6264
   3. 誤差範囲：2.6264 × 1.2 = 3.1517
   4. 95%の場合と比べると2.3811なので、信頼を上げた分だけ幅が32%増えています

   3つの行のうち変わるのは1つだけで、それこそすべてを印字する意味です。信頼水準は臨界値に触れて他には何も触れず、標本サイズは標準誤差に触れて他には何も触れません。2つのつまみは独立で、それらを混同するのは何を変えたかを読み違えるよくある道です。この交換そのものに名前をつけておく価値があります。99%信頼はより正確なのではなく、より慎重なのです。真実をより頻繁に覆う、より広い区間を買い、1回1回では推定をより緩くしか留めません。

誤差範囲が覆うのは誤差の源の1つだけです。母集団全体を測るのではなく標本を抽出したことから来る変動です。バイアスについては何も言いませんし、両者は交換可能ではありません。ウェブサイトから集めた1,000人の有志の標本は誤差範囲が小さく、20ポイント外れることもあります。答えることを選んだ人たちは無作為な抽出ではないからです。観測が独立であることも前提にしています。1つの世帯で何人も調査したり、同じ対象を2度測ったりすると、実効の標本サイズは回答数よりずっと小さくなりますが、式にはそれを知る術がなく、誤差範囲は狭く出ます。平均と比率の式はどちらも大標本の近似です。とくに比率の版はn·pやn·(1 − p)が小さいときに頼りにならず、珍しいカテゴリでそうなります。100人中2%の回答率は、対称なプラスマイナスで報告すべきものではありません。そして誤差範囲は1つの推定を単独で記述するものです。2つの群を比べるには間違った道具で、そこで効くのは差の誤差範囲です。2つの群が独立でない限り、2つの個別の誤差範囲の和にはなりません。

誤差範囲3%とは実際には何を意味するのか

同じ調査を何度も繰り返したとき、得られる区間——報告された数プラスマイナス3ポイント——のおよそ95%が真の母集団値を含む、という意味です。真の値が確実に3ポイント以内という意味でも、調査が最大3ポイント外れているという意味でもありません。見落としやすい帰結が2つ続きます。真の値は区間の中か外かのどちらかなので、95%が記述しているのはこの1回の結果ではなく手順です。そして群を比べるとき誤差は重なります。誤差3ポイントの調査で2人の候補が4ポイント差なら、その選挙は単純な意味で「誤差の範囲内」ではありません。差にはそれ自身の誤差範囲があり、どちらよりも大きいのです。

標本が大きいと誤差範囲が小さくなるのに、比例しないのはなぜか

標本サイズが式の中で平方根の下に入るからです。100件から400件に増やすと誤差範囲は半分になり、400件から1,600件でまた半分になります。半分にするたびに4倍の標本が要るのです。これは調査設計について最も結果を左右する事実で、世論調査が数百から2千人程度に落ち着く理由でもあります。最初の1,000が得られる精度の大半を買い、次の1,000が買うのはその半分です。誤差範囲がより良い分析では改善しない理由でもあります。動かせるてこはデータを増やすことだけで、それは平方根で効きます。

誤差範囲が大きいほうが悪いのか

より正直なのであって、悪くはありません。広い区間のほうが真実を含みやすいので、99%信頼で±5ポイントを報告する研究は、90%で±3を報告する研究より安全な主張をしています。信頼水準が示されるまでこの2つは比べられません。本当に悪いのは、誤差範囲を報告しないこと、あるいは信頼水準なしで引用することです。それでは読者はその数がどれだけ重みを持つか分かりません。広い誤差範囲が示すもう1つは、単に標本が小さかったということで、それは欠陥ではなく情報です。その研究は細かい差を解像できないと言っており、解像できない研究は解像できたかのように読まれるべきではありません。

比率0%や100%をこのページが拒否するのはなぜか

そこで式が潰れるからです。比率の標準誤差は√(p(1 − p)/n)で、p = 0やp = 1では因数p(1 − p)が0になり、誤差範囲はちょうど0になります。「60% ± 0ポイント」を印字するのは、どんな標本も支えられない確実性の主張です。母集団の値が60%だと言っていますが、データが示しているのは、この標本では誰もそのカテゴリの外に出なかったということだけです。度数が0や全部の場合の正しい扱い方はあり、どれも空の欄を信じるのではなく度数に何かを足すことを伴います。どれも素の誤差範囲ではないので、このページは確実性として読まれる数を返す代わりに断ります。

誤差範囲は偏った標本を見込んでいるのか

いいえ、そしてこれがこの考え方全体の最も重要な限界です。誤差範囲が測るのは標本変動——母集団の一部を見ることで生じる誤差の部分——です。バイアスは別の種類の誤差で、標本の選び方や質問の仕方から生じ、標本が大きくなっても縮みません。1万人の任意回答のオンライン調査は誤差範囲が1ポイントでも、15ポイント外れていることがあります。答えた人たちが母集団からの無作為抽出ではないからです。大きな標本は標本誤差を小さくし、バイアスをより精緻に見せます。報告された誤差範囲を読むときは、まず標本がどう抽出されたかを尋ねてください。

誤差範囲と標準誤差の違いは何か

標準誤差は推定値の生の広がりで、誤差範囲はその広がりに信頼水準で決まる臨界値を掛けたものです。つまり標準誤差はデータだけの性質で、誤差範囲はそこにどれだけの信頼を置くかについての表明です。95%の区間では掛ける数がおよそ2なので、2つの数は2倍以内に収まることが多く、混同されます。両方をパネルに印字しているのはそのためです。標準誤差は標本がどれだけの情報を運んでいるかを、誤差範囲はそれで何を主張すると決めたかを教えてくれます。

• 1.3.5.6. Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods：標準誤差が組み立てられるもとになる標準偏差と、自由度の出所であるn − 1という分母 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 6.2 Using the Normal Distribution — Introductory Statistics 2e：標準誤差に掛ける臨界値と、信頼水準が分けられる裾の面積 — OpenStax, Rice University
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods：その広がりが標準誤差である標本分布。プラスマイナス記号が記述しているのはそれです — National Institute of Standards and Technology (NIST)