IQパーセンタイル計算

パーセンタイル = Φ((IQ − 100) ÷ 15) × 100%。z = (IQ − 100) ÷ 15。1/N = 1 ÷ min(Φ, 1 − Φ)

IQ

置きたい点数。この尺度は100が平均、15点が標準偏差1つ分と決められているので、入力する数はこれだけです

z

その点数が100から標準偏差いくつ分離れているか。平均より下なら負、上なら正です。この尺度では(IQ − 100) ÷ 15そのもので、符号が向きを、大きさがその点数がどれだけ珍しいかを運びます

Φ

正規分布のうちz以下に入る割合。距離をパーセンタイルに変えるのがこれで、この式の中で暗算で出せず表を引くしかない唯一の量です

パーセンタイル

その割合を百分率で書いたもの。多くの人が見に来る値です。115はおよそ84に位置し、およそ84%の点数がそこ以下に入るという意味になります

1/N

100から同じ向きに少なくともその距離だけ離れた点数を取る人が、何人に1人いるか。これが要るのはパーセンタイルが尺度の端で余地を失うからです。145ではパーセンタイルが99.87で、もう行き先がほとんどありませんが、希少さのほうは741人に1人という普通の数でいてくれます

IQの点数が1つあって、それが集団の中でどこに位置するかを知りたいときに使います。点数を調べるときに多くの人が求めているのはその順位です。向いていないのは自分の持っている分布を読みたい場合です。100と15は組込みなので、学級の平均や測定値の並びや違うばらつきの尺度はこのページには入りません。平均と標準偏差を入力に取るz値のページや正規分布のページがその役です。検査どうしの変換器でもありません。2つの知能検査がどちらも平均100・標準偏差15の尺度で報告していても、標準化した標本も年も違うので、片方の点数が算術でもう片方にはなりません。2つの値を並べて読んでください。文に書くならパーセンタイル、パーセンタイルが桁を使い切ってしまう両端でまだ何かを言えるのは希少さのほうです。

1. IQ 130、平均から標準偏差2つ分

   1. 平均からの距離：130 − 100 = 30点
   2. 標準偏差で数えると：30 ÷ 15 = 2、つまりz = 2
   3. 正規分布をz = 2で読む：点数の0.97725がそこ以下に入り、これがパーセンタイルの97.72%
   4. そこ以上に入る割合は1 − 0.97725 = 0.02275、1 ÷ 0.02275 = 43.96、およそ44人に1人

   多くの人がたどり着く点数です。標準偏差2つ分という丸い数だからです。具体化してくれるのは希少さのほうで、およそ44人に1人になります。点数が上がるほど2つの値が離れていくのを見てください。パーセンタイルはすでに97.72で余地が2.28しか残っていませんが、希少さはまだ絵の描ける数です。同じ範囲の教科書的な裏取りもできます。点数の68%が85と115の間に入るので、115より上はおよそ16%、130より上はおよそ2.3%で、これがこのページが返す44です。

2. IQ 145、標準偏差3つ分

   1. 平均からの距離：145 − 100 = 45点
   2. 標準偏差で数えると：45 ÷ 15 = 3、つまりz = 3
   3. 正規分布をz = 3で読む：点数の0.99865がそこ以下に入り、99.87%
   4. そこ以上に入る割合は1 − 0.99865 = 0.00135、1 ÷ 0.00135 = 740.7、およそ741人に1人

   ものさしの端で、パーセンタイルが情報を失う場所です。もう1つ標準偏差が増えるとパーセンタイルは99.997になり、小数第2位ではまったく表せませんが、希少さのほうはおよそ32,000人に1人という読みになります。このページが2つ目の値を載せている理由はそれだけです。1,000人の部屋にこの点数がいるとは思えませんし、「ほぼ全員が下にいる」は本当でも「およそ741人に1人」と同じ主張ではありません。

3. IQ 85、平均から標準偏差1つ下

   1. 平均からの距離：85 − 100 = −15点
   2. 標準偏差で数えると：−15 ÷ 15 = −1、つまりz = −1。符号は向きでしかありません
   3. 正規分布をz = −1で読む：点数の0.15866がそこ以下に入り、15.87%
   4. 100から少なくともその距離だけ離れているのは0.15866以下に入る分なので、1 ÷ 0.15866 = 6.30、およそ6人に1人

   115と比べてください。2つのパーセンタイルは15.87と84.13で正反対に見えますが、希少さはどちらも6です。平均からの同じ距離はどちら側でも同じだけ珍しく、違うのは向きだけです。希少さを上側からではなく100に近い側から取っているのも同じ理由です。上側から取ると85は1 ÷ 0.8413 = 1.19人に1人となり、その距離を共有する人がほとんどいないように読めてしまいますが、実際には6人に1人います。教科書的な裏取りもどうぞ。点数の68%が85と115の間に入るので、85より下は16%残り、これがこのページが返す15.87%です。

入力された点数はここでは正確な値として扱われますが、正確ではありません。どんなIQの数値も、同じ人の取り得る点数の分布から引いた1回の標本です。受けた検査の手引きにはその周りに区間が刷られていて、ふつうは上下に数点の幅があります。再検査の研究は反対側から同じことを言います。ある追跡調査では344人の生徒に平均2.84年後に再検査を行い、全検査IQの信頼性は0.82でした。そしてその25%は2回の検査の間で10点以上動いていました。尺度の真ん中あたりでの10点は、およそ37パーセンタイルからおよそ63パーセンタイルまでの距離です。その後の新しい版で225人の子供を調べた研究では、全検査の点数は人と人の比較に使える程度には安定していましたが、人の中の指標はどれも、それだけで何かを決められるほど安定していませんでした。答えを古びさせるものがもう2つあります。数の裏にある常模は特定の場所と年に集めた標本から来ており、点数は世代ごとに上がるので（フリン効果）、常模は定期的に差し替えられます。今年の常模で出したパーセンタイルと20年前の常模で出したそれは同じ主張ではありません。そして点数の意味はどの検査の、どの年齢層のために標準化されたものかで変わり、裸の数はそのどちらも運んでいません。つまりこのページが報告するのは、ある数が尺度の上でどこに位置するかです。同じ人が再検査で、別の検査で、別の年の常模に対して何点を取るかは何も言いません。診断の道具ではなく、点数と一緒に配られた報告書の代わりでもありませんし、ここにあるものを人の何かを決めるために使うべきではありません。

IQのパーセンタイルとは何か

自分の点数以下を取った人が集団の中でどれだけいるかの割合です。IQ 115はおよそ84パーセンタイルに位置し、これはおよそ84%の人が115以下だという意味になります。この言い方から2つ出てきます。以下という言葉は大事で、この値はちょうど115を取った人の割合ではありません。それはずっと小さい数になります。そしてパーセンタイルは集団についての記述であって人についてのものではありません。その点数が分布のどこに落ちるかを言うだけで、その点数が何でできているか、何を予測するかは言いません。

上位1%に入るのは何点か

およそ135です。99パーセンタイルは平均から標準偏差2.33個分で、100 + 2.33 × 15 = 134.9になります。ほかの丸い目印もどうぞ。上位5%はおよそ125から、上位2%はおよそ131から、上位0.1%はおよそ146からです。下の表から同じ数を計算なしで読み取れますし、パーセンタイルの隣の希少さの列のほうが速いこともよくあります。上位1%と100人に1人は同じことを言っています。

自分の平均と標準偏差を入れられないのはなぜか

IQの尺度ではその2つの数は入力ではなく尺度の定義だからです。検査は、標準化に使った標本が平均100・標準偏差15を出すように作られます。15を16に変えた時点で、それはもう報告された尺度の上で点数を読んでいません。だからこのページは点数だけを尋ね、残り2つは固定します。本当に手元にあるのが、それ自身の平均と標準偏差を持つ測定値、たとえば学級や測定値の並びや、ばらつきの違う別の検査なら、z値のページと正規分布のページがそのために作られていて、どちらも2つの数を入力に取ります。

この点数が高いかどうかを教えてくれないのはなぜか

それを答えることになる段階は検査の出版元のもので、このページのものではないからです。平均・高い・優れているといった記述は検査と一緒に刷られていて、標準化した標本とその年に結びついています。1つの数だけ受け取ったページは、それがどの検査から来たのか、どの版の常模が当てはまるのかを知りません。呼び名とは別の理由もあります。点数は誤差の幅を伴う1回の測定で、しかも動きます。344人の生徒を3年近く後に再検査した研究では、4分の1が10点以上ずれていました。1回の読みにバッジを付けることは、その読みが支えられない判定を報告することになります。このページにできるのは、その数が集団の中でどこに位置するかを言うことだけで、それはやっています。

1回のIQの点数はどれだけ正確か

見た目ほど正確ではありません。検査の手引きはどの点数にも信頼区間を刷っていて、ふつうは上下に数点の幅があります。繰り返しの検査も同じことを示します。全検査IQの再検査信頼性は2年ほどでおよそ0.82で、およそ4分の1の人が2回の間に10点以上動きます。このばらつきの一部は本当の変化、一部は測定誤差で、1つの数からその2つを区別することはできません。比較の相手も古びます。常模はある時点の標本から集められ、点数が世代ごとに上がるために定期的に差し替えられます。だからパーセンタイルは、ある検査のある版に対する1回の読みの位置だと考えてください。実際にそうなっています。

何人に1人という値は何を意味するのか

希少さの読みです。Nは、100から少なくともその距離だけ離れた点数を、その点数が落ちた側で取る人が何人に1人いるかです。130は44になり、およそ44人に1人が130以上を取るという意味です。85も6になり、およそ6人に1人が85以下を取ります。パーセンタイルと並べて載せているのは、パーセンタイルが尺度の端で余地を失うからです。145では99.87、160では100.00で、どちらも本当ですが、どちらもその点数がどれだけ珍しいかを教えてくれません。そこでも働き続けるのが希少さの値で、面白い点数はそこに住んでいます。

• Measures of Intelligence — OpenStax, Psychology 2e, section 7.5 — 偏差IQの平均100と標準偏差15、常模化とフリン効果の出典。85と115の間の68%と、70未満の2.2%も同じ節にあります
• Long-term stability of the Wechsler Intelligence Scale for Children—Fourth Edition — 児童用ウェクスラー知能検査第4版（WISC-IV）の長期安定性を調べた論文 — Watkins MW, Smith LG — Psychological Assessment, 2013, 25(2):477–483：344人の生徒、平均2.84年の再検査間隔、全検査IQの信頼性0.82、そして25%の生徒が2回の検査で10点以上離れていました（doi 10.1037/a0031653）
• Long-term stability of Wechsler Intelligence Scale for Children—fifth edition scores in a clinical sample — 児童用ウェクスラー知能検査第5版（WISC-V）の点数が臨床標本でどう安定していたかを調べた論文 — Watkins MW et al. — Applied Neuropsychology: Child, 2022, 11(3):422–428：225人の子供、平均2.6年の再検査間隔。全検査の点数は安定していましたが、個々の指標の点数はそうではありませんでした（doi 10.1080/21622965.2021.1875827）