数列計算

等差数列 — a(n) = a(1) + (n - 1) * d S(n) = n * (a(1) + a(n)) / 2 — 等比数列 — a(n) = a(1) * r^(n - 1) S(n) = a(1) * (r^n - 1) / (r - 1) r = 1のときだけS(n) = n * a(1)

n

どの項を尋ねているかで、1から数えます。和を取る項の数でもあるので、1つの入力欄が2つの問いに答えることになります。第10項はa(10)と書き、最初の10項の和はS(10)と書きます。

a(1)

初項で、数列が始まるただ1か所です。ほかはすべてここから導かれるので、初項が負だと等比数列では偶数番目の項の符号がすべて反転し、等差数列ではただ下から始まるだけです。

d

公差で、等差数列が使います。各段で足される量です。負でもよく、そのとき数列は下がります。0でもよく、そのときはどの項も初項と同じになります。その場合は印字される式がa(n) = 6のような最も短い形に潰れます。

r

公比で、等比数列が使います。各項に掛ける数です。0と1のあいだの比なら項は0へ向かって縮み、負の比なら符号が交互に変わり、ちょうど1の比ならどの項も初項に等しくなります。

S(n)

初項から第n項までの和で、それ以上ではありません。等差数列では初項と末項の平均にnを掛けたもので、ガウスが1 + 2 + … + 100で使ったと言われる組み合わせ方がこれです。決して無限級数ではありません。nを増やせば合計は増え続けます。

ある量が決まった規則で増えたり減ったりしていて、ずっと先の値が欲しいときに使います。同じ額を毎年積み立てた30年後の残高、20回目の跳ね返りの高さ、各歩がその前の決まった割合であるときに進む合計距離、といった場面です。すべてを決めるのは歩みとその符号の2つなので、最初の3項を手で出してから下の参考表と突き合わせるのが役に立つ習慣です。

1. 3, 7, 11, … — 第10項と最初の10項の和

   1. 歩みが4なので、項は3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39
   2. 第10項は3 + 9 × 4 = 39
   3. 外側から内側へ項を組にする：3 + 39 = 42、7 + 35 = 42、11 + 31 = 42、以下同様
   4. その組が5つあり、どれも42に等しい
   5. 5 × 42 = 210

   この組み合わせ方が和の公式のすべてです。n項あるとき、初項と末項の平均は(3 + 39) / 2 = 21で、21 × 10が同じ210になります。答えの隣に印字される式はこの数列専用ではなく規則そのもので、a(n) = 3 + 4(n - 1)はnだけでどの項も組み立て直せます。n = 1なら3が戻り、n = 10なら何も並べずに39が出ます。

2. 8, 4, 2, 1, 0.5 — 縮んでいく等比数列

   1. 比が0.5なので、各項はその前の半分になる：8, 4, 2, 1, 0.5
   2. 第5項は8 × 0.5⁴ = 8 × 0.0625 = 0.5
   3. 足し合わせる：8 + 4 + 2 + 1 + 0.5 = 15.5

   縮んでいく等比数列の和は16に近づきますが、決して超えません。8 / (1 − 0.5)です。このページが出すのは求めた5項の合計15.5で、その極限ではありません。項数が入力になる理由がこの違いです。

3. 1 + 2 + … + 1,000、公式が足し算に勝つ場合

   1. 歩みが1なので、第1,000項は1 + 999 = 1,000
   2. 初項と末項を組にする：1 + 1,000 = 1,001
   3. その組は500ある。1,000項で500組になるから
   4. 500 × 1,001 = 500,500

   ここでは項を書き並べる必要がまったくありません。それが和の公式の要点で、nがそこまで届くなら100万項でも同じ3つの入力欄が答えます。これはガウスが学校の罰として課されたと言われる計算で、上の組み合わせ方が彼が代わりにやったと言われるものです。

扱うのは2種類の数列だけです。歩みを足す等差数列と、歩みを掛ける等比数列です。それ以外、つまり平方数、立方数、フィボナッチ、直前の2項で決まる数列などは、ここに入れる規則を持たず、それぞれの道具が要ります。項数は1から1,000までの整数でなければなりません。小数や負の項数は丸めずに拒否します。2.5項は答えのある量ではないからです。合計は最初のn項の和だけで、無限級数の和ではありません。だから比が1未満のときは、合計が極限に近づき続けても到達しません。答えは小数6桁に丸めます。等比数列はnが上限に届くずっと前に計算があふれることがあり、10の300乗はかまいませんが10の6,000乗はだめで、その場合は無限大ではなく計算の失敗として報告します。このページが答えるのは数列の4つの問いのうち2つです。第n項がいくつかということと、最初のn項がいくつになるかということです。逆はしません。2つの項から規則を復元することも、和からnを復元することもできません。単位も印字しません。数列は数の並びだからです。

第n項と和は何が違うのか

第n項は1つの数で、n番目に座っている項です。3, 7, 11, …ならn = 10で39になります。和はそこまでのすべてを足したもので、同じ数列なら210です。2つの別の行として印字するのは、別の問いに答えるからで、しかも普通は和のほうが欲しいからです。残高、合計距離、累計の数、といったものです。

和の公式はどこから来るのか

項を外側から内側へ組にすることから来ます。3, 7, 11, …では最初の10項の初項と末項を足すと42になり、ほかの組もどれも42です。だから10項で42の組が5つ、つまり210になります。一般に書けば初項と末項の平均にnを掛けたもの、n * (a(1) + a(n)) / 2です。等比数列の和は導き方も形も違い、だから2つを別々に印字しています。

歩みは負でも0でも分数でもよいのか

どれもかまいません。負の公差なら100, 93, 86, …のように下がる数列になり、負の公比なら1, -1, 1, -1のように符号が交互に変わります。比が0.5なら2番目の算例の縮む数列です。もう一度見る必要があるのは公差が0の場合と公比が1の場合で、どちらもどの項も初項に等しくなり、印字される式はa(n) = 6のような短い形に正しく縮みます。

和は無限数列全体の合計なのか

いいえ、入力した項数nまでの和です。この区別が見えるのは縮んでいく等比数列のときだけで、そこでは合計が極限（8, 4, 2, 1, 0.5, …なら16）に近づいても到達しません。その極限、つまり無限等比級数の和が欲しいこともありますが、それは別の公式を使う別の計算です。

項数はいくつまで求められるのか

1から1,000までの整数です。上限は恣意的ではありません。比が10の等比数列はn = 300で10の300乗に達し、さらに数百項も増えれば計算が保持できる最大の数を超えます。その場合は無限大ではなく計算の失敗として報告するので、静かに間違った答えではなくメッセージが返ります。

印字される式がaに添字ではなくa(n)なのはなぜか

a(n)はどの言語でもどのフォントでも読めますが、添字の文字はそうではありません。環境によっては空の四角として描かれます。ほかの記法は普通のもので、累乗に^、掛け算に*、負の比を囲む括弧です。だから符号が交互に変わる数列は、負号が外に見える形ではなくa(n) = (-1)^(n - 1)と読めます。

• Arithmetic progression — 規則、第n項の式、そしてこのページが使っている和 — Wolfram MathWorld (United States)
• Geometric progression — 歩みが加数ではなく乗数のときの、同じ3つの問い — Wolfram MathWorld (United States)
• OEIS A000217 — 三角数。1, 3, 6, 10, …。1 + 2 + … + nの累積和で、このページの3番目の算例にあたる — OEIS Foundation (United States)