Calcolatrice della media ponderata

Media ponderata = Σ wᵢxᵢ ÷ Σ wᵢ

xᵢ

Un valore della lista — un voto, un prezzo, una misura. Ogni valore va comunque indicato, anche quelli il cui peso risulta poi essere zero; un valore saltato non è la stessa cosa di un valore pesato con nulla

wᵢ

Il peso di quel valore, scritto nella stessa posizione nel secondo riquadro. Può essere una percentuale, un numero di crediti, un numero di persone o qualunque altra quota: conta solo il rapporto fra i pesi, e la pagina non chiede che siano interi né che sommino a 100

Σ wᵢxᵢ

Il totale ponderato: ogni valore moltiplicato per il proprio peso, poi sommato. È il numeratore, ed è ciò che fa spostare la risposta verso le voci con il peso maggiore

Σ wᵢ

Il peso totale, stampato sul pannello dei risultati. Dividere per esso è ciò che riporta il totale ponderato a essere una media, ed è anche il controllo: se questo numero non è quello che ti aspettavi, un peso è stato digitato male, e la risposta è sbagliata in un modo che nessun'altra riga lascerebbe vedere

Scegli una media ponderata ogni volta che le voci differiscono per quanto devono contare, e una media semplice quando non differiscono. I voti sono il caso quotidiano: una prova finale che vale il 30% e una verifica che vale il 10% non entrano nella stessa media con lo stesso peso. Fuori dalla scuola la forma è sempre la stessa — un indice di borsa ponderato per la capitalizzazione delle società, un tasso di inflazione ponderato per il paniere di consumo, un voto di sondaggio ponderato per la rappresentatività degli intervistati, una media dei voti pesata per i crediti di ciascun corso. I pesi non hanno bisogno di essere percentuali, e non devono sommare a 100: conta soltanto il rapporto fra loro, quindi un peso può essere un numero di crediti, un numero di abitanti o una quota di portafoglio. Conviene però diffidare di un peso che non si sa giustificare: la risposta dipende dai pesi più di quanto dipenda dai valori, e cambiare i pesi è il modo più facile di ottenere la media che si desiderava.

1. Cinque voti con pesi percentuali

   1. Moltiplica ogni voto per il suo peso: 85 × 20 = 1700, 90 × 20 = 1800, 78 × 10 = 780, 92 × 20 = 1840, 88 × 30 = 2640
   2. Somma i prodotti: 1700 + 1800 + 780 + 1840 + 2640 = 8760
   3. Somma i pesi: 20 + 20 + 10 + 20 + 30 = 100
   4. Dividi: 8760 ÷ 100 = 87,6

   La media semplice di questi cinque voti è 86,6, quindi la ponderazione qui vale 1,0 punti. Dipende da dove sta il peso: 78 è il voto più basso e porta solo 10, mentre 88 ne porta 30, la quota maggiore. La media ponderata viene perciò tirata verso l'alto, non perché la ponderazione sia ingiusta, ma perché è esattamente quello che le è stato chiesto. Leggendo gli stessi numeri al contrario il quadro si completa: se il 30 fosse stato su 78 invece che su 88, la risposta sarebbe 85,6, un punto sotto la media semplice. Una media ponderata vale quanto valgono i pesi, ed è per questo che il peso totale è stampato accanto alla risposta.

2. Una media dei voti su cinque corsi

   1. Moltiplica ogni voto per i crediti di quel corso: 4 × 3 = 12, 3,7 × 4 = 14,8, 3,3 × 3 = 9,9, 3 × 2 = 6, 4 × 3 = 12
   2. Somma i prodotti: 12 + 14,8 + 9,9 + 6 + 12 = 54,7
   3. Somma i crediti: 3 + 4 + 3 + 2 + 3 = 15
   4. Dividi: 54,7 ÷ 15 = 3,6467

   Questo è il calcolo che sta dietro a una media dei voti ponderata per i crediti, ed è il motivo per cui la pagina stampa il peso totale: 15 crediti è il denominatore della frazione, e una media che viene da 15 crediti non è la stessa affermazione di una che viene da 60. La media semplice dei cinque voti è 3,6, quindi i crediti spostano la risposta di 0,0467 — uno spostamento più piccolo di quello dell'esempio precedente, perché qui i crediti vanno da 2 a 4 mentre là i pesi andavano da 10 a 30. Anche il dato non ponderato vale la pena di conoscerlo: se ogni corso valesse allo stesso modo, la carriera di questo studente si leggerebbe 3,6 invece che 3,6467.

3. Pesi che non sommano a 100

   1. Moltiplica ogni valore per il suo peso: 10 × 1 = 10, 20 × 2 = 40, 30 × 3 = 90
   2. Somma i prodotti: 10 + 40 + 90 = 140
   3. Somma i pesi: 1 + 2 + 3 = 6
   4. Dividi: 140 ÷ 6 = 23,3333

   Questi pesi sommano a 6, e va benissimo così: la risposta sarebbe identica se fossero scritti 10, 20 e 30 oppure 0,1, 0,2 e 0,3. Conta solo il rapporto, quindi un insieme di pesi si legge meglio come una ricetta che come percentuali: qualunque sia la loro somma, i valori vengono mescolati in quelle proporzioni. L'unica cosa che cambia è il peso totale stampato accanto alla risposta, che segue i pesi che hai digitato. Nota anche che la risposta sta molto più vicina al valore più grande, 30, di quanto starebbe la media semplice, che è 20: il peso più pesante è sulla voce più alta, e la media ponderata è un punto di equilibrio, quindi scivola verso ciò che porta il peso maggiore.

I pesi devono essere zero o positivi, e almeno uno di essi deve essere maggiore di zero: una lista con tutti i pesi a zero non ha media ponderata, e la pagina la rifiuta invece di dividere per nulla. Un singolo peso a zero è ammesso e significa che quella voce viene ignorata: conta ancora nella numerosità e compare ancora fra i valori, ma non contribuisce alla risposta, cosa che conviene sapere prima di leggere uno zero come un peso semplicemente piccolo. Nulla viene normalizzato al posto tuo, quindi pesi che sommano a 150 vanno bene e così quelli che sommano a 0,4; solo il rapporto fra loro influisce sul risultato, mentre il peso totale mostrato è semplicemente la loro somma. I due riquadri sono posizionali, quindi i pesi vanno scritti nello stesso ordine dei valori e devono essere in numero uguale: la pagina rifiuta una discrepanza invece di indovinare quale peso tocchi a quale valore, e quel rifiuto è la difesa contro il peggior modo di sbagliare che ci sia qui, cioè una risposta dall'aria corretta costruita su coppie disallineate. Non è la media ponderata di una tabella di frequenze, dove un valore rappresenta molte letture: per quella, inserisci il valore una volta sola con la numerosità come peso e la risposta sarà la stessa, ma una tabella copiata così com'è non funziona. Le liste sono limitate a duecento coppie, e un elemento come 1.500 o 1,500 viene rifiutato invece di essere interpretato a caso, perché con tre cifre dopo il separatore non si può sapere se è millecinquecento o uno virgola cinque: scrivi 1500 oppure 1,5.

Come si calcola la media ponderata?

Moltiplica ogni valore per il suo peso, somma i prodotti e dividi per la somma dei pesi. Per i cinque voti di questa pagina i prodotti sono 1700, 1800, 780, 1840 e 2640, che sommano a 8760, mentre i pesi sommano a 100, quindi la media ponderata è 8760 ÷ 100 = 87,6. Entrambi i termini di quella divisione sono stampati sul pannello dei risultati, così il calcolo si controlla senza rifare le moltiplicazioni a mano.

Che differenza c'è fra media ponderata e media pesata?

Sono lo stesso numero, e i due nomi si usano indifferentemente: ponderata e pesata dicono entrambi che a ogni voce è stato assegnato un peso. La differenza è solo di registro, e in italiano la forma più comune nei libri di testo è media ponderata, mentre media pesata compare più spesso nel linguaggio comune.

I pesi devono sommare a 100?

No, e su questa pagina nulla viene diviso per 100. I pesi sono una quota, quindi conta solo il rapporto fra loro: 1, 2 e 3 danno la stessa risposta di 10, 20 e 30, e lo stesso vale per le percentuali. Gruppi in cui i pesi non sommano a 100 sono del tutto normali quando i pesi non sono percentuali: crediti di un corso, numeri di risposte a un sondaggio, quote di un portafoglio. L'unico numero che segue davvero quello che hai digitato è il peso totale, che la pagina stampa accanto alla risposta.

Che cosa succede se un peso è zero?

Quella voce non entra nella risposta, ma non viene cancellata: resta nella lista dei valori e conta ancora nella numerosità. È un modo legittimo di escludere una voce senza togliere il valore, e va distinto da un peso molto piccolo, che invece contribuisce ancora, sia pure poco. L'unico caso rifiutato è una lista in cui tutti i pesi sono zero: lì la divisione non avrebbe denominatore, e la pagina lo dice invece di restituire un numero inventato.

Posso usarla per i voti o per una media ponderata con crediti?

È esattamente il caso d'uso per cui la pagina è pensata. Metti i voti nel primo riquadro e i crediti o i pesi nel secondo, nello stesso ordine: 4, 3,7, 3,3, 3 e 4 con i crediti 3, 4, 3, 2 e 3 danno 3,6467 su 15 crediti. Il peso totale stampato è la somma dei crediti, quindi si vede subito su quanti crediti è costruita la media.

Perché mostrare il peso totale se la risposta non dipende da esso?

Perché senza di esso non si può controllare la divisione, e perché è il numero che dice su quanto è costruita la media. Il valore della media ponderata non cambia se i pesi vengono riscritti tutti nella stessa proporzione, quindi due liste molto diverse possono dare la stessa risposta; il peso totale è ciò che le distingue, ed è anche il primo posto in cui si nota un peso digitato male.

• Weighted Mean — MathWorld — Wolfram MathWorld
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (why the mean is a balance point, and how weights move it) — National Institute of Standards and Technology (NIST)