Calcolatrice della media aritmetica

Media = (x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n = Σx ÷ n

xᵢ

Un numero della lista. I valori possono essere negativi — una temperatura, un saldo, uno scarto rispetto a un obiettivo — e possono avere decimali o essere frazioni; nella formula entrano solo il totale e la numerosità, quindi non serve ordinare nulla prima

Σx

La somma di tutti i valori, stampata sul pannello dei risultati. È il numeratore, ed è il numero che porta con sé le unità di misura: una somma di minuti si misura in minuti, e così la media che ne esce

n

Quanti valori ci sono, anch'essa stampata. È il denominatore, ed è da qui che questa media prende il suo significato: la somma viene ripartita in parti uguali fra i valori, quindi la risposta è quello che ciascuno sarebbe se tutti avessero la stessa quantità

Σx ÷ n

L'unica divisione, scritta sul pannello con i numeri veri dentro. Controllarla è il motivo per cui la somma e la numerosità sono stampate una per riga: se la risposta sembra sbagliata, è questa riga a dire se è stata la somma a essere digitata male o la numerosità

Scegli questa media quando le voci contano tutte allo stesso modo e vuoi un solo numero che riassuma la lista: voti di una verifica, temperature di un periodo, misure ripetute dello stesso oggetto, spese di più mesi. È la media predefinita, quella che si intende quando non si specifica altro, e ha due proprietà che la rendono comoda: le deviazioni da essa — quanto ogni valore si discosta dalla risposta — sommano esattamente a zero, ed è il numero che rende minima la somma dei loro quadrati. Non è però la media giusta quando i valori si moltiplicano fra loro invece di sommarsi, come i tassi di crescita di anni successivi, quando una voce pesa più delle altre, come i crediti di un corso, quando il totale è fisso e varia quanto costa ogni sua unità, come la velocità su una distanza data, o quando basta un valore estremo a trascinare la risposta lontano dal caso tipico.

1. Cinque voti di una verifica

   1. Somma i valori: 85 + 90 + 78 + 92 + 88 = 433
   2. Conta i valori: 5
   3. Dividi la somma per la numerosità: 433 ÷ 5 = 86,6

   Il pannello scrive quella divisione per esteso — (85 + 90 + 78 + 92 + 88) / 5 = 86.6000 — così la risposta si controlla senza rifare l'addizione, e si vede che il denominatore è la numerosità e non qualcos'altro. La media sulla riga del risultato è invece in formato italiano, 86,6000; la riga del procedimento è testo letterale del programma e usa il punto, e la differenza è spiegata fra le domande frequenti. La somma 433 merita uno sguardo a sé: è il totale che la classe ha ottenuto, e la media è il voto che ogni studente avrebbe avuto se quel totale fosse stato ripartito in parti uguali. Questa stessa lista di cinque numeri è il valore predefinito di tutte e quattro le pagine di questo gruppo, quindi passando da una pagina all'altra ritrovi gli stessi dati sotto un'altra media: 86,6 è la media aritmetica, mentre la media geometrica e quella armonica sono più basse su questa lista, e la media ponderata dipende dai pesi che le si danno.

2. Tre valori, uno negativo

   1. Somma i valori: −5 − 1 + 3 = −3
   2. Conta i valori: 3
   3. Dividi: −3 ÷ 3 = −1

   I valori negativi sono input del tutto normali: temperature sotto zero, saldi in rosso, letture relative a una linea di base. Il pannello scrive la somma come (−5 − 1 + 3) e non come (−5 + −1 + 3): sono la stessa cosa, ma la prima si legge come la direbbe una persona. Nota che la risposta, −1, sta fra il valore più piccolo e il più grande, come deve sempre fare una media — una media che cade fuori dall'intervallo dei dati è il segno che qualcosa è stato digitato male. Può anche non essere uno dei valori della lista, e per questa lista non lo è.

3. Due misure con i decimali

   1. Somma i valori: 0,3 + 0,45 = 0,75
   2. Conta i valori: 2
   3. Dividi: 0,75 ÷ 2 = 0,375

   Nell'insieme di dati i decimali si possono scrivere con la virgola o con il punto: la lista viene letta allo stesso modo in tutte le lingue, quindi 0,3 e 0.3 sono lo stesso numero. Un valore può avere quante cifre vuoi, e in ingresso non si arrotonda nulla. La risposta è mostrata con quattro cifre decimali, il che per questa coppia aggiunge uno zero finale: 0,3750 invece di 0,375. Quel riempimento è voluto e non è una dichiarazione di precisione: è ciò che fa allineare il pannello dei risultati con la divisione scritta sopra, ed è il numero di cifre che usano tutti i risultati di questa pagina.

4. Una lista lunga: la riga del procedimento si accorcia

   1. Somma i valori: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40
   2. Conta i valori: 8
   3. Dividi: 40 ÷ 8 = 5

   Questa lista è più lunga di sei valori, quindi la riga del procedimento passa alla forma abbreviata: Σx / 8 = 5.0000 invece di scrivere tutti e otto i numeri. Il Σ è lo stesso simbolo usato nel blocco della formula e significa esattamente quello che significava la riga estesa, cioè sommali tutti: non si perde nulla, e una lista di duecento valori non produce una riga di duecento numeri. Il cambio avviene sopra i sei valori e non a un altro conteggio: sotto quella soglia la riga estesa è abbastanza corta da essere la più utile delle due, e a sei valori lo è ancora.

La lista deve contenere almeno un valore e non più di duecento, e un elemento che non è un numero viene rifiutato invece di essere saltato: una lista con 1, 2 e abc viene respinta, non mediata sui due numeri che si lasciano leggere. Viene rifiutato anche un elemento come 1.500 o 1,500, perché con tre cifre dopo il separatore non c'è modo di sapere se è millecinquecento o uno virgola cinque: scrivi 1500 oppure 1,5, e in generale i raggruppamenti delle migliaia non sono supportati, quindi una numerosità grande va scritta 1234567 e non 1.234.567. In ingresso non si arrotonda nulla: i valori si usano esattamente come sono stati digitati, e solo il risultato stampato è fissato a quattro cifre decimali, per cui due liste di valori vicini possono dare risposte che si stampano identiche pur non essendolo. La media non ha un limite superiore o inferiore a cui appellarsi: risponde per una lista di temperature come per una lista di prezzi senza sapere quale sta guardando, e non può accorgersi che le due non andrebbero mescolate. Infine non è robusta: un solo valore molto grande o molto piccolo la sposta di parecchio, perché ogni valore la tira in proporzione a quanto dista dalla risposta.

Come si calcola la media di una lista di numeri?

Sommi tutti i valori, conti quanti sono e dividi il totale per la numerosità. Per i cinque voti di questa pagina il totale è 433 e i valori sono 5, quindi la media aritmetica è la somma divisa per il numero dei valori: 433 ÷ 5 = 86,6. Sul pannello dei risultati trovi sia il totale sia la numerosità accanto alla risposta, così la divisione si controlla senza rifare l'addizione a mente.

Che differenza c'è fra media e media aritmetica?

Nell'uso quotidiano sono lo stesso numero, e questa pagina adopera le due espressioni come sinonimi. In un discorso più sorvegliato, media è il termine generale per qualsiasi valore centrale — la media aritmetica, la mediana e la moda sono tutte medie — mentre la media aritmetica indica quella precisa che si ottiene sommando i valori e dividendo per la numerosità, detta aritmetica proprio per distinguerla dalla media geometrica e da quella armonica.

La media può essere un numero che non compare nella lista?

Sì, e di solito lo è. Nel calcolo non c'è nulla che imponga alla risposta di essere uno dei valori: la media di 1 e 2 è 1,5, che in quella lista non c'è, e la media dei cinque voti di questa pagina è 86,6, che non è nessuno dei cinque voti. Quello che è garantito è che la risposta cade fra il valore più piccolo e il più grande, e coincide con uno di essi solo quando la lista capita così.

Come si calcola la media di numeri negativi?

Esattamente come per i numeri positivi: si sommano e si divide per la numerosità. I segni si gestiscono da soli nell'addizione, quindi −5, −1 e 3 sommano a −3, e dividendo per 3 si ottiene −1. Il pannello scrive la somma con i segni meno fra i termini invece che con i più davanti ai numeri negativi: è la stessa aritmetica, scritta come la si direbbe a voce.

Perché la riga del procedimento scrive i decimali con il punto?

Perché quella riga è testo letterale del programma: è la stessa per tutte le lingue, quindi non può cambiare con la lingua, e usa il punto. La riga del risultato invece è formattata secondo le convenzioni italiane, quindi la media la leggi come 86,6000 con la virgola. In entrambi i casi il numero è lo stesso, e le quattro cifre decimali sono fisse su tutta la pagina.

Quando la media non è la media giusta da usare?

Quando le voci non hanno tutte la stessa importanza, quando si moltiplicano invece di sommarsi, o quando pochi valori estremi trascinerebbero la risposta lontano dal caso tipico. Importanza diversa chiede una media ponderata; tassi di crescita e rapporti, che si compongono, chiedono una media geometrica; velocità su una distanza fissa chiedono una media armonica; e una lista asimmetrica in cui conta più il caso tipico del totale chiede una mediana.

• Arithmetic Mean — MathWorld (the definition, the zero-sum property of the deviations, and the inequality with the geometric and harmonic means) — Wolfram MathWorld
• Measures of Location — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.1 (the mean as a balance point, and how a single extreme value moves it) — National Institute of Standards and Technology (NIST)