絶対値計算

|x| = x (x ≥ 0) |x| = −x (x < 0) 反数 = −x

x

入力する数です。このページの範囲内なら、正の数でも負の数でもゼロでも、整数でも小数でも受け付けます。絶対値はすべての実数に対して定義されているので、入力側に制限はありません。定義域を断る必要のない、このサイトでは珍しい演算です。

|x|

絶対値で、こちらが主結果です。数直線上でゼロからその数までの距離を表し、負になることはありません。規則がゼロを境に変わるため、1本の式ではなく2本に分けて書きます。もとの数が0以上ならそのまま、負なら符号を反転させた値になります。

−x

反数で、ゼロを挟んで反対側にある同じ距離の数です。絶対値とは別の操作です。7の反数は−7ですが7の絶対値は7で、両者が一致するのは入力がゼロか負のときだけです。2列目に符号が付いて出てくるのは不具合ではなく、負の数に定義を当てはめた結果そのものです。

1. 正の数の絶対値

   1. 7は負ではないので、1つ目の規則を適用：|7| = 7
   2. 絶対値は7のまま変わらない
   3. 反数は−7で、ゼロを挟んで同じ距離にある
   4. 正の数では両者が食い違う。これが通常のケース

   このページが最初に見せるケースで、2列が別々の問いに答えていることがいちばん分かりやすく出ます。符号を外すことと符号を反転させることは紙の上では似て見えますが、正の数では答えが変わるので、この行を見た読者が両者を取り違えることはありません。

2. 負の数の絶対値

   1. −9は負なので、2つ目の規則を適用：|−9| = −(−9)
   2. これは9で、ゼロから−9までの距離
   3. −9の反数も9になる
   4. 両方の列が9を印字する。同じ数が2度出るだけで、誤りではない

   いちばん多く不具合として報告される行です。入力が負のときは2つの操作が一致します。符号を外すことと反転させることが同じ場所に行き着くからで、負のxにとって−xはまさに絶対値の定義そのものです。列が一致することは重複計算ではなく情報で、入力が負だったことを教えてくれます。

3. −1と1のあいだにある数の絶対値

   1. 0.125は正なので、絶対値は0.125
   2. 反数は−0.125
   3. どちらも1より小さいが、規則は変わらない
   4. 絶対値はやはりゼロからの距離である

   小数はここでも整数とまったく同じに振る舞います。規則が扱っているのは符号だけで、大きさは関係ありません。0と1のあいだの数は絶対値も反数も小さく、2つはやはり数直線上でゼロを挟んで対称に並びます。

このページは数を1つ受け取り、その絶対値と反数を返します。2点間の距離は計算しません。距離は絶対値の記号で書かれますが、aとbのへだたりは|a − b|であり、2つの数が要るからです。2座標を扱う場合は、このページからリンクしている距離の計算ツールを使ってください。入力が負のときは2列に同じ数が出ますが、これは丸め誤差ではなく定義の帰結です。負のxでは絶対値と反数が同じ式−xになるからです。自分自身の反数と等しい数はゼロだけで、その絶対値もゼロになります。入力は15桁までに限られます。それを超えると、数を素直に印字する代わりに指数表記へ切り替える必要が出てきます。表示は小数6桁に丸めますが、計算そのものは倍精度で行っています。なお、このページには分類バッジがありません。入力が正だったか負だったかゼロだったかは、2つの数そのものを見れば分かるからです。

絶対値とは何か

数直線上でその数からゼロまでの距離のことで、だから負にはなりません。−9の絶対値は9、9の絶対値も9です。どちらもゼロから9の距離にあり、向きが反対なだけです。数値を挟む2本の縦棒は、括弧ではなくこの距離を表す記号です。

負の数を入れると2列に同じ数が出るのはなぜか

負の数では絶対値と反数が同じ式になるからです。定義はxが負のとき|x| = −xとしており、反数も定義により−xなので、2列は一致せざるを得ません。−9の反数は9で絶対値も9です。重複した計算どころか、この一致は入力が負またはゼロだったことを教えてくれる情報です。

絶対値と反数の違いは何か

絶対値は符号を取り除き、反数は符号を反転させます。正の数では別の指示になります。7の絶対値は7、反数は−7です。負の数では同じ場所に着地し、ゼロではどちらもゼロになります。このページが2列を並べているのは、違いを読者が信じるのではなく目で確かめられるようにするためです。

絶対値が負になることはあるか

ありません。距離であり、距離は負にならないからです。とても大きな負の数でも同じで、−1,000,000の絶対値は1,000,000です。計算の途中で絶対値が負になったら、どこかで定義を当てはめ間違えています。すでに正の数だったものをさらに反転させた、というのが典型的な原因です。

ゼロの絶対値には符号があるのか

ゼロであり、ゼロは自分自身が反数になる唯一の数です。JavaScriptの計算ではゼロを反転させると負のゼロが生まれることがあり、印字は0でも厳密な同一性判定では0と別物になります。このページは両方の列を正規化しているので、ゼロを入れるとどちらも素のゼロになり、値の中に余計なマイナスは残りません。

このページで2点間の距離は求められるのか

求められません。受け取る数は1つで、2点間の距離には2つ必要です。aとbのへだたりは|a − b|です。下の参考表はその計算を数直線の上で書き出したもので、ページ末尾からリンクしている距離の計算ツールは平面を扱い、2つの平方の和の平方根という形になります。

• Absolute Value — 2つの場合に分けた定義、ゼロからの距離としての数直線の読み方、そして記号法 — Wolfram MathWorld (United States)
• Additive Inverse — 数の反数、このページの2列目が行っている操作 — Wolfram MathWorld (United States)
• Real Line — すべての点が実数である軸。絶対値がその上の距離として載り、反数もここに並ぶ — Wolfram MathWorld (United States)