レイノルズ数計算

Re = ρ · v · D / μ = v · D / ν（ρ：kg/m³、v：m/s、D：m、μ：Pa·s、ν：m²/s）

ρ

流体の密度（kg/m³）。流れが引きずっていく単位体積あたりの質量で、式では掛け算として入る。だから密度が2倍になればレイノルズ数も2倍になる——同じ速さでも密度の高い流体は運動量を多く運び、運動量が多いほど粘性が押さえ込まなければならない慣性が大きくなる。20 °Cの水は998.2、乾いた空気は1.205で、その比はおよそ800倍ある。それでも同じダクト・同じ速さで空気のレイノルズ数が水の800分の1ではなく15分の1ほどにしかならないのは、空気の粘性率も同じだけ小さいからで、残りはそこで相殺されている。密度はプロセス条件で動く量でもある。水は0 °Cから100 °Cで4 %ほどしか変わらない（下の水の表で確かめられる）が、気体の密度は温度だけでなく圧力でも変わるので、加圧された配管は同じ配管でも別のレイノルズ数の問題になる。

v

配管内の平均流速（m/s）。体積流量を断面積で割った値で、流体のある粒の速さではない。注意が2つある。1つ目は、これが管の中のすべてを平均した値だということ。層流の管では中心線上の流体はこの数の2倍の速さで進み、乱流ではもっと平坦な分布になるので、実際の管の流速はどこを取っても平均でしかない。2つ目は、配管が変われば変わるのはこの量だということ。同じ流量を直径半分の管に押し込むと流速は4倍、したがってレイノルズ数は2倍になる——静かな層流の配管を一気に騒がしくする一番手っ取り早い方法がこれである。

D

管の内径（選んだ単位ではミリメートル）。流体が実際に見ている穴のことで、発注する公称径ではない。DN50の鋼管とDN50の樹脂管は同じサイズ階級だが同じ穴ではない——公称の数字は寸法を表していて実測の通路ではなく、内径は肉厚で決まるからである。この長さが式の長さスケールになる。管は丸いので直径を取るのが素直で、丸くないダクトでは同じ役割を水力直径（断面積の4倍を濡れ辺長で割った値）が担う。この欄に外径を入れるとレイノルズ数は直径の比だけ大きく出て、肉厚の管では10 %を超える。

μ

粘性率（動粘度ではない方、mPa·s）。ずらされようとする流体の内部抵抗で、流れを整えておく仕事をしている量である。蜂蜜を蜂蜜に、水を水にしているもので、20 °Cの水は1.002 mPa·s、空気は0.018、ギヤ油は百の位になる。分母にあるので、同じ管・同じ速さなら粘性率が高い流体ほどレイノルズ数は小さくなる。これは「かき混ぜにくい」と同じことを言っている。単位は頭に入れておく価値がある。1 mPa·s = 0.001 Pa·s = 1 cPなので、古い化学工学の表にあるセンチポアズとSIのミリパスカル秒は、名前が2つあるだけの同じ数である。

ν

動粘度（cSt）。2番目の出力として出しているのは、レイノルズ数が粘性をこの組み合わせでしか使わないからである。ν = μ / ρ、粘性率を密度で割ったもので、「自重でどれだけ流れやすいか」に答える量であり、その単位は測るものではなく決められている——1 cSt = 1 mm²/sは定義である。だからヨーロッパや中国の便覧が20 °Cの水について印字しているmm²/s（およそ1.0）と、このページが出すcStは、同じ数を2通りに書いたものにすぎない。下の表を見ると、これを単独で持っておく価値が分かる。水のνは0 °Cから100 °Cで6分の1になり、これはほとんど粘性率が下がった分である。一方、空気のνは温度とともに上がる——密度が粘性率の上昇より速く下がるからだ。熱い液体と熱い気体はこの軸では逆を向き、レイノルズ数もそれに従う。

2,300 / 4,000

数を名前に変える2本の線で、このページで唯一、測定ではなく約束ごとである部分。2,300未満の管内流れを層流、4,000以上のものを乱流、その間を遷移流と呼ぶ——流れがそのまま保たれることも、2つの間で振動することも、上流の継手に乱されてどちらかへ倒れることもある帯域である。区間は半開なので、2,300そのものはすでに遷移流に属し、4,000はすでに乱流に属する。表示されるバッジは、その背後にある丸めていない数ではなく、結果パネルに出ている丸めた値を読んだものである。丸めた表示が2,300なら、丸める前が2,299.6であっても遷移流になる。これは意図した選択で、結果パネルの数とバッジが食い違わないようにするためのものである。

流量計を信用する前に使ってください。大半の流量計は乱流で校正されていて、層流では低く出ます。どちらにいるのかを一番安く知る方法がレイノルズ数です。配管やポンプを選定するときにも使います。どちらの領域かで適用できる圧力損失の式が変わるからです——層流は64/Reという素直な形で、乱流は管の粗さも要ります。熱移動が関わるときも使います。乱流は層流より何倍も速く混ぜて熱を運び去るので、熱交換器は乱流になるように設計されますし、ほとんど滴る程度しか流れていない配管は断熱された配管のように振る舞います。そして、混ざったまま・懸濁したまま・沈殿したままにしておきたいものがあるときにも使います。スラリーの砂が管の中に留まるかどうかはレイノルズ数の問題ですし、風洞模型をどの速さで回せば実機について正しいことが言えるかも同じ問題です。これは流れの性質についての問いであって、その流れにいくら圧力がかかるかについては、それだけでは何も言いません。

1. 既定の値：DN50の管を流れる20 °Cの水、2 m/s

   1. Re = ρ · v · D / μ = 998.2 · 2 · 0.050 / 0.001002
   2. 998.2 · 2 = 1,996.4 kg/(m²·s)
   3. 1,996.4 · 0.050 = 99.82 kg/(m·s)
   4. 99.82 / 0.001002 = 99,621
   5. ν = μ / ρ = 0.001002 / 998.2 = 1.004 × 10⁻⁶ m²/s = 1.004 cSt

   99,621——余裕をもって乱流で、2 m/sの水道管としては当然の結果です。水道を仕事で流している管はほとんどいつも乱流で、面白いのは表の静かな側にある例のほうです。ここに出した2つの数はどちらも下の水の表にあります。998.2と1.002は20 °Cの行そのもので、結果2行目の1.004 cStは同じ行の最終列を計算し直したものですから、このページから出ずに便覧と突き合わせられます。なお、結果パネルはレイノルズ数の隣に単位を出しません。2つの力の比であって、単位を持たないからです。

2. 同じ管を遅くする：0.02 m/s

   1. Re = 998.2 · 0.02 · 0.050 / 0.001002
   2. 998.2 · 0.02 = 19.964 kg/(m²·s)
   3. 19.964 · 0.050 = 0.9982 kg/(m·s)
   4. 0.9982 / 0.001002 = 996
   5. 同じ流体・同じ管なのでνは1.004 cStのまま

   流速がちょうど100分の1、レイノルズ数もちょうど100分の1——99,621ではなく996になり、バッジは乱流から層流に変わります。ここで言いたいのはこの比例関係です。Reは流速に比例し、ほかは何も変わっていません。そして、どれだけわずかで変わるかも教えてくれます。毎秒20ミリメートルというのは、弁を少しだけ開けたときや自然流下で出る程度の細い流れで、それでも力学的には別の流体になっています。全流量では正しく読める流量計が低流量で嘘をつき始めたとき、思い出すべきはこの2つの組み合わせです。

3. 液体ではなく気体：300 mmのダクトを流れる10 m/sの空気

   1. Re = 1.205 · 10 · 0.300 / 0.00001813
   2. 1.205 · 10 = 12.05 kg/(m²·s)
   3. 12.05 · 0.300 = 3.615 kg/(m·s)
   4. 3.615 / 0.00001813 = 199,393
   5. ν = μ / ρ = 0.00001813 / 1.205 = 15.046 × 10⁻⁶ m²/s = 15.046 cSt

   換気ダクトの中を10 m/sで流れる空気で、これも乱流です。ただし、どうやってそこに至るかを見てください。空気は水より約800倍軽く、それだけならレイノルズ数も800分の1になるはずです。ところが粘性率も55分の1小さく、こちらは逆方向に効きます。差し引きでνは15.046 cSt、水の1.004 cStに対してですから、同じ直径・同じ速さなら気体のレイノルズ数は液体のおよそ15分の1になります。ここで使った値はすべて下の空気の表の20 °Cの行にありますので、この計算はこのページの上で手計算で追い直せます。

4. 境界線の上：Reがちょうど2,300

   1. Re = 1,000 · 2.3 · 0.001 / 0.001
   2. 1,000 · 2.3 = 2,300 kg/(m²·s)
   3. 2,300 · 0.001 = 2.3 kg/(m·s)
   4. 2.3 / 0.001 = 2,300
   5. ν = 0.001 / 1,000 = 1 × 10⁻⁶ m²/s = 1 cSt

   1,000 kg/m³、1 mPa·s、1 mm——この数を選ぶと計算がRe = 1,000 × vまで畳まれ、2.3 m/sでちょうど下側の境界線に乗ります。バッジは遷移流を指します。区間が半開で、2,300はすでに上の範囲に属するからです。同じ設定で4.0 m/sまで上げるとちょうど4,000になり、乱流のバッジになります。1つの欄だけで2本の線を確かめられます。実際の管では、境界線ちょうどのラベルはどちらも信用しないほうがいいでしょう。上流の弁、溶接のビード、振動が答えを決めてしまうのがこの範囲です。

2,300と4,000という線は約束ごとであって自然法則ではなく、文献の間でも一致していません。下に挙げた教材は下側の線に約2,000、上側の線に約3,000を与え、その間の帯域を遷移ではなく不安定と呼んでいます。遷移が実際にどう振る舞うかは、このページが尋ねていないものに左右されます。流れが管にどう入ったか（ベルマウスと鋭い縁では違います）、直径に対する壁の粗さ、振動、そして最後の継手からどれだけ下流にいるかです。滑らかな入口をもつ実験用の管では2,300を優に超えて層流を保つことがあり、同じ管でも弁を少し閉めた後なら2,300未満で乱流になります。この線は円管に固有のものでもあります。臨界レイノルズ数は流体だけでなく幾何の性質でもあり、平板に沿う境界層は2桁高い値まで層流のままで、円柱や球のまわりの流れにはまったく別の振る舞いがあります。丸くないダクトでは、直径を水力直径——断面積の4倍を濡れ辺長で割った値——に置き換える必要があります。正方形のダクトでは辺の長さ、幅広く薄いスリットでは隙間の2倍です。直径は使用温度での本当の内径でなければならず、公称径ではありません。DNはサイズ階級であって、DN50の内径は鋼管か銅管か樹脂管か、そして肉厚によって変わります。流体はニュートン流体でなければなりません。血液、塗料、スラリー、高分子の融液は、どれだけ速くずらされているかで粘性率が変わるので、1つのレイノルズ数では記述できず、上の領域の話も意味を持ちません。ここにあるのは流れが定常かどうか、壁からはく離するかどうか、圧力損失がいくらかという話ではありません。レイノルズ数はそれらの相関式への入力であって、答えそのものではないからです。圧縮性が効くほど速い気体にはマッハ数が、開水路の自由表面にはフルード数が、それぞれ並んで必要になります。最後に、下の物性値は1気圧・0 °Cから100 °Cの純水と乾燥空気のものである。水の動粘度はこの範囲で6倍変わるので、室温の物性で計算した数は熱い配管の数ではありません。

レイノルズ数の式は何ですか

Re = ρ · v · D / μ——密度×流速×直径を粘性率で割ったもので、Re = v · D / νとも書けます。このとき動粘度ν = μ / ρが2つの量の仕事を1つで引き受けています。長さも単位もすべて約分されるので、Reは無次元になります。管をミリメートルで測ってもマイルで測っても、99,621は99,621です。この式は姿を変えた比です。分子は慣性——運動している質量、速くて密度が高くて太い流れが進み続け、渦を巻き始めようとする性質です。分母は粘性——流体が隣の流体に引きずられて整えられようとする性質です。どちらが勝つかが、どの領域にいるかを教えてくれます。

層流・遷移流・乱流の範囲はどうなっていますか

管内流れでは、2,300未満を層流、4,000以上を乱流、その間を遷移流とするのが工学上の約束です——流れがそのまま保たれることも、2つの間で振動することも、上流の継手に押されてどちらかへ倒れることもある帯域です。教材によって違うことには注意してください。下に挙げた参考文献は管について約2,000と約3,000を使っており、間の帯域を不安定と呼んでいます。その数もこの数と同じくらいには根拠があります。どちらも同じ物理を述べていて、どちらも正確ではありません。遷移は入口の条件や壁の粗さにも同じくらい左右されるからです。このページは2,300 / 4,000を使い、区間を半開に適用し（2,300そのものは遷移流です）、バッジは結果パネルに出ている丸めた値から読みます。

レイノルズ数は結局何を意味しますか

流れの中の慣性力と粘性力の比であり、違う流体・違う管の2つの流れが同じように振る舞いうる理由です。値が小さいと粘性が勝ち、流体は秩序立った層になって滑っていきます——乱してみても、その乱れは減衰させられます。値が大きいと慣性が勝ち、流れは渦に砕け、自ら混ざり、乱れは消えるどころか成長します。この数は速さでも流量でもありません。流体・速さ・幾何の配置全体の性質であって、管の直径を2倍にすることは、速さを2倍にすることと同じ効き方をします。

式に入る長さは管の直径ですか、半径ですか

ここでは直径——それも流体が通る穴である内径です。半径を使う形もあって、そちらには2倍が付きます。教材が管の式を2ρvr/ηと書いていることがありますが、D = 2rなのでこれはρvD/ηと同じ数です。どちらか一方を選んで貫いてください。混ぜると2倍ずれた答えが出て、しかも見た目はまったくまともです。関連する落とし穴が2つあります。DN50は内径ではなくサイズ階級なので、実際の内径は材質と肉厚で決まります。そして円形でないダクトには、この欄の代わりに水力直径——断面積の4倍を濡れ辺長で割った値——を使います。

粘性率と動粘度はどちらを使えばいいですか

正しい式と組み合わせるならどちらでもかまいません。粘性率μは密度と一緒に、動粘度νはそれだけで使います（ν = μ / ρだからです）。このページは粘性率をmPa·sで受け取り、動粘度をcStで出してくれます。次の計算がたいてい必要とするのはそちらだからです。単位は覚えておく価値があります。1 mPa·s = 1 cP、そして1 cSt = 1 mm²/sは定義です。だからヨーロッパや中国の表に印字されているmm²/sと、古いアメリカの文献のcStは同じ単位です。20 °Cの水は1.002 mPa·sかつ1.004 cSt、空気は0.01813 mPa·sかつ15.046 cStで、下の2つの表が6つの温度について両方の列を出しています。

水が熱くなると答えが変わるのはなぜですか

液体を温めると動粘度が下がるからです。水は0 °Cの1.787 cStから100 °Cの0.294 cStへ、6倍の幅で下がります。同じ管・同じ速さならレイノルズ数は6倍に上がり、冷たいときは層流だった流れが、熱いと乱流になりえます。気体は逆で、空気の動粘度は同じ範囲で13.3から23.0 cStへ上がります。密度が粘性率の上昇より速く下がるからで、気体を温めるとレイノルズ数は下がります。下の2つの物性表はまさにこのためにあります。レイノルズ数は背後の物性の組と同じだけしか正しくなく、その両方は多くの人が思うよりずっと大きく温度で動きます。

レイノルズ数が大きいと、流れはうるさく荒いのですか

そうとは限りません。レイノルズ数が予測するのは領域であって音ではありません。保温された管の中の乱流は静かなことがあり、鋭い障害物を回る層流は笛のように鳴くことがあります。この数が教えてくれるのは、混合・熱移動・圧力損失の性格が変わったということで、別の領域向けに作られた相関式は当てはまらないということです。流れが壁に付いたままでいるか、時間的に定常か、速い気体で圧縮性が効くか、についても何も言いません。それらはそれぞれ別の数の問題です。だからレイノルズ数は、流れについて最後に計算するものではなく、最初に計算するものだと考えておくのがよいでしょう。

• 乱流の始まり（College Physics 2e, §12.5）— 管内の流れのレイノルズ数、その項の定義、そしてこのページが慣例として扱うしきい値（約2,000と約3,000、その間の帯は不安定とされる） — OpenStax (Rice University)
• Reynolds Number — 慣性力と粘性力の比としての定義、Re = ρVL/μ に至る導出、無次元数としての読み方（実質的に非粘性の流れで約1,000万、粘性を無視できない場合は数百）、そして動粘度形Re = VL/ν — NASA Glenn Research Center
• Water — Dynamic and Kinematic Viscosity at Various Temperatures and Pressures — 下の水の表の粘性率と動粘度の列 — The Engineering ToolBox
• Water — Density, Specific Weight and Thermal Expansion Coefficients — 下の水の表の密度の列 — The Engineering ToolBox
• Air — Dynamic and Kinematic Viscosity at Various Temperatures and Pressures — 下の空気の表の粘性率と動粘度の列 — The Engineering ToolBox
• Air — Density, Specific Weight and Thermal Expansion Coefficients at Varying Temperatures and Pressures — 下の空気の表の密度の列 — The Engineering ToolBox