根号計算
計算結果
厳密な形
- 小数
- 9.899495
平方根の和を手で簡単にする計算ツールです。2つの項がそもそもなぜ足せるのかも見えます。和の各項から最大の平方因数を外に出し、根号内の数が一致する項どうしをまとめます。√72 + 3√2 - √8は6√2 + 3√2 - 2√2になり、3つとも√2の倍数になったので足すと7√2になります。ここが終点です。根号の中に二乗して外へ出せるものが残っておらず、まとめられる項ももうありません。√2 + √3はすでにその形になっています。この形を最も簡単な形と呼び、根号の足し算はこの形に直してから行います。
√72 + 3√2 - √8を1項ずつ見る
| 項 | 係数 | 根号内の数 | 簡単にした後の係数 | 簡単にした後の根号内の数 |
|---|---|---|---|---|
| √72 | 1 | 72 | 6 | 2 |
| 3√2 | 3 | 2 | 3 | 2 |
| -√8 | -1 | 8 | -2 | 2 |
書かれた順に1項1行です。最初の3列が入ってきたままの項で、後の2列が最大の平方因数を外に出したあとの姿です。この表の狙いは最後の列を下へ読むことで、3項とも2に行き着きます。これが気づきになり、4列目の係数を足せます。6 + 3 - 2 = 7です。3√2のように根号内の数がすでに平方因数を持たない項は、そのまま通ります。ここにあるのはすべて整数なので、この表は10言語すべてで同じものになります。
公式
c√r → (c × m)√(r ÷ m²)（m²はrを割り切る最大の平方数） 同類項：k₁√r + k₂√r = (k₁ + k₂)√r
- √r
- 根号で、整数rの平方根です。このページの項はどれもその倍数で、2つの項はrが一致するときにちょうど同類になります。足されるのは前に付いている係数のほうです。
- c
- 係数で、根号に掛かっている整数です。何も書かれていなければ1です。√rが何個あるかを数えている数なので、3√2と2√2を足せば5個になり、3√2から3√2を引けば1個も残りません。
- r
- 根号内の数です。1つの根号を簡単にするとは、rを割り切る最大の平方数m²を見つけてmを外へ出すことで、そのあとにはより小さな根号内の数が残ります。項が到達できるいちばん小さな根号内の数は1で、√1はただの1です。
- m²
- 根号内の数を割り切る最大の平方数で、72なら36、50なら25、8なら4です。最大のものを取ることが、単に小さいだけの形ではなく最も簡単な形にする操作です。72を4で割ると18になり、18にはまだ平方因数が残っています。
- 同類項
- 簡単にしたあとに根号内の数が一致する項どうしです。根号の足し算は同類項の足し算でしかありません。根号内の数が数えている単位そのもので、2つ足しても変わらないからです。6√2と3√2をまとめると9√4ではなく9√2になるのは、このためです。
根号を含む式、つまり平方根の和を最も簡単な形で書かなければならないときに使います。宿題の答え合わせ、公式に入れる前に答えを整える、見た目の違う2つの根号が実は同じ数かどうかを確かめる、といった場面です。確かめ方は、係数を二乗して根号の中へ掛け戻すことです。6√2は36 × 2 = 72なので、6√2と√72は確かに同じ数です。
計算例
√72 + 3√2 - √8
- √72：72 = 36 × 2なので、最大の平方因数36が6として外へ出て、6√2が残る
- 3√2：根号内の数2に平方因数が無いので、この項はすでに最も簡単な形
- √8：8 = 4 × 2なので、4が2として外へ出て、−2√2が残る
- 3つの項は6√2 + 3√2 - 2√2になった。どれも√2の倍数なので、根号内の数はそのままで係数を足す
- 6 + 3 - 2 = 7なので、和は7√2
- 7√2は小数6桁で9.899495
既定値の場合で、3つの根号を別々に簡単にするのではなくこのページが存在する理由です。3つの根号は72、2、8と無関係に見えますが、同じ根号を6回、3回、2回数えたものだと分かります。足している間、根号内の数は一度も変わりません。変わるのは前の個数だけです。
√50 + 5 - √18
- √50：50 = 25 × 2なので、25が5として外へ出て、5√2が残る
- √18：18 = 9 × 2なので、9が3として外へ出て、−3√2が残る
- 5はすでに整数で、根号の下に簡単にできるものが無い
- 根号の項は5√2 - 3√2 = 2√2になる
- 整数はその場にとどまるので、答えは5 + 2√2
- 5 + 2√2は小数6桁で7.828427
整数と根号は同類項ではないので、1つの数にまとめずに並べて書きます。それでも順序は決まっていて整数が先です。だからここでは5 + 2√2が答えになり、逆に書いた同じ和の答えは2√2 + 5になります。
√2 + √3、何もまとまらない場合
- √2：根号内の数2には1以外の平方因数が無いので、何も外へ出ない
- √3：3にも平方因数が無いので、何も外へ出ない
- 2つの根号内の数は2と3で等しくないので、同類項ではない
- 和はそのまま√2 + √3と書く
- √2 + √3は小数6桁で3.146264
ここでは何もしませんが、それが答えです。根号内の数が違う根号は1つの根号にまとめられません。2乗すると5になる数が√2 + √3の代わりにはならないからです。小数はそれでも出します。値そのものは完全に定まっていて、ただ短い厳密な形を持たないだけです。
適用限界
扱うのは平方根だけです。立方根以上も同じ規則でまとまりますが、根号内の数を見比べて係数を足すには指数を書く記号が要り、このページの表記にその場所がありません。高い次数の根はn乗根のページが1項ずつ扱います。受け付けるのは整数だけで、係数も根号の中も同じです。2.5√2の厳密な形は(5√2)/2で分数が要りますし、√2.5が√10 ÷ 2になるのも同じ理由です。負の根号内の数は拒否します。2乗して負になる実数が無いからです。項は8つまで、係数と根号内の数はそれぞれ100万までに限っています。答えの小数は6桁に丸めるので、厳密な値そのものではなくその近似です。
よくある質問
- 根号を簡単にするとはどういうことか
- 平方因数を根号の下から外へ出し、係数として前に置くことです。√72は72 = 36 × 2で36が平方数なので6√2になります。値は変わりません。6√2は8.485281で、√72も同じです。変わるのは形で、その形が次の計算で使える形になっています。
- 2つの根号が同類項になるのはいつか
- 簡単にしたあとに根号の中の数が等しいときです。6√2と3√2は同類項で、足すと9√2になります。√2と√3は同類項ではなく、その和は1つの根号では書けません。足されるのは係数だけです。根号内の数は数えている単位なので、そのまま動きません。
- 答えが小数ではなく厳密な形で出るのはなぜか
- ほとんどの根号は無理数で、小数はその近似にしかならないからです。7√2が厳密な値で、9.899495は同じ数を6桁に丸めたもので7桁目は違います。厳密な形を保つことで、答えを次の段階で使っても丸め誤差が積み上がりません。
- 立方根は入力できるのか
- このページではできません。∛8 + ∛2も平方根とまったく同じ規則でまとまりますが、その表記には根号の中に指数を書く場所が要り、このページは素の√を印字します。指数を2から12まで選べる1項ずつの計算はn乗根のページを使ってください。
- 根号のとなりに整数を書けるのはなぜか
- 整数は根号内の数が1まで下がった根号だからです。√25は5で、5は5√1です。そうみなせば整数も根号も1つの規則でまとまり、答えの並び順も決まります。整数が先で、5 + √2のように書きます。
- 答えはどうやって確かめるのか
- 係数を二乗して根号の中へ掛け戻します。7√2は49 × 2 = 98で、元の和にはなりません。だから項ごとに確かめてください。6√2は36 × 2 = 72、3√2は18、2√2は8で、72 + 18 - 8 = 82です。これは書かれていたままの根号内の数の和なので、確かめるのは項をまとめる前でなければなりません。
参考文献
- Quadratic Surd — bが平方因数を持たないa√bの標準形。簡単にしたあとの根号内の数の列がこれにあたる — Wolfram MathWorld (United States)
- Radical — 根号とその操作。根号内の数が一致するときにしか2つの根号を足せない理由もそこにある — Wolfram MathWorld (United States)
- Like terms — 2つの項が足せるとはどういうことか。根号では根号の中の数がそれを決める — SplashLearn (United States)