標本サイズ計算

n₀ = z² · p (1 − p) / e²　　母集団が小さいとき：n = n₀ / ( 1 + (n₀ − 1) / N )

z

信頼水準に対応する臨界値で、95%なら1.9600、90%なら1.6449、99%なら2.5758です。式の中で母集団についての想定ではなく信頼水準から来る唯一の数なので、専用の行に印字されます

p

見込まれる比率を小数で表したものです。唯一の当て推量の入力で、p(1 − p)として入ります。これはp = 0.5で最大になるので、50%と入れるのが最も大きな標本を生む想定であり、最も安全な想定でもあります

e

誤差範囲を小数で表したもので、受け入れられる半幅を比率と同じ単位で示します。分母で二乗されるので、半分にすると標本がおよそ4倍になります

n₀

母集団の大きさが問題にならないほど大きい場合の標本サイズです。母集団が不明なときはいつでもこれが答えで、そうでないときは最終的な答えではなく修正への入力になります

N

母集団の大きさで、不明または実質的に無制限なときは0と入力します。修正はn₀をn₀/Nより大きい数で割るので、修正後の標本は必ずNを下回ります。存在する人数より多くを尋ねるという危険は、この式では起こりえません

データを集める前に、標本の費用が現実のものであるときにいつでも使います。回答1件ごとに謝礼が要るアンケート、標本ごとに費用がかかる実験測定、募集目標のある臨床研究などです。判断の順序は、許容できる誤差範囲を決め、信頼水準を決め、次に比率を見積もり、それから標本サイズを読む、です。このうち研究についての判断は最初の1つだけで、残り2つは慣例か推量です。答えが払えない額なら、正直な道は誤差範囲を広げてそう報告することです。費用を出せない誤差範囲は目標ではないからです。母集団が本当に小さいとき——数千人を下回るとき——は母集団の大きさを必ず入力してください。そこでは修正が大きく、無視すると研究に必要な人数をはるかに超えて募集することになります。

1. 95%信頼・±5ポイントの全国調査

   1. 95%信頼での臨界値：1.96
   2. p = 0.5のときは積p(1 − p)が0.25で、これが取り得る最大値です
   3. n₀ = 1.96² × 0.25 / 0.05² = 3.8416 × 0.25 / 0.0025 = 384.1459
   4. 1人単位で切り上げて：385件の回答

   385は、1,000人ほどの調査は3ポイント以内で正確という、よく聞く主張の裏にある数です。誤差を±3に締めると答えは1,068になり、その数字はそこから来ています。母集団の大きさを0にしたのは、全国調査が国のごくわずかな割合だからで、その比では修正しても答えは1人も変わりません。

2. 同じ調査を±3ポイントに締める

   1. 信頼水準が変わっていないので、臨界値は1.96のままです
   2. n₀ = 1.96² × 0.25 / 0.03² = 0.9604 / 0.0009 = 1067.0719
   3. 切り上げて：1,068件の回答
   4. 385と比べてください。誤差が1.667分の1に縮み、標本は2.78倍に増えました。これは1.667²です

   精度は二乗で買います。±5から±3ポイントへの移動は作業量67%増ではなく178%増で、誤差範囲が分母で二乗されるからです。実務上の帰結は、調査が安く達成できる精度には下限があるということで、およそ±3ポイントより締めた誤差を宣伝するには数千人規模の標本が要ります。そしてそれは、非回答による偏りが、この式が制御している標本誤差より重くなり始めるちょうどその範囲です。

3. 従業員1,000人の会社の社内調査

   1. 修正前の値はまだ384.1459です。母集団のことをまだ知らないからです
   2. 修正：384.1459 / ( 1 + 383.1459 / 1,000 ) = 384.1459 / 1.3831459 = 277.73
   3. 切り上げて：278人
   4. これは修正前の値が示唆したであろう38%ではなく、従業員の28%です

   修正は小母集団の調査を払えるものにします。同じ誤差の表明に対して385ではなく278で、100件以上の聞き取りを節約できます。標本が母集団に占める割合が大きくなるほど効果も大きくなります。従業員100人なら答えは80で——持っている数より多くは標本にできません——従業員100万人では修正の価値は1人分になり、母集団不明のときの既定値0が近道ではなく妥当な既定である理由がそこにあります。

この式が大きさを決めるのは回答の標本であって、依頼の名簿ではありません。声をかけた人の3分の1が返信しないなら、385件の回答とは約580件に依頼するという意味で、返信した人が返信しなかった人と体系的に違うなら、どんな標本サイズも生じる偏りを直せません。標本誤差が全体の誤差より小さくなるだけです。またこのモデルは、各回答が母集団からの独立な抽出であることを前提にしています。8つの教室から集めた400人の調査では、有効な標本は8にはるかに近く、このページの数は使う前に設計効果を掛けるべきです。推定は単一の比率に対するもので、平均には代わりに標準偏差が要りますが、このページはそれを取りません。部分集団に分けて分析する調査は、全体ではなく最小の部分集団に合わせた標本サイズが要ります。最後に、用意した3つの信頼水準はいずれも慣例で、どれも現実の分析がふつう行う複数の比較を見込んでいません。

調査の回答は何件必要か

慣例的な95%信頼・±5ポイントなら385件、±3ポイントが欲しければ1,068件です。この2つの数は公表された調査の大半を覆い、母集団の大きさが無関係なほど大きいことを前提にしています。現実的にその大きな割合を調査できそうなほど母集団が小さいなら、大きさを入力してください。修正が数を下げます。従業員1,000人なら385ではなく278件、従業員200人なら132件です。まず誤差範囲に錨を下ろしてください。読者が実際に読むのはその数だからです。

見込まれる比率の既定値が50%なのはなぜか

p(1 − p)がp = 0.5で最大になり、標本サイズはそれに比例するので、50%と入れるとどの比率でも要求しうる最大の答えになります。本当に分からないときの安全な想定になるのはそのためです。60%で返ってきた調査の誤差範囲は、計画したものより少し良いだけです。より具体的にすると得します。p = 90%では項が0.25から0.09に落ちるので、同じ誤差範囲に必要なのは標本の36%です。同じ調査の前の波など、擁護できる事前の見当があるときだけ50%以外を使ってください。

有限母集団修正は何をするのか

母集団が、非復元で抽出すると不確かさが目に見えて減るほど小さいときに、標本を縮めます。効果は母集団のどれくらいの割合を標本にするかで決まります。10%では補正は標本の数パーセント分、28%ではおよそ4分の1、50%ではほぼ3分の1に値します。母集団の大きさが不明か非常に大きいときは0と入力し、数千人を下回るときは実際の数値を入力してください。ここは、すでに計算してしまった答えを最もよく変える欄です。

どの誤差範囲と信頼水準を目指せばよいか

95%で±5ポイントが公表された多くの仕事の既定で、結果が僅差にかかるときは±3ポイント、大きな差だけが問題になる探索的な仕事では±10ポイントです。信頼水準については95%が慣例で、99%は3分の1しか広くない区間のために約73%多い標本を要します。どちらを締める前にも、答えの費用を確かめてください。99%信頼で±3ポイントは1,843件の回答が要り、既定のおよそ5倍です。払えないなら、完了できない標本を募集するのではなく、広いほうの誤差範囲を報告してください。

答えが1人単位に切り上げられるのはなぜか

小数の値が厳密な算術で、整数が募集できるものだからです。そして一方を他方に変える2つの流儀は逆を向いています。四捨五入は384.1459を384に切り下げかねず、目標の誤差範囲をわずかに外します。目標はあなたが求めたものなのに、です。切り上げは誤差が満たされるか上回ることを保証し、費用は多くても聞き取り1件分で、治験計画で標本サイズが指定される仕方にも合います。そこでは385が約束で、384.1459は中間値です。

このページに標本サイズの表がないのはなぜか

ここで人が欲しがる表は信頼水準と誤差範囲の格子で、その格子はすでにパネルが計算しているからです。95%に固定して印字した表は、99%に切り替えた瞬間にパネルと矛盾します。ページが自分自身と食い違うのは、表がないより悪いことです。読者は2つの数のどちらを信じるかを決めなければならなくなります。2つ目の理由は、表は比率も1つ選ばざるを得ず、50%はそれが安全な既定であり続ける間だけ正しい選択だということです。信頼水準・誤差範囲・比率・母集団の大きさを変えれば答えは再計算され、それが人が探している表の中身そのものです。

• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e：標本が大きくなるにつれて相対度数が確率に近づくこと。目標の誤差範囲を前もって意味のあるものにするのはこの性質です — OpenStax, Rice University
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods：推定値の分布。誤差範囲がその分位点です — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods：臨界値の出所である累積関数。ここでは推定値の境界を求めるのではなく標本サイズを決めるために逆向きに使う、同じ値です — National Institute of Standards and Technology (NIST)